Ejercicio tipo 3: recta tangente con dirección dada

Dada una cónica por sus focos y sus vértices, determinar las tangentes con una dirección dada.

Método circunferencia focal.
La perpendicular a la dirección dada, desde un foco, corta a la circunferencia focal (radio 2a) desde el otro foco, en los simétricos del foco SF.

Las mediatrices a los segmentos F-SF, serán las tangentes buscadas.

Los puntos de tangencia buscados resultan de la intersección de las tangentes con los radios F-SF.

Método circunferencia principal.

La intersección de la circunferencia principal con la perpendicular por un foco a la dirección dada, determina puntos PT.

Por estos puntos PT pasarán las tangentes buscadas, con la dirección indicada.

Los puntos de tangencia están en la intersección con ellas de las paralelas a los radios O-PT, desde el otro foco.

Ejercicio tipo 2: Recta tangente por P exterior

Datos: Focos F1, F2; vértices: A1, A2; un punto exterior a la cónica P.
Hallar la recta tangente a la cónica que pase por P.

Método circunferencia focal.

Conocemos 2a y los focos, por lo que tenemos la circunferencia focal.

El simétrico de un foco está en la intersección de la circunferencia focal con la que tiene centro P y radio PF1. 

Las tangentes son mediatrices de la línea entre un foco y su simétrico.

El punto de tangencia T está en la intersección con el radio SF1-F2.

Método circunferencia principal.
La circunferencia principal es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares desde los focos. a la recta tangente buscada. Luego con el arco capaz desde P a F1, encontramos el punto de la circunferencia principal  tal que P-Pie es perpendicular a F1-Pie.

La recta tangente buscada debe pasar por P y debe pasar por Pie.

Con una paralela por F2 a O-Pie, obtenemos el punto de tangencia buscado.

Cónicas. Ejercicio tipo 1: Punto de tangencia T en t dada

Circunferencia focal es aquella que tiene por centro un foco y por radio 2a. También es el lugar geométrico de los puntos simétricos de los focos (SF). Hay dos circunferencias focales.

Circunferencia principal es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares desde los focos a las tangentes a la cónica. Tiene por centro el centro de la cónica y por radio a, por lo que pasa por los vértices A1 y A2.

Circunferencia focal y principal son homotéticas con razón de homotecia 1/2 ó 2. Cualquier punto de la circunferencia focal tiene otro punto homotético en la circunferencia principal.

Si el simétrico de un foco está dentro de la circunferencia principal, la recta es secante con la cónica.
Si el simétrico de un foco pertenece a la circunferencia principal, la recta es tangente a  la cónica.
Si el simétrico de un foco está fuera de la circunferencia principal, la recta es exterior a la cónica.

Ejercicio 1: 
Dados O, F1, t
Hallar F2, T, A

Método circunferencia focal:
Los focos son simétricos respecto al centro O de la cónica. Así obtenemos F2.

Las circunferencias focales son el lugar geométrico de los simétricos de los focos respecto a las tangentes, Así obtenemos el simétrico de uno de los focos, por ejemplo el F1.

Las circunferencias focales tienen centro un foco y radio 2a siendo el extremo el simétrico del otro foco respecto a la tangente correspondiente. Así obtenemos el punto de tangencia T de la recta tangente dada t con la cónica dada.

Los vértices A1 y A2 de la cónica están alineados con el eje de los focos y el centro de la cónica. En la intersección de este eje con la circunferencia focal obtenemos la diferencia entre la distancia entre vértices y la distancia entre focos 2a - 2c. Los vértices son simétricos respecto al centro de la cónica.

Método circunferencia principal:

La circunferencia principal es el pie de las perpendiculares desde los focos a las tangentes.

Sabemos que tiene radio a y centro O, luego podemos dibujarla.

En su intersección con el eje OF1, encontramos los vértices A1 y A2 de la cónica.

Y en su intersección con la tangente, el pie de la perpendicular a t, la cual pasará por el otro foco F2.

Como la circunferencia focal y la principal son homotéticas, la intersección de la  perpendicular a t por F1, con una paralela al radio OPieF1, cortará a t en T punto de tangencia y a F1-PieF1 en su simétrico SF1.

2017 04 24_Cónicas1

EJERCICIO DE CÓNICAS I
Dada una elipse por sus dos focos F1 y F2 y una recta tangente t, determinar el punto de tangencia T y los vértices A1 y A2.

Tenemos 2 coordenadas de F1, 2 coordenadas de F2 y una dirección de t, 5 datos, por lo que la cónica está definida.
Conocemos tres definiciones de cónica:

• Intersección entre un cono y un plano.
• Lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos F1 y F2 es constante (2a).
• Lugar geométrico de los centros de circunferencias tangentes a la focal y que pasan por el otro foco. Además sabemos que el punto de tangencia entre las dos circunferencias es el simétrico del foco. Dicho de otro modo, las rectas tangentes a las cónicas son bisectrices del ángulo entre TF2 y TFS2

Por tanto, obtenemos el simétrico de un foco, respecto de t, por  ejemplo el F2.

El punto de tangencia T buscado está en la recta t y en la prolongación del radio focal F1-T al SF1.

La distancia entre F2 y SF1 es 2a (distancia del eje mayor de la cónica).

Basta llevar 2a sobre el eje entre F1 y F2 partiendo del centro, para obtener los vértices buscados A1 y A2.

20170419_Sistemas de Representación

EJERCICIO DE SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN
Enunciado:

El triángulo (ABC) se ha proyectado cónicamente en ABC, ortogonalmente en A''B''C'' y oblicuamente en A₀B₀. El radio del círculo de distancias (distancia de V al plazo de proyección) es V''A''. Se pide:

a) Completar la proyección oblicua en C₀, y el ángulo de dicha proyección.

b) Obtener la verdadera magnitud del triángulo (ABC).

c) Obtener el ángulo del plano (ABC) con el plano del dibujo.

Notación:

Plano del dibujo = Plano del cuadro = Plano del papel = Plano de los datos dados = p

(A) =  Punto en el espacio

A''  =  Proyección ortogonal del punto del espacio sobre el plano del dibujo

A₀  =  Proyección oblicua del punto del espacio sobre el plano del dibujo

A    =  Proyección cónica del punto del espacio sobre el plano del dibujo

Las proyecciones ortogonales resultan de la intersección del rayo proyectante que contiene al punto en el espacio y a su proyección, siendo estos rayos perpendiculares al plano del dibujo.

Podemos posicionar en el espacio el centro de proyección (V) ya que el círculo de distancias es un dato y la altura o mínima distancia de (V) al plano del dibujo es el radio r de este círculo.

Desde (V) podemos proyectar los puntos del triángulo en el espacio (A), (B), (C) hasta su intersección con el plano del dibujo en las proyecciones cónicas A, B, C. Éstas proyecciones son un dato.

Los puntos en el espacio (A), (B), (C) del triángulo, estarán en la intersección de los rayos proyectantes de la proyección cilíndrica ortogonal, con los rayos proyectantes de la proyección cónica. Vemos así que (A) y (B) están a una distancia del plano p igual a dos veces el radio del círculo de distancias. Y (C) está sobre el mismo plano, coincidiendo con la proyección cónica y la proyección ortogonal. Así tenemos el triángulo en el espacio y parte de la respuesta a) la proyección oblicua del punto C, C₀

Situados los vértices del triángulo en el espacio, podemos obtener la respuesta c) el ángulo del plano (ABC) con el plano del dibujo, observando el triángulo rectángulo siguiente, de cateto opuesto 2r y cateto contiguo a alfa igual a r, luego el ángulo está definido.

Dan como dato dos proyecciones oblicuas A₀B₀. como tenemos los puntos en el espacio situados, fácilmente  obtenemos la primera parte a la pregunta a) la dirección de proyección oblicua y el ángulo que forma el rayo proyectante oblicuo con el plano horizontal, en este caso, igual al que forma el plano del triángulo con el plano de referencia horizontal.

Por último podemos obtener la respuesta b) la verdadera magnitud del triángulo en el espacio (ABC), de manera analítica con triángulos rectángulos, o gráficamente, abatiendo el plano que contiene al triángulo sobre el plano del dibujo, tomando como charnela o eje de rotación la recta intersección de ambos planos, que es la recta que pasa por A₀B₀C₀