Cónicas

INTERSECCIÓN CONO-PLANO

La primera definición de cónica la dio Apolonio de Perga en el siglo III a.C, en su obra homónima "Las Cónicas". Basándose en un modelo espacial, define las cónicas como curvas planas resultantes de la intersección entre un cono y un plano.

El cono surge por la revolución de una recta generatriz g, alrededor de un eje con el que forma un ángulo α y al que interseca en el vértice V. 

El plano P secante forma con el eje del cono un ángulo β; según β sea mayor, igual o menor que el ángulo α del cono, la sección cónica formada será elipse, parábola o hipérbola respectivamente.

CURVAS

Son los lugares geométricos de los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal de centro el otro foco; el punto de tangencia entre ambas circunferencias es el punto simétrico del foco  por el que pasa la primera, respecto a la tangente a la curva.

Elipse: Puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante:

TF1 + TF2 = 2a

Hipérbola: Puntos del plano cuya diferencia de distancias a los focos es constante:

TF1 - TF2 = 2a

Parábola: Puntos T del plano que equidistan del foco F y de la directriz d:

TF = TSF


En la elipse, la suma de los radios vectores, es decir,
la suma de la distancias de un punto de la elipse a los focos, es constante.


En la parábola, la distancia de un punto de ella, al foco,
es igual a la distancia de ese punto de la parábola,
al simétrico del foco SF respecto a la tangente en dicho punto.


En la hipérbola, la diferencia de los radios vectores, es decir,
la diferencia de las distancias de un punto de la hipérbola a los focos,
es constante.

ELEMENTOS

Para quedar determinada toda cónica necesita de 5 datos que vendrán dados por alguno de sus elementos, principalmente: focos, vértices, tangente, directriz.

• Esferas de Dandelin o focales: Se trata de una o dos esferas tangentes a la vez al cono y al plano; el punto de tangencia con el plano es el foco de la cónica; el contacto con el cono es una circunferencia cuyo plano es perpendicular al eje del cono. La relación entre las esferas focales es de homotecia con centro de homotecia el vértice del cono. 
• Foco: Punto desde el que se mantienen constantes ciertas distancias relacionadas con todos los puntos de la curva. No pertenece a la curva, pero sí al plano de ésta y está en el punto de tangencia de las esferas de Dandelin con el plano de la cónica.  La distancia entre focos se conoce como 2c.
• Directriz: es una recta que resulta de la intersección entre el plano de la cónica y el plano de la circunferencia común a la esfera focal y al cono.
• Ejes: rectas ortogonales entre sí, respecto de la que son simétricos los puntos de la cónica.
• Vértice: Punto de la cónica que se encuentra en el plano de simetría del conjunto y pertenece al cono y a la curva. Los extremos del eje mayor, A1 y A2, distan entre sí 2a. Los extremos del eje menor, B1 y B2, distan a de los focos y 2b entre sí.
• Centro: Punto de intersección de los ejes de la cónica. No confundirlo con la intersección H del eje del cono con el plano P secante.
• Circunferencia focal (Cf): Tiene por centro un foco, por radio 2a y es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (SF) respecto de las tangentes a la curva.
• Circunferencia principal (Cp): Su centro es el de la cónica, su radio a, pasa por los vértices de la cónica y es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares desde los focos a las tangentes a la cónica. Circunferencia focal y principal son homotéticas con razón de homotecia 1/2 ó 2 y centro de homotecia el otro foco, el que no es centro de la focal.
• Recta tangente: Perpendicular a la bisectriz de los radios focales TF1 y TF2. Mediatriz del segmento entre un foco F y su simétrico SF en la focal cf. Las tangentes a la elipse pueden tener cualquier dirección. Las tangentes a la hipérbola tienen como límites las asíntotas, es decir, la dirección de la tangente varía entre el ángulo determinado por las asíntotas, el ángulo menor en que las asíntotas dividen al plano; la perpendicular a la dirección de la tangente de la hipérbola, se convierte en una tangente a la circunferencia focal cuando la tangente es la asíntota y los puntos de tangencia de la asíntota con la curva están en el infinito.   La tangente de la parábola puede tener cualquier dirección salvo la paralela al eje, pues en ella los puntos de tangencia de la recta con la curva tienden al infinito.

DEMOSTRACIONES

Método del jardinero o trazado por suma de radios vectores.

La definición de elipse se demuestra visualmente muy fácilmente con el Método de trazado del Jardinero: se utiliza una cuerda de longitud igual al eje mayor de la elipse (2a),  y fijados sus extremos a los focos, se dibuja la curva tensando la cuerda.
Esta demostración aparece en la película Agora de 2009 de Alejandro Amenábar, que destaca el estudio y las aportaciones a la Geometría y la Astronomía, en el siglo IV a.C, de Hipatia de Alejandría, interpretada por Rachel Weisz.

Esferas focales

Las esferas focales o de Dandelin, tangentes a la vez al cono y al plano de la cónica, nos facilitan otra demostración  visual, de la definición de la elipse, si observamos que:

• La distancia O'1-O'2 entre los planos que contienen a las circunferencias de Dandelin (tangentes al cono y al plano de la cónica) es constante, por lo que la longitud del segmento de generatriz MN entre ellas, también será constante.
• Los segmentos tangentes desde cualquier punto de la cónica a cada una de las esferas focales, miden lo mismo, por lo que TF1 = TM siendo ambos segmentos, tangentes a la esfera superior desde un punto cualquiera T de la cónica; y TF2 = TN, siendo ambos segmentos, dos tangentes a la esfera inferior desde el mismo punto T de la cónica.

Imagen interactiva. Haz clic izquierdo y mantén pulsado sobre el punto T de la elipse,

 mientras deslizas el ratón. Comprobarás que:

• La distancia MN es constante para cualquier posición de T. 
• Si pinchas y mantienes apretado el botón derecho sobre el fondo blanco de la imagen, mientras deslizas el ratón, el conjunto orbitará y verás también que los focos F1 y F2 son los puntos de contacto (tangencia) de las esferas con el plano de la cónica. 

EJERCICIOS

De los diversos ejercicios que se pueden plantear, proponemos los siguientes, en los que se pide determinar la cónica dados los focos y los vértices y una condición de tangencia.

• Dados los focos y una tangente, hallar los vértices y el punto de tangencia.
• Determinar la tangente que pase por P exterior a la curva.
• Determinar la tangente paralela a una dirección m dada.

En la imagen siguiente se resuelven los ejercicios anteriores de dos maneras cada uno: basándose en la circunferencia focal por un lado, y basándose en la circunferencia principal por otro.

elipse

hipérbola

parábola

Los razonamientos básicos consisten en apoyarse en las definiciones de los elementos de la curva, tratando de visualizar las demostraciones gráficas que se apoyan en planteamientos espaciales como las esferas focales.

• por circunferencia focal:

La circunferencia focal es conocida y podemos trazarla: tiene por centro un foco, por radio el eje mayor, 2a (coincide con la recta directriz si la curva es una parábola) y es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco respecto de la tangente a la curva.

P pertenece a la tangente buscada, por lo que su distancia al  foco y al simétrico en la focal será igual. Los simétricos del foco están en la intersección con la focal de la circunferencia de centro P y radio PF. 

La tangente buscada es la mediatriz del segmento entre un foco y su simétrico en la focal. El foco lo conocemos. Su simétrico no, pero sabemos que está en la circunferencia focal, y ésta sí es conocida.

En el caso de la parábola, en la directriz están los simétricos del foco, respecto a la tangente buscada, mediatriz entre ambos puntos.

• por circunferencia principal:

La circunferencia principal es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares a las rectas tangentes desde los focos. En sus puntos coinciden, ortogonalmente, las rectas tangentes a la curva y rectas perpendiculares a dichas tangentes desde los focos. Son vértices de ángulos de 90º y lados la tangente y la perpendicular a ella desde un foco. Por tanto, también son vértices de un arco capaz entre dicho foco y el punto P por el que pasa la tangente.

Por los pies de las perpendiculares a la dirección tangente desde los focos, pasa la tangente buscada.

La circunferencia principal y la focal son homotéticas y elementos homólogos de ellas están en radios paralelos, paralelismo que emplearemos para hallar los puntos de tangencia.

Haces de circunferencias

En el plano, un haz de circunferencias es un conjunto simplemente infinito de circunferencias de centros alineados en una recta "base".  Vamos a estudiar los haces de circunferencias que comparten un eje radical (recta de puntos con igual potencia respecto a las circunferencias del haz). El eje radical es perpendicular a la recta base y la intersección de ambos es el centro del haz. Existen tres familias de haces de circunferencias corradicales, según la posición del eje respecto de las circunferencias sea secante, tangente o exterior: Haces elípticos, parabólicos e hiperbólicos respectivamente:

Familias de haces de circunferencias corradicales

• El haz es elíptico cuando el eje radical es secante a las circunferencias del haz. Los puntos de intersección entre las circunferencias son los mismos puntos de intersección de cada circunferencia con el eje radical. Esos puntos pertenecen al eje radical porque tienen la misma potencia (nula) respecto a  las circunferencias. Todas las circunferencias del haz pasan esos dos puntos, llamados "puntos fundamentales del haz". Los puntos del eje que están en la parte del plano interior a las dos circunferencias, tienen potencia negativa respecto de ellas; los puntos del eje que están en la parte exterior a las circunferencias, tienen potencia positiva respecto de ellas. La menor circunferencia del haz tiene por centro, el centro del haz y por radio, la distancia del centro a los puntos fundamentales. 
• El haz es parabólico cuando el eje radical es tangente a las circunferencias del haz. Todas las circunferencias del haz pasan por el centro del haz, punto en el que son tangentes al eje radical, y que tiene potencia nula respecto a las circunferencias. La mínima circunferencia del haz es un punto coincidente con el centro del haz y llamado "punto límite". 
• El haz es hiperbólico cuando el eje radical es exterior a las circunferencias del haz y éstas no se cortan nunca entre sí ni cortan al eje. Existen dos circunferencias de radio mínimo, con valor de radio 0, nulo, llamados "puntos límite, polos o puntos de Poncelet", L1 y L2, que equidistan del centro del haz y resultan de la intersección de la circunferencia ortogonal al haz, con centro en el del haz y radio PL igual la potencia a cualquier circunferencia del mismo. Las circunferencias del haz hiperbólico son ortogonales a cualquier circunferencia que pase por los puntos límite.

Haces conjugados

Para cada circunferencia del haz, hay una circunferencia ortogonal, cuyo radio es tangente a aquella. Dichas circunferencias ortogonales constituyen un haz "conjugado" de circunferencias, de recta base el eje radical del anterior, eje radical, la recta base del anterior, mismo centro del haz y las particularidades siguientes:
El haz conjugado de un haz elíptico es un haz hiperbólico cuyos puntos límite son los fundamentales del haz elíptico ortogonal.

El haz conjugado de un haz parabólico es otro haz parabólico con el mismo centro y punto límite.

El haz conjugado de un haz hiperbólico es un haz elíptico cuyos puntos fundamentales son los puntos límite del hiperbólico dado.

Casos

Vamos a estudiar tres problemas que pueden plantearse: Determinar las circunferencias del haz que:   pasen por un punto P;  sean tangentes a una recta t;  sean tangentes a una circunferencia t.

Enunciado de tres problemas por haz

En todos los casos, lo podemos enunciar como casos particulares del Problema Fundamental de Tangencias (buscamos circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a otra, variando el radio de esta tercera entre 0 - cuando es un punto-, un radio cualquiera - cuando es una circunferencia- y radio infinito - cuando es una recta).  

Para resolver el problema, vamos a necesitar una circunferencia auxiliar entre la condición de tangencia (P, t, ct) y un elemento del haz. Podemos ver el problema desde dos puntos de vista, considerando: o una circunferencia ortogonal al haz, o una circunferencia del haz.

- El centro de la solución es el punto en b, con igual potencia respecto a la condición de tangencia y a cualquier circunferencia ortogonal al haz que pase por los puntos límite.

- El punto Cr de igual potencia respecto a la condición de tangencia y cualquier circunferencia del haz, es centro de la circunferencia ortogonal a la buscada, por lo que su radio (CrT) es tangente a la solución.

Soluciones

Eje y centro radical

El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la recta base que une sus centros. Los puntos del eje radical son el lugar geométrico de:

• Los puntos del plano que tienen igual potencia respecto a las dos circunferencias dadas.
• Los puntos del plano desde los que los segmentos tangentes a dos circunferencias, miden igual.
• Los centros de circunferencias ortogonales a las dos dadas. Dos circunferencias son ortogonales cuando el radio de una es tangente a la otra circunferencia en los puntos de intersección.
• Los puntos medios de tangentes comunes a las circunferencias dadas.
• Los puntos del plano cuya diferencia de cuadrados de distancias a los centros de las circunferencias es constante.

Podemos demostrar que dicha diferencia de cuadrados de las distancias de los puntos del eje a los centro de las circunferencias es constante, basándonos en el teorema de Pitágoras y considerando diferentes triángulos rectángulos, como vemos en las siguientes imágenes:

Por Pitágoras, la diferencia constante de cuadrados de distancias de un punto a otros dos fijos, determina la recta "eje radical".

Es interesante fijarnos en que el Teorema de Pitágoras permite establecer las siguientes afirmaciones:

• si la suma de los cuadrados de las distancias de un punto a otros dos fijos, es constante, se determina una circunferencia.
• si la diferencia de los cuadrados de las distancias de un punto a otros dos fijos, es constante, se determina una recta llamada eje radical de las circunferencias con centro en los puntos fijos.

Casos Generales

En la siguiente imagen vamos a estudiar distintos casos de determinación del eje radical de dos circunferencias, dependiendo de su posición: secantes, tangentes o exteriores.

Los puntos donde dos circunferencias secantes se cortan, tienen igual potencia, nula, respecto al eje radical común, por pertenecer a ambas circunferencias (la distancia de ese punto a cada circunferencia es cero y el producto de mayor por menor distancia desde el punto a la circunferencia, es igualmente nulo).

En todos los casos, una circunferencia auxiliar secante con las dadas, permite determinar un punto de potencia común a ellas, que pertenecerá al eje radical buscado; con la otra condición necesaria dela perpendicularidad del eje con la recta base, el eje queda determinado.

Casos singulares:

También hemos analizado en la imagen superior distintos casos singulares por tratar a las circunferencias desde el punto de vista proyectivo. Así  el punto es una circunferencia de radio nulo y la recta es una circunferencia de radio infinito. Para determinar el eje radical en estos casos recurrimos a las mismas consideraciones anteriores, valiéndonos de una o dos circunferencias auxiliares secantes con las dos circunferencias dadas.