Potencia

Tenemos facilidad para comprender gráficamente lo que supone la suma de segmentos y la diferencia de segmentos. 

Gracias al Teorema de Thales comprendemos que el cociente de segmentos es una proporción, un número que compara tamaños de dos segmentos.

Pero, ¿y el producto de segmentos? El producto de segmentos es un área, una superficie, el tamaño de una porción de plano. Lo comprendemos cuando los segmentos forman un ángulo y una figura cerrada. Pero ¿y si los segmentos están alineados? ¿cuál es el área asociada? ¿y cuándo ocurre esta situación? Esta situación se da cuando medimos las distancias mayor y menor de un punto a una circunferencia. Introducimos así el concepto de Potencia de un punto respecto a una circunferencia.

La potencia de un punto respecto a una circunferencia alude al producto de distancias, es pues, un área, y se define como el producto de la menor por la mayor distancia del punto a la circunferencia y esto es así independientemente de la dirección de medida de las distancias del punto a la circunferencia.  Pero eso sí, esta dirección de medida debe ser la misma para ambas medidas, mayor y menor, es decir, si A y B son los puntos de intersección de dicha dirección (recta) con la circunferencia, A el punto más próximo a P y B el punto más alejado de P, es condición necesaria que P, A y B estén alineados.

Repetimos:

• Potencia de un punto P a una circunferencia del mismo plano es el producto de la menor por la mayor distancia de P a la circunferencia, independientemente de la dirección de medida (esto puede considerarse una generalización del concepto de potencia).

Lo explicamos:

Dados el punto P y la circunferencia c, dos rectas cualquiera que la cortan son las rectas r y s. 

La recta r corta a la circunferencia en los puntos A (el más cercano a P en esa dirección) y B (el más lejano a P en esa dirección). PA es la menor distancia de P a la circunferencia en la dirección marcada por r. PB es la mayor distancia de P a la circunferencia en la dirección de r.

La recta s corta a la circunferencia en los puntos A' y B' siendo PA' la menor distancia de P a la circunferencia en la dirección de s, y PB' la mayor distancia de P a la circunferencia en la misma dirección.

Se forman dos triángulos: PBA' y PAB' que son semejantes. Son semejantes porque tienen dos ángulos iguales: el ángulo de vértice P y lados las rectas r y s, es común a ambos triángulos. Los ángulos B y B' son iguales porque pertenecen al mismo arco capaz del segmento AA'.

Como comparamos triángulos semejantes, entonces, podemos aplicar Thales. Y lo aplicamos comparando, en cada miembro de la igualdad, 

• o bien segmentos del mismo triángulo (en numerado y denominador del cociente)
• o bien, segmentos homólogos de los triángulos semejantes comparados.

De esta manera comprobamos que siempre, el producto de la mayor, por la menor distancia de P a la circunferencia, es la misma, es constante, independientemente de la dirección de medida considerada, siempre y cuando los puntos P, A, B estén alineados, es decir, pertenezcan a la misma recta.

Alguien podría plantearse la duda de qué dirección elegir para medir esas distancias. Dos direcciones significativas desde un punto a una circunferencia del mismo plano son: Una, la radial, o diametral, que pasa por el centro de la circunferencia y nos aporta no sólo la menor, sino la mínima distancia de P a la circunferencia; y no sólo la mayor, sino la máxima distancia a la circunferencia. Otra, la de mínimo contacto, es decir, la dirección tangente a la circunferencia. Es considerando esa dirección tangencial, además, cuando podemos ver gráficamente y fácilmente, el valor de la potencia, como área, la del cuadrado de lado PT, gracias a los teoremas de Thales y del Cateto. 

Cuando la dirección considerada es tangente a la circunferencia, los puntos de intersección con ella coinciden en uno llamado punto de Tangencia, que suele denominarse con la letra T. En este caso, la  potencia será PT x PT =PT² . 

• La potencia de un punto respecto a una circunferencia es PT² , independientemente de que el punto sea exterior o interior a la circunferencia.

Si el punto es interior a la circunferencia, sigue cumpliéndose que la potencia es el producto de la menor por la mayor distancia de P a la circunferencia, como vemos en la siguiente figura.

Otra importante consideración que debemos tener en cuenta y que justificaremos más adelante basándonos en los haces de circunferencias, es:

• Para toda circunferencia que pase por A y B alineados con P, la potencia es constante.

Teorema de Thales. Semejanza. Teoremas Altura y Cateto

Teorema de Thales

Es la base de la Geometría Proyectiva y de la Geometría Métrica y se enuncia verbalmente, gráficamente y analíticamete, como sigue:

Si cortamos dos rectas cualesquiera por varias rectas paralelas del mismo plano, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos determinados en la otra y dichos segmentos se corresponden en la igualdad, en la suma y en la resta.

Pero vamos poco a poco. Vamos a explicar conceptos fundamentales para entender este teorema: algunos conceptos, semejanza, diferentes enunciados del mismo teorema, otro teorema con el mismo nombre y aplicaciones muy utilizadas de los mismos.

• Un teorema es una proposición demostrable lógicamente partiendo de axiomas, postulados u otras proposiciones ya demostradas. (RAE). Un teorema afirma una verdad demostrable, no evidente por sí misma (W).

• Axioma es una proposición tan clara y evidente que se admite sin demostración. Principio fundamental e indemostrable. (RAE)

• Corolario es una proposición que no necesita prueba particular y se deduce con facilidad de lo demostrado previamente. (RAE). Es una consecuencia tan evidente que no necesita más demostración (W).

Semejanza

Homónimo es un adjetivo que se atribuye a un ente (objeto, figura, persona...) por tener el mismo nombre que tiene otro ente. (Homónimo: mismo nombre)

Homólogo viene del griego "acorde", "correspondiente". Según la RAE, relación entre las personas que ejercen cargos iguales en ámbitos distintos; y en Geometría, relación de los lados que en cada una de dos o más figuras geométricas semejantes, están colocados en la misma posición (relativa). (Homólogo: misma posición relativa)
Congruencia: Dos figuras son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño, es decir, si existe una isometría que los relaciona (traslación, rotación, reflexión).

Dos figuras son semejantes cuando tienen igual forma, pero diferente tamaño. Dicho de otra manera, dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales. 

En la figura superior vemos dos triángulos, uno azul (dato previo) y uno rojo (semejante del anterior). Respecto a la representación:

• los vértices suelen denominarse con letras mayúsculas; 
• los lados, segmentos y rectas, con letras minúsculas, y además, con la misma letra que el vértice de enfrente. 
• Lo del sentido, horario o antihorario, no lo tengo claro... Lo investigaré. 
• Las rayitas perpendiculares a cada segmento indican una relación de paralelismo entre los elementos de la imagen: así, los elementos de la imagen con el mismo símbolo, son paralelos entre sí: Lados homólogos son paralelos: a es paralelo a a'; b esparalelo a b'; c es paralelo a c'.

Los lados: a y a' ; b y b';  c y c' son homólogos. Los ángulos A y A'; B y B'; C y C' son homólogos. En dos figuras semejantes, los puntos, los ángulos y los lados, se dicen "homólogos". Así pues, repetimos: Dos triángulos son semejantes cuando tienen:

•  sus ángulos homólogos, iguales, es decir:  A = A', B = B'; C = C'
• sus lados homólogos, proporcionales, es decir:  a/a'= b/b' = c/c'

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.

Y además, podemos considerar los siguientes criterios de semejanza: Dos triángulos son semejantes si:

• Si tienen dos ángulos iguales:  A=A'  ; B=B'
  
  
  
• Si tienen los tres lados proporcionales: a/a'= b/b' = c/c'

• Si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.

Teorema de Thales

Existen dos teoremas que se atribuyen a Thales de Mileto y reciben este mismo nombre:

• El primero explica la forma de obtener triángulos semejantes mediante la necesaria relación de proporción entre los lados homólogos de las figuras. "Los triángulos semejantes son los que tienen ángulos congruentes; esto deriva en que sus lados homólogos sean proporcionales y viceversa". Se enuncia de dos formas, mencionaremos un corolario y varias aplicaciones.
• El segundo teorema expone una propiedad de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos ("encontrándose aquellos en el punto medio de la hipotenusa"), lo que permite obtener ángulos rectos fácilmente. Este teorema también veremos importantes aplicaciones.

Teorema de Thales "1"

Enunciado 1 Teorema de Thales1: Congruencia ángulos y proporcionalidad lados

Si cortamos dos rectas cualesquiera por varias rectas paralelas del mismo plano, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos determinados en la otra y dichos segmentos se corresponden en la igualdad, en la suma y en la resta.

Enunciado 2 Teorema Thales 1: Congruencia ángulos y proporcionalidad lados
Si cortamos un triángulo por una recta paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen triángulos semejantes.

La razón de los perímetros de los triángulos semejantes, es igual a su razón de semejanza.

a/a' = b/b' = c/c' = (a+b+c) / (a'+b'+c') = p/p' = r

La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.

S/S'=r2

Corolario Teorema de Thales: Razón de semejanza constante.

La razón de semejanza, es decir, el cociente entre la longitud de los lados homólogos de figuras semejantes, es constante.

Aplicaciones: División segmento partes iguales y construcción Escalas gráficas.

La escala es la relación matemática entre las dimensiones del dibujo D y las de la realidad R que representa, es decir, es la razón de semejanza entre el dibujo y el objeto que representa.

E= D/ R

Llamamos "escala gráfica" a una representación dibujada de dicha razón de semejanza. ¿Cómo se construye una escala gráfica? Gracias al Teorema de Thales. 

Sobre un soporte rectilíneo representamos el objeto considerado.

En una recta auxiliar que parte de un extremo del segmento anterior pero con distinta dirección, llevamos tantas unidades como realmente mida el objeto representado.

Unimos los extremos libre de ambos segmentos y por cada unidad de la recta auxiliar, trazamos paralelas a la recta de unión de los extremos. 

Obtenemos así el módulo de la escala gráfica. La contraescala sería un módulo representado justo antes del 0 de nuestra escala gráfica y se suele subdividir en 10 partes iguales.

Es importante mostrar la escala gráfica en todo dibujo, sobre todo cuando se hacen ampliaciones o reducciones del mismo en la fotocopiadora, algo muy común en el ámbito de la arquitectura, para llevar planos más pequeños a la obra. Esto permite saber con exactitud la razón de semejanza y por tanto el  verdadero tamaño del objeto real, sin acumular errores.  Por ejemplo, vemos escalas gráficas en el google maps en la esquina inferior derecha.

Podríamos pedir como ejercicio, utilizando la escala gráfica y la proporcionalidad, hallar la distancia entre dos ciudades. Hacemos una captura de imagen del ámbito deseado en Google Maps. Insertamos la imagen en Geogebra. Sobre la escala gráfica dibujamos un segmento, cuya medida aparece en la vista algebraica. Entre las ciudades origen y destino dibujamos otro segmento cuya medida también vemos. Para saber la distancia real, basta una regla de tres: Si el segmento de escala gráfica que mide 0.3 ud del dibujo, equivale a 100 km, los 3.07 ud que mide el segmento incógnita, equivaldrán a los km buscados. 

Como comprobación, en Google Maps, la opción del botón derecho "medir distancia" nos indica la distancia en línea recta entre dos puntos. Veremos que resulta muy aproximada a la obtenida gráficamente.

Teorema de Thales "2".

Según el segundo teorema de Thales:

"Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC y centro O, distinto de A y de C. Entonces, el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo con el ángulo recto en B".

En la circunferencia de centro O y radio r, los segmentos OA, OB y OC son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia. Por lo tanto, los triángulos AOB y BOC son isósceles.

La suma de los ángulos de todo triángulo es 180º. Por tanto en el triángulo ABC:

α + (α + β) + β = 2α +2β= 180º

Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre 2 tenemos que:

el ángulo B = α + β = 90º

Quedando así demostrado el segundo teorema de Thales.

Corolario 1:

En todo triángulo rectángulo, la mediana (OB) de la hipotenusa es la mitad de la misma. 

Corolario 2:

En todo triángulo rectángulo, el circuncentro se encuentra en el punto medio de la hipotenusa.

Aplicaciones: 

• Arco Capaz de un segmento bajo un ángulo de 90º. Esta aplicación nos permite construir ángulos rectos y triángulos rectángulos.

• Potencia de un punto respecto a una circunferencia. Esta aplicación nos permite  determinar la recta tangente a una circunferencia  dada, pasando por un punto P dado. 

Teoremas derivados: Teoremas de la altura y del cateto.

En un triángulo rectángulo ABC, la altura AH desde el ángulo recto A hasta la hipotenusa BC divide al triángulo en otros dos menores, siendo los tres triángulos ABC, AHB y AHC, semejantes entre sí.  Para demostrarlo, basta comprobar en cada par de triángulos, que tienen dos ángulos homólogos iguales.

Por tanto, las medidas de sus lados homólogos están relacionadas:

                                           $$\frac { AB }{ BC } =\frac { BH }{ AB }$$

                                           $$\frac { AB }{ AC } =\frac { BH }{ AH }$$

Los teoremas de la altura y del cateto se basan en el teorema de Thales y son dos propiedades de gran importancia de los triángulos rectángulos. Nos serán de utilidad al estudiar inversiones y tangencias.

Se enuncian como sigue:

Teorema del Cateto.

En todo triángulo rectángulo se cumple que un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre ella. 

Teorema de la Altura.

En todo triángulo rectángulo se cumple que la altura es media proporcional entre los dos segmentos en que divide a la hipotenusa. 

Teorema del Cateto y Teorema de la Altura

PROPORCIONALIDAD

Visualmente es sencillo comprender la suma o la resta de medidas.

La noción de semejanza y el Teorema de Thales nos introducen el concepto de proporcionalidad que nos permite resolver relaciones de medidas entre segmentos.

La proporción es relación, cociente, fracción entre medidas, número racional, entendida como expresión algebraica de las proporciones que establecen dichos conceptos de semejanza y Thales.

Cuarto proporcional: es la incógnita que hace cumplirse una igualdad de cocientes. También se conoce como "regla de tres".

x / a = b / c

x = a·b/c

Tercera proporcional: es la igualdad de cocientes en que a ambos lados de la igualdad se repite un operando que no es la incógnita.

x / a = a / b

x = a·a/b

Media proporcional: es la igualdad de cocientes en que la incógnita x aparece a ambos lados de la igualdad.

x / a = b / x 

x = √(a·b)

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

El concepto de arco capaz nos permite obtener un triángulo rectángulo, partiendo de su hipotenusa. Ésta es el segmento que se observa bajo el ángulo recto inscrito en el arco de centro el punto medio de la hipotenusa y radio la mitad de la misma.

Necesitamos un dato más para concretar un único triángulo rectángulo, por ejemplo la altura del triángulo. Ésta se define como la recta perpendicular a un lado del triángulo, pasando por el vértice opuesto.

Esta altura CH nos permite encontrar tres triángulos rectángulos semejantes: ACB, AHC, CHB.

ACB y AHC son semejantes porque tienen dos ángulos iguales: uno recto y A compartido.

ACB y CHB son semejantes porque tienen dos ángulos iguales: uno recto y B compartido.

AHC y CHB son semejantes porque tienen dos ángulos iguales: uno recto y A = C (los ángulos cuyos lados son perpendiculares, determinan aberturas iguales - CH es perpendicular a AB y BC es perpendicular a AC) 

Aplicando Thales a los tres triángulos,  podemos enunciar el Teorema del Cateto y el Teorema de la Altura, que nos serán de gran utilidad en relación con la Potencia de un punto respecto a una circunferencia, o para resolver el PFT, Problema Fundamental de Tangencias.

TEOREMA DEL CATETO

En un triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de ese cateto sobre ella.

TEOREMA DE LA ALTURA

En un triángulo rectángulo, la altura medida sobre la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que la divide.

Potencia de un punto respecto a una circunferencia

La potencia W_p² de un punto P respecto de una circunferencia c es el producto de la menor distancia m por la mayor distancia n del punto P a la circunferencia c. 

Expresado algebráicamente tendríamos:

Potencia = W_p²= m · n

P exterior a la circunferencia

Analicemos un punto P, exterior  a la circunferencia,

Como vemos en la figura, P es exterior a la circunferencia, los puntos A y B pertenecen a ella y están alineados con P, perteneciendo los tres puntos A, B y P a la misma recta. Además: 

R = radio de la circunferencia c

d  = PC

m = PA = d - R

n  = PB = d + R

Por lo que podemos expresar la potencia, como sigue:

                   Potencia = W_p² = m · n = (d-R) · (d+R) = d² - R² 

La diferencia de medidas al cuadrado, d² – R² , alude al Teorema de Pitágoras, es decir a un triángulo rectángulo, el cual encontramos mediante el arco capaz. 

La hipotenusa del triángulo rectángulo será d = PC, un cateto R y el otro W_p.

El vértice T del ángulo recto del triángulo pitagórico buscado, pertenecerá a la circunferencia y al arco capaz del punto P respecto a la circunferencia c. 

La longitud del segmento PT, que llamamos W, será, elevada al cuadrado, la potencia W² del punto P respecto a la circunferencia c. 

Como vemos en la figura anterior, la potencia es un área de valor equivalente a la del cuadrado de lado W, es decir el cuadrado de la longitud del segmento PT tangente a la circunferencia. El concepto de Potencia alude al producto de distancias.

Punto P interior a la circunferencia

Consideremos ahora un punto P, interior a una circunferencia c. Si la potencia es el producto de las distancias menor m y mayor n a la circunferencia c, como vemos en la figura:

m= PA = R - d

n = PB = R + d

d = PC

Por lo que de nuevo, podemos expresar el producto m·n como una suma por diferencia, por tanto una diferencia de cuadrados:

Potencia = m · n = (R - d) · (R + d) = R² – d² = - (d² - R²)

Y toda diferencia de cuadrados alude al triángulo pitagórico, que en este caso tiene el ángulo recto en P, como hipotenusa el radio R  y un cateto es d. El otro cateto, PT= W_p es el lado del cuadrado cuya área es equivalente a la Potencia W²  buscada, es decir el resultado del producto m·n.

Generalización del concepto de potencia

La potencia de un punto P respecto de una circunferencia c, es el producto de la menor "m" por la mayor "n" de las distancias del punto P a la circunferencia c.

Igual que esta definición es válida para un punto P cualquiera, tanto interior, como exterior a la circunferencia, también lo es para cualquier recta que pase por P y sea secante a c, pase por el centro C de la circunferencia, o no.

La potencia del punto P a la circunferencia c es independiente de la recta elegida.

Podemos demostrarlo gracias al concepto de Arco Capaz y al Teorema de Thales.

Dados un punto P y una circunferencia c, consideramos un par de rectas r y s, secantes en A y B la primera, r, y en C y D  la segunda, s.

La circunferencia es el arco capaz del segmento BC, que se verá bajo el mismo ángulo α desde cualquier punto del arco. Dicho de otro modo, cualquier ángulo inscrito en dicho arco capaz, tiene el mismo valor α.

Se determinan así dos triángulos PAC y PBD que comparten un ángulo, el del vértice P y tienen otro ángulo de igual valor, el que está en la circunferencia: el ángulo de vértice A en el triángulo PAC y el ángulo de vértice D del triángulo PBD. Dos triángulos que tienen dos ángulos iguales, son semejantes y por tanto se puede aplicar el Teorema de Thales:

PA / PC = PD / PB

n / m' = n' / m

m·n = m'·n'

PA · PB = PC · PD = constante

PA es la mayor distancia n de P a c, en la recta r.

PB es la menor distancia m de P a c, en la recta r.

PC es la menor distancia  m' de P a c, en la recta s.

PD es la mayor distancia n' de P a c, en la recta s.

n · m =  W_p² = m' · n' = constante

Lo que demuestra que la potencia de un punto P respecto a la circunferencia c, es independiente de la recta elegida.