Blender. Círculo cromático de Goethe.

Aquí presento el círculo cromático de Goethe, realizado en Blender.

RESUMEN DEL PROCESO
Abrimos la escena. Elaboramos un tetraedro. Lo copiamos y rotamos 12 veces respecto al origen de coordenadas global. Le cambiamos el color. Añadimos un plano, al que le hemos puesto un material que refleje. Y Añadimos una luz focal, luego otra luz más esférica y otra luz final más, para mejorar la escena.

Dejo pendiente explicar más tanto el proceso de elaboración de la escena, como las teorías cromáticas a que hace referencia este ejercicio.

Sistema diédrico: verdadera magnitud de un segmento

La verdadera magnitud de un segmento sobre un plano de proyección, se obtiene llevando en perpendicular, sobre la proyección del segmento sobre ese plano, la diferencia de distancias de los extremos del segmento, al plano. La verdadera magnitud VM del segmento, es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado.

Lo analizamos a continuación:

Consideremos un segmento en el espacio, determinado por dos puntos A y B. 

La distancia real, en el espacio, entre A y B se conoce como "verdadera magnitud" (VM).

En el sistema diédrico, los elementos del espacio, se proyectan ortogonalmente (formando 90º) sobre los planos de proyección. Se usan tantos planos de proyección  como sea necesario para determinar la figura en el plano del dibujo. Lo normal es que baste con 1, 2 ó 3 planos de proyección (triedro).

Si proyectamos el segmento AB sobre el plano indicado, ortogonalmente, obtenemos la proyección a'. Una paralela (a'₁) a a', pasando por el punto A, medirá lo mismo que a'. Además, esta paralela a'₁, cortará al rayo proyectante de B formando un ángulo recto. Se determina así la diferencia de distancias al plano de proyección que podemos llamar "diferencia de cotas (Dz), "diferencia de alejamientos" ó "diferencia de desviaciones" según el plano de proyección al que midamos esa distancia. 

Se ha formado con estas operaciones un triángulo rectángulo en el espacio tal que:

- la hipotenusa es VM.

- un cateto (a'₁) es equivalente a la proyección a' del segmento sobre el plano de proyección.

- el otro cateto es la diferencia de distancias al plano de proyección considerado (Dz).
Además, el ángulo entre VM y a'₁, es el ángulo verdadero entre el segmento y el plano de proyección.


Si hacemos que nuestro plano de dibujo (el de proyección) y pase por uno de los extremos del segmento en el espacio (lo que es igual a hacer pasar por dicho extremo un plano paralelo al de proyección),  una de las proyecciones del segmento (a'₁), estará incluida en dicho nuevo plano. Abatiendo el plano que contiene al segmento del espacio y los rayos proyectantes, sobre este nuevo plano, tendremos la verdadera magnitud en nuestro plano de dibujo. 

Normalmente se necesitan dos planos de proyección para determinar la posición de un objeto, es decir, dos proyecciones, de ahí el nombre, "sistema diédrico". Esto ocurre con nuestro segmento AB, que quedaría representado como sigue:

Sistema diédrico. Verdadera magnitud obtenida sobre la primera proyección.

El siguiente applet, muestra el proceso de obtención de la verdadera magnitud de un segmento, explicado paso a paso, en el espacio y en diédrico, para comprenderlo mejor.

De igual manera se podría obtener la misma verdadera magnitud de dicho segmento, a partir de cualquier otra de las proyecciones segunda o tercera de dicho segmento sobre los otros planos de proyección.

Sistema diédrico: el plano

Un plano queda determinado por:
- tres puntos no alineados. 
- una recta (dos puntos) y un punto más.
- dos distancias relativas sobre un plano de proyección.

La proyección cilíndrica, sobre planos paralelos, es invariante.

Un plano, queda suficientemente determinado en el sistema diédrico, con su proyección sobre otros dos ortogonales entre sí. 

Una tercera proyección sobre otro plano ortogonal a los anteriores, conserva cotas Dz, alejamientos Dy, desviaciones Dx, o diferencia de distancias de dos puntos respecto a los planos de un triedro, por ejemplo, el horizontal, el vertical y el de perfil.

¿Sabrías determinar el punto que pertenece a un plano, sabiendo una sola de sus proyecciones diédricas?

Solución 2: Hexágono en diédrico

Aquí está la solución al ejercicio de resolver un hexágono en diédrico:

Problema 3 - Solución 3: Arco Capaz

Nuestra compañera de Máster, Sketcher, nos plantea ayudar al pequeño cachorro de león Liam a ubicarse. Liam se ha perdido un poco en sus primeras expediciones de caza. Divisa 4 sitios: La distancia entre el manantial y el pico, bajo 30º; y la distancia entre el árbol y la manada bajo 45º, como nos explica Sketcher aquí. 

Pues bien. Tranquilo Liam. Podrías encontrarte en P₁ o en P_{2 ,}donde se cortan los arcos capaces de cada segmento. Cada arco capaz es un arco de circunferencia, cuyo centro está en la intersección de la mediatriz del segmento considerado, y la perpendicular por un extremo del segmento a la tangente al arco. En los extremos del segmento, uno de los lados del ángulo coincide con el segmento y el otro lado forma el ángulo dado con él, siendo así, tangente al arco buscado. En la imagen lo comprenderás. Como saliste de caza, estás en P2, donde están los ñús.

Sketcher nos ha planteado un bonito ejemplo de aplicación del concepto geométrico de ARCO CAPAZ para ubicarse.

Problema 2: Hexágono en diédrico.

Dadas las proyecciones siguientes en el sistema diédrico, completar el resto de proyecciones del hexágono regular al que pertenecen.

Problema 1: Dividir la circunferencia (Thales)

Aquí os planteo un ejercicio: Dividir una circunferencia en n partes iguales.

Para resolverlo debemos usar el Teorema de Thales, conceptos de Topología o Pertenencia y las operaciones de Proyectar y Seccionar.

Solución 1: División circunferencia (Thales)

Basándonos en las operaciones de Proyección y Sección, podemos deducir cómo dividir una circunferencia en n partes iguales y obtener así el polígono regular inscrito de n lados.

En Geometría Proyectiva distinguimos entre:

• Elemento Proyectado (el objeto del espacio)
• Elemento Proyectante (éste marca una dirección) y 
• Elemento Proyección o Perspectiva (el objeto dibujado). Es la intersección del rayo proyectante con el elemento secante.
• Elemento secante (el que corta al rayo proyectante; el papel del dibujo es un elemento secante)

Cuando un elemento proyecta a otro, hace que el primero cambie sus características de posición, tamaño y forma, siguiendo una dirección, hasta que el rayo proyectante es seccionado o intersecado por un elemento Secante.

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Insignia al esfuerzo ¡ARCapacitado!

• Nombre de la insignia:     INSIGNIA AL ESFUERZO

• Objetivo motivacional:     Incitar al alumno a continuar en su aprendizaje.

• Slogan:                            "¡ARCapacitado!"

• Criterios de asignación:   La insignia se otorgará  a aquel alumno que haya realizado un mayor esfuerzo por cumplir con los objetivos de la asignatura, lo que engloba aspectos tan variados como realizar muy bien alguna tarea, responder acertadamente a alguna pregunta planteada en clase, o cualquier motivo que permita apreciar un esfuerzo especial o significativo por mejorar el mismo alumno, o el ambiente de la clase. 

• Duración: Se otorgará una vez a la semana. Puede que haya alguna semana que no se entregue ninguna insignia, si no se ha percibido motivo para otorgarla. La insignia llevará la fecha en que se otorgó. Al final del curso, quién haya reunido más insignias, verá favorecido su resultado global, en la medida que el profesor estime conveniente.

• Número máximo de insignias a asignar: Por lo general, se concederá la insignia a una única persona. Muy ocasionalmente pueden otorgarse a más de una persona (casos de los trabajos en equipo, cuyo esfuerzo haya sido notable, aunque el rendimiento no haya resultado acorde al esfuerzo)

• Diseño: Planteo el esfuerzo como medio para superar dificultades y alcanzar metas. Por ese motivo, trato de representar una persona (brazos y cabeza) levantando su trofeo (cartabón, símbolo del objetivo cumplido, del trofeo) en el momento de disfrute por haber sido reconocido o haber logrado su objetivo de aprendizaje, enmarcado el momento, a modo de aureola, por el arco capaz en que se inscribe el cartabón.

                

Sistema diédrico: La recta.

Un recta queda determinada en el espacio por dos puntos.

En el sistema diédrico, la recta quedará representada por las proyecciones de esos dos puntos. Lo único que necesitamos para obtener dichas proyecciones, es la dirección de los planos de proyección, es decir, la línea de intersección de ambos, alrededor de la cual se abate un plano sobre el otro. Sabemos, que todo punto del espacio debe tener sus proyecciones alineadas en una línea de referencia que será perpendicular a la dirección delos planos de proyección. Por tanto, las proyecciones de dos puntos de una recta, han de tener las líneas de referencia (P'P'' y Q'Q'') que unen dichas proyecciones, paralelas entre sí. Habrá una línea de referencia por cada punto representado.

      

La distancia absoluta de los puntos del espacio P y Q a sus proyecciones, dependerá del plano concreto que se use para la proyección. Pero  la distancia relativa de los puntos entre sí, es decir, la distancia entre P y Q, es una medida determinada, llamada Dx, Dy, Dz según la dirección considerada.

Dz se conoce como diferencia de cotas.
Dx se conoce como diferencia de alejamientos respecto al plano vertical.
Dy se conoce como diferencia de alejamientos respecto al plano de perfil.

         

Para obtener la verdadera magnitud VM del segmento en el espacio PQ y el ángulo que forma con uno de los planos de proyección, basta considerar el triángulo pitagórico señalado en el espacio. Como vemos, uno de los catetos, es paralelo al plano con el que queremos saber el ángulo y medirá r'. El otro de los catetos, es la diferencia de cotas (o alejamientos) entre los puntos en el espacio de la recta y medirá Dz .La hipotenusa, es la verdadera magnitud que queremos averiguar.

- Primero, consideramos el concepto de pertenencia de la proyección del segmento en el plano con el que queremos averiguar el ángulo. Si utilizamos dicho plano de proyección como plano de dibujo, aprovecharemos el dato conocido r'. 

- En segundo lugar, consideramos la diferencia de cotas o alejamientos en la dirección perpendicular al plano del dibujo elegido y trasladamos esa medida empleando el concepto mencionado de perpendicularidad a la proyección r'.

Inmediatamente obtenemos la verdadera magnitud y el ángulo buscados.

   

Sistema Diédrico: El punto

La geometría descriptiva es el conjunto de técnicas que emplean la geometría para representar el espacio tridimensional, sobre una superficie bidimensional.

El sistema diédrico se basa en la proyección cilíndrica ortogonal sobre dos planos de proyección ortogonales entre sí. Normalmente se tomarán como planos de proyección los planos horizontal H y vertical V. Ambos planos se representan en el mismo plano de dibujo, lo que se consigue: 

-  abatiendo uno de los planos de proyección sobre el otro, tomando como eje de giro la recta i de intersección entre ambos, charnela que se conoce como "línea de tierra".

- y haciendo coincidir uno de los planos de proyección, con el plano de dibujo.

De esta manera, todo objeto del espacio tendrá dos proyecciones, una sobre el plano horizontal (llamada primera proyección) y otra sobre el plano vertical (llamada segunda proyección).

Lo particular del sistema diédrico es que las dos proyecciones del objeto, están alineadas en una línea de referencia que es perpendicular a la "línea de tierra". La línea de tierra no es necesario representarla. Lo que sí es importante es que:

• las proyecciones de un mismo objeto estén alineadas (en la misma línea de referencia)
• Todas las líneas de referencia sean paralelas entre sí.

El punto P del espacio se proyecta ortogonalmente sobre el plano H en P'₁ que seguidamente, se abate sobre el plano vertical V alrededor de la línea i, hasta llegar a P' . Por otro lado, el punto P del espacio se proyecta ortogonalmente sobre el plano V en P''.

Así pues, un punto P del espacio, queda representado por dos proyecciones P' o primera proyección y P'' o segunda proyección. La línea de referencia que une P' y P'' es ortogonal a la línea i de intersección de los planos H y V. 

Proyección cilíndrica ortogonal.

El concepto topológico de "pertenencia" es común a todos los sistemas de representación.

Algunos teoremas espaciales que se cumplen en la proyección cilíndrica ortogonal son:

Una recta r es perpendicular a un plano, si lo es a dos rectas a y b, no paralelas, contenidas en dicho plano. P es un punto del espacio, r es la recta perpendicular al plano, P' es la proyección de P sobre el plano.

Si una recta r es perpendicular a un plano, todos los planos que la contengan también son ortogonales a dicho plano. Podemos considerar la recta r de intersección de los planos ortogonales al primero, como la bisagra o charnela o eje de giro.

Si un plano es perpendicular a otros dos planos, lo es a la recta i intersección de éstos. La recta i intersección de dos planos H, V es la dirección común  a ambos. Un plano que contenga a la recta proyectante de un punto P del espacio sobre uno de los planos H, ó V, será perpendicular a H o V respectivamente. El plano que contenga al punto P del espacio, y a sus proyecciones P' sobre el plano Horizontal H, y P'' sobre el plano vertical V, será perpendicular a la vez a H y a V y cortará a i en el punto I.

Geometría proyectiva. Ternas. Razón simple.

La Geometría Proyectiva se basa en el Teorema de Thales que establece la relación de medidas, es decir, proporciones.

Llamamos terna de elementos, a la relación entre tres elementos del mismo tipo.

Conceptualmente, se puede entender la terna de tres puntos como la comparación entre la medida del segmento determinado por primer y segundo punto comparada con la medida del segmento formado por el primer y tercer punto, es decir, "el primer segmento es tantas veces el segundo".  Si el resultado del cociente es un número inferior a 1, por ejemplo 0,5, entonces el segundo segmento, el que situaríamos en el denominador, sería el doble de tamaño que el primero.

Es importante destacar dos aspectos:

• Categoría: los tres son elementos de la misma categoría (3 puntos o 3 rectas o 3 planos)
• Orden: el orden en que disponemos o enunciamos la terna es fundamental, ya que determina la característica o valor numérico asociado, que es el resultado del cociente. Por eso siempre se enuncia como "terna ordenada de elementos" y se escribe como sigue:

La característica de una terna ordenada de tres puntos es el cociente entre la longitud del segmento determinado por el primer y el segundo punto enunciados, y la longitud del segmento determinado por el primer y el tercer punto enunciado.

terna ordenada de puntos (ABC) = AB / AC = λ

El valor o característica de la terna ordenada de tres rectas es el cociente entre el seno del ángulo formado por las dos primeras rectas y el seno del ángulo formado por la primera y la tercera recta:

terna ordenada de rectas (abc) = sen (ab) / sen (ac) =  λ

El valor o característica de la terna ordenada de tres planos es el cociente entre el seno del ángulo formado por los dos primeros planos y el seno del ángulo formado por el primer plano y el tercero:

terna ordenada de planos (αβγ) = sen (αβ) / sen (αγ) =  λ

El valor de la terna de rectas (abc) concurrentes en un vértice V, es diferente del valor de la terna de puntos (ABC) intersección del haz de rectas (abc) con otra recta r secante.

 Veamos por qué:

Consideremos el siguiente haz o terna de rectas (abc) concurrentes en el vértice V.

Podemos considerar los puntos A, B, C dados, como proyecciones de V según distintos rayos proyectantes. A, B y C serían las proyecciones o perspectivas de V según dichos rayos proyectantes.
Si seccionamos una terna de rectas (abc) concurrentes en V, por dos rectas r y s no paralelas, las ternas de puntos intersección resultantes (ABC) y (A'B'C'), tienen distinta característica entre sí y que la terna de rectas. Es decir: 

CONSERVACIÓN DE LA RAZÓN SIMPLE (abc) = (ABC)

Se dice que se conserva la razón simple cuando la terna de rectas (abc) tiene igual valor que la terna de puntos intersección (ABC), lo que sucede cuando la razón VC / VB es 1. Esto se cumple en los dos casos siguientes:

• Proyección cilíndrica: una terna de rectas (abc), paralalelas, cuyo punto de intersección V está en el infinito (es un punto impropio), cortada por las rectas concurrentes r, s.

• Proyección cónica:  una terna de rectas (abc) concurrentes en el vértice propio V, cortada por rectas paralelas r, s.

(abc) = (ABC) = (A'B'C')

    
    proyección cilíndrica (V en el infinito)          proyección cónica (V es vértice propio)

Ángulos

Geometría es la disciplina matemática que mide ("metría") la tierra ("geo"), para lo que emplea un lenguaje de elementos gráficos (punto, recta, curva, superficie plana, superficie curva), con los que se representan figuras (que tendrán una posición, una medida, una forma) y se podrán relacionar mediante conceptos comparativos como igualdad (mismo tamaño y misma forma), equivalencia (misma medida), proporción (medidas relacionadas), semejanza (medidas relacionadas y misma forma).

La posición es el lugar geométrico. La posición de un punto queda determinada por dos coordenadas en el plano y por tres en el espacio. Una recta indica la dirección y queda definida por dos puntos. La posición relativa de una recta respecto a otra queda determinada por el ángulo entre ambas.

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas del mismo que tienen el mismo punto de origen o vértice. Se miden en radianes, grados sexagesimales o grados centesimales. Tiene que ver con el concepto de intersección de elementos de una superficie y permite establecer su posición relativa (dos rectas, recta y circunferencia, dos circunferencias), como vemos a continuación.

El ángulo entre dos rectas siempre se da como el menor de los que se determinan. Este es el problema básico al que se reducen muchos de los de intersección de elementos en el plano.

Imagen interactiva. Pincha y arrastra los puntos azules 
para cambiar el tamaño del ángulo.

El ángulo entre una recta y una circunferencia que se cortan, es el que forma la recta con la tangente a la circunferencia en uno de los puntos de intersección.

Imagen interactiva. Pincha y arrastra los puntos azules 
para cambiar el tamaño del ángulo.

El ángulo entre dos circunferencias que se cortan, es el que forman sus tangentes en cualquiera de sus puntos de intersección.

Imagen interactiva. Pincha y arrastra los puntos azules 
para cambiar el tamaño del ángulo.

La recta tangente y el radio que pasa por el punto de tangencia T, son ortogonales,  forman 90º.

Arco Capaz de un semento AB visto bajo un ángulo α

Geometría es la disciplina matemática que mide ("metría") la tierra ("geo"), para lo que emplea un lenguaje de elementos gráficos (punto, recta, curva, superficie plana, superficie curva), con los que se representan figuras, que tendrán una posición, una medida, una forma y se podrán relacionar mediante conceptos comparativos como igualdad (mismo tamaño y misma forma), equivalencia (misma medida), proporción (medidas relacionadas) y semejanza (misma forma y medidas relacionadas).

La posición es el lugar geométrico. La posición de un punto queda determinada por dos coordenadas en el plano, y por tres en el espacio. La posición relativa de una recta respecto a otra queda determinada por el ángulo entre ambas, definiéndose ángulo como la parte del plano comprendida entre dos semirrectas del mismo que tienen el mismo punto de origen o vértice.

La medida es el tamaño. La medida de un segmento es su longitud y la de un plano es su área. Hemos visto la importancia del Teorema de Pitágoras a² = b² + c²  para:
- determinar las medidas de un segmento, a = (b² + c²)^1/2  (introducción a números irracionales)
- determinar las medidas de una superficie o área (distancia al cuadrado),  a² = superficie
- determinar la forma de una circunferencia (R² = x² + y²).

La forma queda determinada por segmentos - rectos o curvos ("lados de la figura"), y por los vértices entre ellos. Dos figuras con la misma forma pero distinto tamaño se dice que son semejantes. 

La proporción es la relación de tamaños entre figuras con la misma forma. Algebráicamente es un cociente de medidas y representa la razón de semejanza o escala, es decir, el número de veces que una figura es más grande que la otra con la que se compara.

Hemos visto la importancia de la semejanza de triángulos y del Teorema de Thales que nos habla de proporcionalidad entre lados de triángulos semejantes. Tiene que ver con el concepto matemático de cociente.

Arco Capaz

Introducimos un concepto más: Arco Capaz de un segmento visto bajo un ángulo  α .

El arco capaz de un segmento AB bajo un ángulo alfa, es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve el segmento AB bajo el mismo ángulo α.

Para explicar el concepto partimos de dos datos: un segmento y un ángulo bajo el cual se ve el segmento.

La forma que tienen el conjunto de puntos que cumplen la condición de arco capaz (abarcar el mismo segmento AB y mantener constante el ángulo alfa) es la de un arco de circunferencia. El segmento AB será una cuerda de esa circunferencia. 

Necesitamos considerar dos aspectos:

• El centro de una circunferencia está en la intersección de las mediatrices de dos cuerdas cualesquiera de la circunferencia.
• La recta tangente al arco y el radio que pasa por el punto de tangencia T, son ortogonales.

Sabiendo esto,  el arco capaz del segmento AB bajo el ángulo alfa se muestra en naranja en la siguiente figura. El ángulo alfa se mantiene constante.  El "arco capaz" tendrá su centro en la intersección de la mediatriz a AB con la perpendicular en A o en B a la tangente a la circunferencia buscada.

Observando la figura, vemos que al desplazarse el ángulo de vértice P hasta uno de los extremos del segmento dado AB, un lado coincide con la cuerda y el otro lado forma con ella el mismo ángulo α y determina la dirección tangente al arco. 

Teniendo en cuenta esto, podremos encontrar el centro C del arco buscado como intersección de la mediatriz a AB y la perpendicular r a la recta tangente t en un extremo de AB, la cual forma con el segmento dado AB el ángulo dado α. 

El arco capaz de un segmento AB visto bajo un ángulo de 90º, es una semicircunferencia que tiene el centro en el punto medio de AB. Como vemos en la figura siguiente, la perpendicular a la tangente al arco en un extremo del segmento, coincide con él. Esta recta r se corta con la mediatriz m a AB en el punto C, punto medio de AB. El arco que tiene por centro C y pasa por los punto A y B es la semicircunferencia c, arco capaz de AB bajo 90º.

Aplicaciones del Arco Capaz: 

Recta tangente a una circunferencia desde un punto P.

Podemos utilizar el arco capaz de 90º para determinar la recta tangente a una circunferencia dada, desde un punto P dado. El punto de tangencia T buscado pertenecerá a la circunferencia dada y será el encuentro de radio y tangente, que forman 90º. El radio parte del centro. La tangente parte de P. por tanto tenemos un triángulo PTC rectángulo en T y del que PC es hipotenusa. Por tanto la hipotenusa se ve bajo un ángulo de 90º y se puede construir su arco capaz. Éste intersecta con la circunferencia dada en T. El punto de tangencia pertenecerá a la circunferencia c y al arco capaz de PC.

Problema Fundamental de Tangencias (PFT): PPr (ABr)

El problema consiste en determinar la circunferencia que pase por dos puntos dados A y B y sea (1)  perpendicular / tangente a una recta r dada. 

Para resolver el  problema emplearemos los conceptos siguientes:

Centro como intersección de mediatrices de cuerdas de la circunferencia buscada.

A y B pertenecerán a la circunferencia c buscada, luego el segmento AB es una cuerda de c. El centro de toda circunferencia está en la intersección de las mediatrices de dos cuerdas cualesquiera. Por lo tanto, sabemos que C estará en dicha mediatriz del segmento AB.

Circunferencia definida por 3 puntos.

Para determinar una circunferencia en el plano, necesitamos 3 puntos. Dos ya los conocemos, son los datos, A y B. La condición de que la recta r y la circunferencia buscada sean tangentes, significa que son secantes en un único punto T, llamado punto de tangencia. T es el tercer punto buscado y en él, el radio de la circunferencia corta a la recta r de manera perpendicular.

Potencia de un punto P respecto a una circunferencia c.

Por el concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia sabemos que:

• La potencia W_p² es el producto de la distancia menor por la distancia mayor del punto a la circunferencia. 

Potencia =  PA · PB 

• La potencia W_p² es un área de valor equivalente al cuadrado de PT (por Pitágoras):

Potencia = W_p² = PT ²

• La potencia es constante (por el Arco Capaz y  Thales). Dicho de otro modo, la potencia de P, respecto de cualquier circunferencia que pase por A y B, es la misma:

Potencia = PA · PB = PT ²= constante

Utilizamos una circunferencia c₁ auxiliar de cualquier radio que pase por AyB y averiguamos la potencia PT₁ de P respecto a ella, que será la misma que para la circunferencia buscada. Llevamos PT₁ sobre nuestra recta de partida r, encontrando así el punto de tangencia T. Como sabemos, mediatriz a una cuerda y perpendicular a una tangente, intersectan en el centro de la circunferencia buscada.

Teorema del Cateto y Teorema de la Altura

PROPORCIONALIDAD

Visualmente es sencillo comprender la suma o la resta de medidas.

La noción de semejanza y el Teorema de Thales nos introducen el concepto de proporcionalidad que nos permite resolver relaciones de medidas entre segmentos.

La proporción es relación, cociente, fracción entre medidas, número racional, entendida como expresión algebraica de las proporciones que establecen dichos conceptos de semejanza y Thales.

Cuarto proporcional: es la incógnita que hace cumplirse una igualdad de cocientes. También se conoce como "regla de tres".

x / a = b / c

x = a·b/c

Tercera proporcional: es la igualdad de cocientes en que a ambos lados de la igualdad se repite un operando que no es la incógnita.

x / a = a / b

x = a·a/b

Media proporcional: es la igualdad de cocientes en que la incógnita x aparece a ambos lados de la igualdad.

x / a = b / x 

x = √(a·b)

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

El concepto de arco capaz nos permite obtener un triángulo rectángulo, partiendo de su hipotenusa. Ésta es el segmento que se observa bajo el ángulo recto inscrito en el arco de centro el punto medio de la hipotenusa y radio la mitad de la misma.

Necesitamos un dato más para concretar un único triángulo rectángulo, por ejemplo la altura del triángulo. Ésta se define como la recta perpendicular a un lado del triángulo, pasando por el vértice opuesto.

Esta altura CH nos permite encontrar tres triángulos rectángulos semejantes: ACB, AHC, CHB.

ACB y AHC son semejantes porque tienen dos ángulos iguales: uno recto y A compartido.

ACB y CHB son semejantes porque tienen dos ángulos iguales: uno recto y B compartido.

AHC y CHB son semejantes porque tienen dos ángulos iguales: uno recto y A = C (los ángulos cuyos lados son perpendiculares, determinan aberturas iguales - CH es perpendicular a AB y BC es perpendicular a AC) 

Aplicando Thales a los tres triángulos,  podemos enunciar el Teorema del Cateto y el Teorema de la Altura, que nos serán de gran utilidad en relación con la Potencia de un punto respecto a una circunferencia, o para resolver el PFT, Problema Fundamental de Tangencias.

TEOREMA DEL CATETO

En un triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de ese cateto sobre ella.

TEOREMA DE LA ALTURA

En un triángulo rectángulo, la altura medida sobre la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que la divide.

Potencia de un punto respecto a una circunferencia

La potencia W_p² de un punto P respecto de una circunferencia c es el producto de la menor distancia m por la mayor distancia n del punto P a la circunferencia c. 

Expresado algebráicamente tendríamos:

Potencia = W_p²= m · n

P exterior a la circunferencia

Analicemos un punto P, exterior  a la circunferencia,

Como vemos en la figura, P es exterior a la circunferencia, los puntos A y B pertenecen a ella y están alineados con P, perteneciendo los tres puntos A, B y P a la misma recta. Además: 

R = radio de la circunferencia c

d  = PC

m = PA = d - R

n  = PB = d + R

Por lo que podemos expresar la potencia, como sigue:

                   Potencia = W_p² = m · n = (d-R) · (d+R) = d² - R² 

La diferencia de medidas al cuadrado, d² – R² , alude al Teorema de Pitágoras, es decir a un triángulo rectángulo, el cual encontramos mediante el arco capaz. 

La hipotenusa del triángulo rectángulo será d = PC, un cateto R y el otro W_p.

El vértice T del ángulo recto del triángulo pitagórico buscado, pertenecerá a la circunferencia y al arco capaz del punto P respecto a la circunferencia c. 

La longitud del segmento PT, que llamamos W, será, elevada al cuadrado, la potencia W² del punto P respecto a la circunferencia c. 

Como vemos en la figura anterior, la potencia es un área de valor equivalente a la del cuadrado de lado W, es decir el cuadrado de la longitud del segmento PT tangente a la circunferencia. El concepto de Potencia alude al producto de distancias.

Punto P interior a la circunferencia

Consideremos ahora un punto P, interior a una circunferencia c. Si la potencia es el producto de las distancias menor m y mayor n a la circunferencia c, como vemos en la figura:

m= PA = R - d

n = PB = R + d

d = PC

Por lo que de nuevo, podemos expresar el producto m·n como una suma por diferencia, por tanto una diferencia de cuadrados:

Potencia = m · n = (R - d) · (R + d) = R² – d² = - (d² - R²)

Y toda diferencia de cuadrados alude al triángulo pitagórico, que en este caso tiene el ángulo recto en P, como hipotenusa el radio R  y un cateto es d. El otro cateto, PT= W_p es el lado del cuadrado cuya área es equivalente a la Potencia W²  buscada, es decir el resultado del producto m·n.

Generalización del concepto de potencia

La potencia de un punto P respecto de una circunferencia c, es el producto de la menor "m" por la mayor "n" de las distancias del punto P a la circunferencia c.

Igual que esta definición es válida para un punto P cualquiera, tanto interior, como exterior a la circunferencia, también lo es para cualquier recta que pase por P y sea secante a c, pase por el centro C de la circunferencia, o no.

La potencia del punto P a la circunferencia c es independiente de la recta elegida.

Podemos demostrarlo gracias al concepto de Arco Capaz y al Teorema de Thales.

Dados un punto P y una circunferencia c, consideramos un par de rectas r y s, secantes en A y B la primera, r, y en C y D  la segunda, s.

La circunferencia es el arco capaz del segmento BC, que se verá bajo el mismo ángulo α desde cualquier punto del arco. Dicho de otro modo, cualquier ángulo inscrito en dicho arco capaz, tiene el mismo valor α.

Se determinan así dos triángulos PAC y PBD que comparten un ángulo, el del vértice P y tienen otro ángulo de igual valor, el que está en la circunferencia: el ángulo de vértice A en el triángulo PAC y el ángulo de vértice D del triángulo PBD. Dos triángulos que tienen dos ángulos iguales, son semejantes y por tanto se puede aplicar el Teorema de Thales:

PA / PC = PD / PB

n / m' = n' / m

m·n = m'·n'

PA · PB = PC · PD = constante

PA es la mayor distancia n de P a c, en la recta r.

PB es la menor distancia m de P a c, en la recta r.

PC es la menor distancia  m' de P a c, en la recta s.

PD es la mayor distancia n' de P a c, en la recta s.

n · m =  W_p² = m' · n' = constante

Lo que demuestra que la potencia de un punto P respecto a la circunferencia c, es independiente de la recta elegida.