Sistema diédrico: verdadera magnitud de un segmento

La verdadera magnitud de un segmento sobre un plano de proyección, se obtiene llevando en perpendicular, sobre la proyección del segmento sobre ese plano, la diferencia de distancias de los extremos del segmento, al plano. La verdadera magnitud VM del segmento, es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado.

Lo analizamos a continuación:

Consideremos un segmento en el espacio, determinado por dos puntos A y B. 

La distancia real, en el espacio, entre A y B se conoce como "verdadera magnitud" (VM).

En el sistema diédrico, los elementos del espacio, se proyectan ortogonalmente (formando 90º) sobre los planos de proyección. Se usan tantos planos de proyección  como sea necesario para determinar la figura en el plano del dibujo. Lo normal es que baste con 1, 2 ó 3 planos de proyección (triedro).

Si proyectamos el segmento AB sobre el plano indicado, ortogonalmente, obtenemos la proyección a'. Una paralela (a'₁) a a', pasando por el punto A, medirá lo mismo que a'. Además, esta paralela a'₁, cortará al rayo proyectante de B formando un ángulo recto. Se determina así la diferencia de distancias al plano de proyección que podemos llamar "diferencia de cotas (Dz), "diferencia de alejamientos" ó "diferencia de desviaciones" según el plano de proyección al que midamos esa distancia. 

Se ha formado con estas operaciones un triángulo rectángulo en el espacio tal que:

- la hipotenusa es VM.

- un cateto (a'₁) es equivalente a la proyección a' del segmento sobre el plano de proyección.

- el otro cateto es la diferencia de distancias al plano de proyección considerado (Dz).
Además, el ángulo entre VM y a'₁, es el ángulo verdadero entre el segmento y el plano de proyección.


Si hacemos que nuestro plano de dibujo (el de proyección) y pase por uno de los extremos del segmento en el espacio (lo que es igual a hacer pasar por dicho extremo un plano paralelo al de proyección),  una de las proyecciones del segmento (a'₁), estará incluida en dicho nuevo plano. Abatiendo el plano que contiene al segmento del espacio y los rayos proyectantes, sobre este nuevo plano, tendremos la verdadera magnitud en nuestro plano de dibujo. 

Normalmente se necesitan dos planos de proyección para determinar la posición de un objeto, es decir, dos proyecciones, de ahí el nombre, "sistema diédrico". Esto ocurre con nuestro segmento AB, que quedaría representado como sigue:

Sistema diédrico. Verdadera magnitud obtenida sobre la primera proyección.

El siguiente applet, muestra el proceso de obtención de la verdadera magnitud de un segmento, explicado paso a paso, en el espacio y en diédrico, para comprenderlo mejor.

De igual manera se podría obtener la misma verdadera magnitud de dicho segmento, a partir de cualquier otra de las proyecciones segunda o tercera de dicho segmento sobre los otros planos de proyección.

Sistema diédrico: el plano

Un plano queda determinado por:
- tres puntos no alineados. 
- una recta (dos puntos) y un punto más.
- dos distancias relativas sobre un plano de proyección.

La proyección cilíndrica, sobre planos paralelos, es invariante.

Un plano, queda suficientemente determinado en el sistema diédrico, con su proyección sobre otros dos ortogonales entre sí. 

Una tercera proyección sobre otro plano ortogonal a los anteriores, conserva cotas Dz, alejamientos Dy, desviaciones Dx, o diferencia de distancias de dos puntos respecto a los planos de un triedro, por ejemplo, el horizontal, el vertical y el de perfil.

¿Sabrías determinar el punto que pertenece a un plano, sabiendo una sola de sus proyecciones diédricas?

Solución 2: Hexágono en diédrico

Aquí está la solución al ejercicio de resolver un hexágono en diédrico:

Problema 3 - Solución 3: Arco Capaz

Nuestra compañera de Máster, Sketcher, nos plantea ayudar al pequeño cachorro de león Liam a ubicarse. Liam se ha perdido un poco en sus primeras expediciones de caza. Divisa 4 sitios: La distancia entre el manantial y el pico, bajo 30º; y la distancia entre el árbol y la manada bajo 45º, como nos explica Sketcher aquí. 

Pues bien. Tranquilo Liam. Podrías encontrarte en P₁ o en P_{2 ,}donde se cortan los arcos capaces de cada segmento. Cada arco capaz es un arco de circunferencia, cuyo centro está en la intersección de la mediatriz del segmento considerado, y la perpendicular por un extremo del segmento a la tangente al arco. En los extremos del segmento, uno de los lados del ángulo coincide con el segmento y el otro lado forma el ángulo dado con él, siendo así, tangente al arco buscado. En la imagen lo comprenderás. Como saliste de caza, estás en P2, donde están los ñús.

Sketcher nos ha planteado un bonito ejemplo de aplicación del concepto geométrico de ARCO CAPAZ para ubicarse.

Problema 2: Hexágono en diédrico.

Dadas las proyecciones siguientes en el sistema diédrico, completar el resto de proyecciones del hexágono regular al que pertenecen.

Problema 1: Dividir la circunferencia (Thales)

Aquí os planteo un ejercicio: Dividir una circunferencia en n partes iguales.

Para resolverlo debemos usar el Teorema de Thales, conceptos de Topología o Pertenencia y las operaciones de Proyectar y Seccionar.

Solución 1: División circunferencia (Thales)

Basándonos en las operaciones de Proyección y Sección, podemos deducir cómo dividir una circunferencia en n partes iguales y obtener así el polígono regular inscrito de n lados.

En Geometría Proyectiva distinguimos entre:

• Elemento Proyectado (el objeto del espacio)
• Elemento Proyectante (éste marca una dirección) y 
• Elemento Proyección o Perspectiva (el objeto dibujado). Es la intersección del rayo proyectante con el elemento secante.
• Elemento secante (el que corta al rayo proyectante; el papel del dibujo es un elemento secante)

Cuando un elemento proyecta a otro, hace que el primero cambie sus características de posición, tamaño y forma, siguiendo una dirección, hasta que el rayo proyectante es seccionado o intersecado por un elemento Secante.

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Insignia al esfuerzo ¡ARCapacitado!

• Nombre de la insignia:     INSIGNIA AL ESFUERZO

• Objetivo motivacional:     Incitar al alumno a continuar en su aprendizaje.

• Slogan:                            "¡ARCapacitado!"

• Criterios de asignación:   La insignia se otorgará  a aquel alumno que haya realizado un mayor esfuerzo por cumplir con los objetivos de la asignatura, lo que engloba aspectos tan variados como realizar muy bien alguna tarea, responder acertadamente a alguna pregunta planteada en clase, o cualquier motivo que permita apreciar un esfuerzo especial o significativo por mejorar el mismo alumno, o el ambiente de la clase. 

• Duración: Se otorgará una vez a la semana. Puede que haya alguna semana que no se entregue ninguna insignia, si no se ha percibido motivo para otorgarla. La insignia llevará la fecha en que se otorgó. Al final del curso, quién haya reunido más insignias, verá favorecido su resultado global, en la medida que el profesor estime conveniente.

• Número máximo de insignias a asignar: Por lo general, se concederá la insignia a una única persona. Muy ocasionalmente pueden otorgarse a más de una persona (casos de los trabajos en equipo, cuyo esfuerzo haya sido notable, aunque el rendimiento no haya resultado acorde al esfuerzo)

• Diseño: Planteo el esfuerzo como medio para superar dificultades y alcanzar metas. Por ese motivo, trato de representar una persona (brazos y cabeza) levantando su trofeo (cartabón, símbolo del objetivo cumplido, del trofeo) en el momento de disfrute por haber sido reconocido o haber logrado su objetivo de aprendizaje, enmarcado el momento, a modo de aureola, por el arco capaz en que se inscribe el cartabón.

                

Sistema diédrico: La recta.

Un recta queda determinada en el espacio por dos puntos.

En el sistema diédrico, la recta quedará representada por las proyecciones de esos dos puntos. Lo único que necesitamos para obtener dichas proyecciones, es la dirección de los planos de proyección, es decir, la línea de intersección de ambos, alrededor de la cual se abate un plano sobre el otro. Sabemos, que todo punto del espacio debe tener sus proyecciones alineadas en una línea de referencia que será perpendicular a la dirección delos planos de proyección. Por tanto, las proyecciones de dos puntos de una recta, han de tener las líneas de referencia (P'P'' y Q'Q'') que unen dichas proyecciones, paralelas entre sí. Habrá una línea de referencia por cada punto representado.

      

La distancia absoluta de los puntos del espacio P y Q a sus proyecciones, dependerá del plano concreto que se use para la proyección. Pero  la distancia relativa de los puntos entre sí, es decir, la distancia entre P y Q, es una medida determinada, llamada Dx, Dy, Dz según la dirección considerada.

Dz se conoce como diferencia de cotas.
Dx se conoce como diferencia de alejamientos respecto al plano vertical.
Dy se conoce como diferencia de alejamientos respecto al plano de perfil.

         

Para obtener la verdadera magnitud VM del segmento en el espacio PQ y el ángulo que forma con uno de los planos de proyección, basta considerar el triángulo pitagórico señalado en el espacio. Como vemos, uno de los catetos, es paralelo al plano con el que queremos saber el ángulo y medirá r'. El otro de los catetos, es la diferencia de cotas (o alejamientos) entre los puntos en el espacio de la recta y medirá Dz .La hipotenusa, es la verdadera magnitud que queremos averiguar.

- Primero, consideramos el concepto de pertenencia de la proyección del segmento en el plano con el que queremos averiguar el ángulo. Si utilizamos dicho plano de proyección como plano de dibujo, aprovecharemos el dato conocido r'. 

- En segundo lugar, consideramos la diferencia de cotas o alejamientos en la dirección perpendicular al plano del dibujo elegido y trasladamos esa medida empleando el concepto mencionado de perpendicularidad a la proyección r'.

Inmediatamente obtenemos la verdadera magnitud y el ángulo buscados.

   

Sistema Diédrico: El punto

La geometría descriptiva es el conjunto de técnicas que emplean la geometría para representar el espacio tridimensional, sobre una superficie bidimensional.

El sistema diédrico se basa en la proyección cilíndrica ortogonal sobre dos planos de proyección ortogonales entre sí. Normalmente se tomarán como planos de proyección los planos horizontal H y vertical V. Ambos planos se representan en el mismo plano de dibujo, lo que se consigue: 

-  abatiendo uno de los planos de proyección sobre el otro, tomando como eje de giro la recta i de intersección entre ambos, charnela que se conoce como "línea de tierra".

- y haciendo coincidir uno de los planos de proyección, con el plano de dibujo.

De esta manera, todo objeto del espacio tendrá dos proyecciones, una sobre el plano horizontal (llamada primera proyección) y otra sobre el plano vertical (llamada segunda proyección).

Lo particular del sistema diédrico es que las dos proyecciones del objeto, están alineadas en una línea de referencia que es perpendicular a la "línea de tierra". La línea de tierra no es necesario representarla. Lo que sí es importante es que:

• las proyecciones de un mismo objeto estén alineadas (en la misma línea de referencia)
• Todas las líneas de referencia sean paralelas entre sí.

El punto P del espacio se proyecta ortogonalmente sobre el plano H en P'₁ que seguidamente, se abate sobre el plano vertical V alrededor de la línea i, hasta llegar a P' . Por otro lado, el punto P del espacio se proyecta ortogonalmente sobre el plano V en P''.

Así pues, un punto P del espacio, queda representado por dos proyecciones P' o primera proyección y P'' o segunda proyección. La línea de referencia que une P' y P'' es ortogonal a la línea i de intersección de los planos H y V. 

Proyección cilíndrica ortogonal.

El concepto topológico de "pertenencia" es común a todos los sistemas de representación.

Algunos teoremas espaciales que se cumplen en la proyección cilíndrica ortogonal son:

Una recta r es perpendicular a un plano, si lo es a dos rectas a y b, no paralelas, contenidas en dicho plano. P es un punto del espacio, r es la recta perpendicular al plano, P' es la proyección de P sobre el plano.

Si una recta r es perpendicular a un plano, todos los planos que la contengan también son ortogonales a dicho plano. Podemos considerar la recta r de intersección de los planos ortogonales al primero, como la bisagra o charnela o eje de giro.

Si un plano es perpendicular a otros dos planos, lo es a la recta i intersección de éstos. La recta i intersección de dos planos H, V es la dirección común  a ambos. Un plano que contenga a la recta proyectante de un punto P del espacio sobre uno de los planos H, ó V, será perpendicular a H o V respectivamente. El plano que contenga al punto P del espacio, y a sus proyecciones P' sobre el plano Horizontal H, y P'' sobre el plano vertical V, será perpendicular a la vez a H y a V y cortará a i en el punto I.