Homotecias

Transformaciones geométricas son operaciones geométricas por las que una figura se convierte en otra. Conviene conocer cuáles son los invariantes métricos y proyectivos de las transformaciones. Vamos a estudiar dos transformaciones de especial importancia: Las homotecias y las inversiones. En esta entrada nos centraremos en las homotecias.

       

La homotecia es una transformación que, a groso modo, consiste en una semejanza con paralelismo. De sus características e invariantes geométricos destacamos:

• homografía (conserva la naturaleza, un punto se transforma en otro punto - si se transforma en otro elemento de distinta naturaleza, la transformación sería una "correlación", por ejemplo, si un punto se transforma en una recta o en un plano), 
• paralelismo (relación angular en que se conserva la orientación de un elemento antes y después de la transformación)
• conformidad (relación angular tal que el ángulo entre dos elementos es el mismo que el ángulo entre los elementos transformados), 

• con centro H. Un punto P y su transformado P' están alineados con el centro de homotecia H)
• razón de homotecia k constante (la homotecia se basa en el Teorema de Thales). El cociente de la distancia del centro de homotecia H a un punto P entre la distancia de H al homólogo P' de P, es constante y se denomina razón de homotecia, k. Es decir, en lenguaje de Geometría Proyectiva, un centro de homotecia y un par de puntos homólogos constituyen una terna (HPP').

HP / HP' = HQ / HQ'  = HT / HT' = k 

• (HCC') Los centros de circunferencias homotéticas, son homólogos y están alineados con H.
• En circunferencias homotéticas,  puntos sobre radios paralelos deben ser homólogos.
• La homotecia es útil en ejercicios de áreas, tangencias e inversiones.

De los problemas y aplicaciones de las homotecias que se pueden presentar, analizamos tres:

Enunciados:

• 1. Dados el centro de homotecia H y una circunferencia c , determinar una circunferencia homotética
• 2. Dadas dos rectas r y s y un punto P del mismo plano, determinar la circunferencia que pasa por P y es tangente a las rectas.
• 3. Dadas dos circunferencias, determinar los centros de homotecia.

Enunciados.

Análisis

• 1. Circunferencias homotéticas tienen sus centros alineados con el centro H de homotecia (HCC') y cualquier par de puntos homólogos están en radios paralelos (HTT') . El arco capaz de 90º entre el centro de homotecia H y el centro de la circunferencia dato C determina el punto T de tangencia de las rectas que pasan por H y son tangentes a la circunferencia. La dirección CT, perpendicular a dicha tangente, es la de los radios de circunferencias homotéticas. Una perpendicular por cualquier punto T' de la tangente cortará a la recta de los centros, en el de una de las soluciones. 

• 2. Las tangentes comunes de circunferencias homotéticas, pasan por el centro de homotecia. Consideramos la intersección de las rectas como el centro de homotecia H. Nos servimos de una circunferencia homotética cualquiera auxiliar tangente a las rectas (con centro en la bisectriz del ángulo que éstas forman); su intersección con la recta HP determina dos puntos P'1 y P'2. Las paralelas por P a los radios C'P' cortan a la bisectriz de las rectas, en los centros de las soluciones buscadas. Circunferencias homotéticas tienen cualquier par de puntos alineados con el centro de homotecia y en radios paralelos. 

• 3. Podemos distinguir 5 casos: las circunferencias pueden ser exteriores, tangentes exteriores, secantes, tangentes interiores, interiores. En todos los casos, el centro de homotecia H está alineado con cualquier par de puntos homotéticos. Los centros de las circunferencias son homotéticos: en la recta que los une estarán los centros de homotecia. Otros dos puntos homotéticos están en la intersección, con sendas circunferencias, de un par de rectas paralelas entre sí que pasen por los centros de las circunferencias: la recta que los une, en la intersección con la recta de los centros de las circunferencias, determinará el respectivo centro de homotecia: H+ ( si A y A' al mismo lado de H) y H- (si A y A' a distinto lado de H). Un centro de homotecia de circunferencias tangentes, es el punto de tangencia.

Análisis

Soluciones.

• 1. Hay infinitas soluciones c', según el punto T' que elijamos en la recta tangente. La solución es un haz de circunferencias de recta base la recta de centros HC y de eje radical la recta tangente HTT'.
• 2. Hay dos soluciones, c1 y c2, según cuál tomemos como punto homotético de P, P'1 o P'2.
• 3. Hay dos soluciones, H+ y H-, según la inversión sea positiva (A y A' al mismo lado del centro de homotecia) o negativa (A y A' a distinto lado del centro de homotecia). Cuando las circunferencias son tangentes, uno de los centros de homotecia coincide con el punto de tangencia, como vemos en las imágenes.

Soluciones 1 y 2.

Solución 3. 
Imágenes interactivas. Pincha en el icono Play 
de la esquina inferior izquierda. Verás cómo, 
para cualquier posición de un par de puntos homólogos:

•  los segmentos verdes (radios de circunferencias homotéticas) mantienen su paralelismo, independientemente de su orientación.
• los centros de homotecia positivo H+ y negativo H- permanencen fijos. 

Esto sucede porque la razón de homotecia es constante. Nos basamos en Thales y en el concepto de semejanza entre los triángulos que se forman.  

Inversiones. Fundamentos, ejercicios, visualización.

Esta entrada tiene tres partes: Fundamentos, Ejercicios y Visualización-aplicaciones.

Fundamentos

Invariantes

Las inversiones son transformaciones geométricas con las siguientes características o invariantes: 

• IPP'. Las inversiones tienen un centro de inversión I  con el que están alineados cada punto de una figura y su inverso en la figura inversa.
• cc'. Dos pares de puntos inversos son concíclicos. Las inversiones tienen infinitas circunferencias de inversión c', formadas por puntos cuyos inversos están en la misma circunferencia. La circunferencia de inversión es siempre inversa de sí misma, pero no contiene más puntos dobles que los de tangencia desde el centro de inversión. 
• La inversión cumple relaciones angulares de antiparalelismo y conformidad.
• k=cte. La potencia de inversión es constante. La inversión se basa en la potencia (producto de distancias mayor por menor del centro de inversión a un punto y a su inverso). La potencia de inversión es constante, por lo que a mayor distancia del centro de inversión a un punto, menor debe ser la distancia del centro de inversión al inverso del punto. Dichas distancias son iguales cuando el punto coincida sobre su inverso (P=P'); esto ocurre cuando el punto es el de tangencia desde el centro de inversión a la circunferencia de inversión (T=T'). El segmento IT es la raíz k de la potencia de inversión, característica que la define. Si la potencia de inversión es positiva, los puntos inversos están al mismo lado del centro de inversión, el cual será exterior a las circunferencias de inversión; si la potencia de inversión es negativa, los puntos inversos están a distinto lado del centro de inversión, que será interior a las circunferencias de inversión y no habrá puntos dobles; si la potencia de inversión es nula, el centro de inversión está sobre la circunferencia de inversión.
• Circunferencia de autoinversión: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del centro de inversión, una distancia constante igual a la raíz de la potencia de inversión k=IT. Sólo hay una circunferencia de autoinversión. Cuando la inversión es positiva la circunferencia de autoinversión está formada por puntos dobles (un punto y su inverso se superponen T=T'). 
• Se conserva la incidencia. Si dos elementos son tangentes o se cortan en un punto P, sus inversas serán también tangentes o se cortarán en el punto inverso P'. 

Principales características de las inversiones

(invariantes métricos y proyectivos)

La inversión queda definida, bien si conocemos I, A, A' (el centro de inversión y un par de puntos inversos). O también si conocemos, sólo, I, k (la circunferencia de autoinversión única para cada inversión, de centro I y de radio la raíz k de la potencia de inversión). Para dibujar esta circunferencia de autoinversión, basa averiguar el segmento tangente desde el centro de inversión a cualquiera de las infinitas circunferencias de inversión cc' que pasan por el par de puntos dados A y A'. La siguiente imagen dinámica lo demuestra:

Imagen interactiva. Dale al play o pincha y arrastra el centro CC' de la 
circunferencia cc' de inversión sobre la mediatriz m de AA'. 

Comprobarás que el segmento tangente IT mide siempre lo mismo, independientemente de la circunferencia cc' que hayas elegido. Es decir, la potencia de inversión es constante; la circunferencia de autoinversión es única (define la transformación) y hay infinitas circunferencias cc' de inversión.

Los casos tipo a estudiar son:

• Inversión positiva IPP': Pares de puntos inversos están al mismo lado del centro de inversión; el centro de inversión I es exterior a las circunferencias de inversión cc'; los puntos de la circunferencia de autoinversión son dobles; la circunferencia de inversión y la de autoinversión son ortogonales; se cumple el teorema del cateto.
• Inversión negativa PIP': Puntos inversos están a distintos lados del centro de inversión; el centro I de inversión es interior a las circunferencias de inversión, que a su vez, son diametrales de la de autoinversión y se cumple el teorema de la altura.
• La inversa de una recta que pasa por I, es ella misma. 
• La inversa de una recta que NO pasa por I, es una circunferencia que sí pasa, siendo el diámetro que contiene al centro de inversión I, ortogonal a la recta. El otro extremo de dicho diámetro es el inverso P' del pie P con la recta.
• La inversa de una circunferencia que pasa por I  es una recta que no pasa, ortogonal al diámetro que pasa por I. Tiene su pie en el inverso del otro extremo de dicho diámetro.
• La inversa de una circunferencia que NO pasa por I es una circunferencia homotética de la anterior, con centro de homotecia coincidente con el centro de inversión.  Los centros de circunferencias inversas son homotéticos, pero no inversos entre sí. El inverso del centro de una de las circunferencias está en el pie de la polar de la otra circunferencia respecto a I.

Principales casos de inversión 

Enunciado (datos I, k), Análisis, Solución.

Principales casos de inversión 

Enunciados (datos I, A, A')

Principales casos de inversión

Enunciado (datos I, A, A'), Análisis, Solución

Imagen interactiva. 
Dale al "play" de la esquina inferior izquierda, 

o pincha y arrastra el punto Q sobre la recta r.

Verás que todos los puntos inversos Q' de los puntos Q de la recta conforman una circunferencia r' que pasará siempre por el centro de inversión I y que tiene por diámetro IP', perpendicular a r.

Piziadas nos indica 5 razonamientos de geometría métrica que permiten determinar el inverso A' de un punto A, conocidos el centro de inversión I y un punto doble T=T':

• Teorema del Cateto, 
• Arco Capaz, 
• Potencia, 
• Antiparalelismo, 
• Inverso de un segmento que no pasa por I.

Encontramos muchos otros ejercicios para resolver y ayudarnos a interiorizar estos conceptos. Piziadas nos plantea los siguientes 6 ejercicios de inversión:

Enunciados

Análisis

Ejercicios

Ejercicios de determinación de elementos con condiciones angulares. La condición de "paso por un punto" nos permite realizar una inversión con centro ese punto

Este enlace nos plantea ejercicios de inversiones de circunferencias que mostramos a continuación:

Enunciados

Análisis y Soluciones

Y más ejercicios que encontramos :

Enunciados

Análisis, Soluciones

Visualización. Aplicaciones para cartografía.

Durante el Máster nos mostraron un interesante vídeo. Ya lo puse en otra entrada, pero lo inserto aquí otra vez, no sólo por lo bonito que es, sino porque ayuda a comprender y visualizar las inversiones :

Las transformaciones de Moebius se encuentran entre los "mapeos" más importantes en Geometría, con aplicaciones desde el cerebro hasta la teoría de la relatividad. Una transformación de Moebius hace corresponder un punto del plano con otro. Hay cuatro tipos: Traslaciones simples, escalado, rotación, inversión que vuelve el plano de adentro hacia afuera. Las líneas en el plano siguen siendo líneas o se transforman en círculos y los ángulos rectos permanecen igual. En general, una transformación de Moebius puede ser una combinación de los cuatro efectos. El verdadero significado de las transformaciones de Moebius se revela moviéndose a la siguiente dimensión. Siguiendo el ejemplo de Bernhard Riemann, colocamos una esfera sobre el plano. Una luz en la parte superior brilla a través de la superficie esférica iluminando el plano. A medida que la esfera se mueve, los puntos del plano, la siguen. Cuando la esfera se mueve, también lo hace el plano. Levantando la esfera, se obtiene el escalado. Si gira la esfera, el plano gira. La rotación alrededor de un eje horizontal corresponde a la inversión (min.2.00). Incluso las transformaciones de Moebius más complicadas se revelan como simples movimientos de la esfera.

Encontré un pdf que relacionaba las inversiones con la cartografía. De las propiedades de la inversión en el plano, se obtienen propiedades análogas para la inversión en el espacio:  Una esfera que pasa por el centro de inversión, se transforma en un plano paralelo al plano tangente a la esfera en el centro de inversión. Esto ha dado origen a la proyección esterográfica (W) empleada en cartografía y a instrumentos gráficos como el astrolabio. La proyección estereográfica es un sistema de representación gráfico en el cual se proyecta la superficie de una esfera, desde un punto, sobre un plano o sobre una superficie de revolución, cilíndrica o cónica, tangente a la esfera. Mercator fue el primer cartógrafo en emplear este sistema de proyección en el siglo XVI, dando origen al primer mapa donde se podían trazar rumbos náuticos con líneas rectas, calculando correctamente las distancias.

Proyección cilíndrica o de Mercator (W) (la superficie de proyección es un cilindro tangente): Es una de las más utilizadas en cartografía y mapasmundis, aunque modificada, porque distorsiona bastante las zonas de latitud elevada, lo que a su vez, impide representar dichas regiones en su verdadera proporción.

Proyección Cónica (W) (la superficie de proyección es un cono tangente a la esfera que queremos proyectar)

Proyección azimutal (W) (la superficie de proyección es un plano tangente a la esfera y el centro de proyección es diametralmente opuesto al punto de tangencia). Si el centro de proyección está en un polo de la esfera (supongamos la Tierra esférica y el polo Norte), los  meridianos son líneas rectas y los paralelos son círculos concéntricos. Si el centro de proyección está en el ecuador, sólo son líneas rectas el meridiano central y el ecuador. Se utiliza para representar la esfera celeste en astronomía o en arquitectura e ingeniería para realizar planos de soleamiento y sombras determinando la posición del Sol a lo largo del año.

Proyección cartográfica cilíndrica, cónica, acimutal gnomónica y proyección estereográfica 

Fuente principal de estudio 

• Piziadas. Dibujo. Geometría Métrica. Transformaciones geométricas. Inversión en el plano.
• Piziadas. Dibujo. Geometría Métrica. Transformaciones geométricas. Inversión de un punto. 10 construcciones para su obtención
• Piziadas. Dibujo. Geometría Métrica. Transformaciones geométricas. Inversión. Tabla de gimnasia mental para transformación de elementos.
• Piziadas. Dibujo. Geometría Métrica. Transformaciones geométricas. Inversión. Tabla de gimnasia mental para determinación de elementos con condiciones angulares.

Con los ejercicios presentados hay un buen repertorio para practicar e ir asentando conceptos. En próximas entradas estudiaremos más aplicaciones de las inversiones para resolución de problemas de tangencias y angulares, inversión de haces de circunferencias y determinación de elementos con condiciones angulares, entre otros, que nos ofrece Piziadas. 

Otras fuentes de apoyo

Y estos son otros enlaces con más ejercicios aún:

• Trazoide. Índice de ejercicios de inversión.
• Néstor Martín Gulias. Tangencias por inversión.
• IES Sánchez Cantón. Dibujo Técnico II. 2º Bach. Transformaciones geométricas anamórficas. Inversión (de este enlace he sacado la relación de las inversiones con los mapas)