Inversiones

Las inversiones son transformaciones geométricas, es decir, operaciones geométricas por las cuales una figura, se convierte en otra llamada homóloga, en este caso "inversa". Conviene conocer los invariantes métricos y proyectivos de las transformaciones para ayudarnos a resolver ejercicios.
                                                      
                                                 

Vamos a ir viendo las principales características de las inversiones.

• Centro (IPP'). Son transformaciones con centro, es decir, un par de puntos homólogos P y P' están alineados con el centro de inversión, I, los tres pertenecen a la misma recta.

• Concíclicos (c=c'). Pares de puntos inversos pertenecen a la misma circunferencia c, llamada también circunferencia de inversión c', por contener a todos los puntos inversos de los puntos que la forman.

• Antiparalelismo y conformidad. Ambas características son relaciones angulares. 

Un par de rectas son antiparalelas (W) respecto a otro par de rectas, si la bisectriz del ángulo que forma el primer par, es perpendicular a la bisectriz del ángulo formado por las otras dos -la simetría de una de las rectas respecto a la bisectriz del otro par de rectas, da una paralela a la otra recta del primer par; además el cuadrilátero formado por las intersecciones de dos pares de rectas antiparalelas, es cíclico. Las rectas que unen un par de puntos y sus inversos son antiparalelas de las que unen dos pares de puntos inversos con el centro de inversión.  

 Transformaciones conformes son aquellas que preservan los ángulos, es decir, el ángulo que forman dos rectas, será igual que el que forman las rectas transformadas.

• Potencia. Las inversiones se basan en el concepto de potencia. Llamamos potencia de inversión K² al producto de la distancia desde el centro de inversión I a un punto P por la distancia de I al punto inverso de P, P'. Este producto es constante: 

IP · IP' = IQ · IQ' = K² 

Que ese producto sea constante significa  que cuanto mayor es la distancia del centro de inversión a un punto, menor será la distancia de I al inverso de dicho punto. Existe una distancia para la cual, las dos distancias son iguales. Esa distancia es la raíz k de la potencia de inversión K², entre el centro de inversión y el punto T de tangencia desde I a la circunferencia de inversión cc' de dos pares de puntos inversos cualesquiera. 

El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan esa distancia k, raíz de la potencia de inversión, del centro de inversión, es una circunferencia llamada circunferencia de autoinversión.

Vamos a estudiar 6 casos:

1.- Inverso de un punto cuando la potencia de inversión es positiva.

2.- Inverso de un punto cuando la potencia de inversión es negativa.

3.- Inversa de una recta que pasa por el centro de inversión.

4.- Inversa de una recta que no pasa por el centro de inversión.

5.- Inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión.

6.- Inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión.

• 1.- Cuando la potencia de inversión es positiva:

• IPP': Los pares de puntos inversos están al mismo lado del centro de inversión
• T=T': Los puntos de la circunferencia de autoinversión son dobles (CPD) 
• CPD  perpendicular cc': la circunferencia de puntos dobles y la de inversión son ortogonales
• Teorema Cateto: Podemos aplicar el teorema del cateto.

• 2.- Cuando la potencia de inversión es negativa:

• PIP': Los puntos inversos están a distintos lados del centro de inversión.
• T diametral a T': La circunferencia de autoinversión son tiene puntos inversos diametralmente.
• La circunferencia de autoinversión es diametral con la circunferencia de inversión
• Teorema Altura: Podemos aplicar el teorema de la altura.

• 3.- La inversa de una recta que pasa por el centro de inversión I es la misma recta: r=r', tanto si la inversión es positiva como si es negativa; los puntos inversos de una recta que pasa por el centro de inversión I, están sobre la misma recta. 

• 4.- La inversa de una recta que NO pasa por el centro de inversión, es una circunferencia que sí pasa por él, cuyo centro está en la perpendicular a la recta desde I y por diámetro tiene IP'.

La imagen es interactiva. Pincha en el punto Q y mantén pinchado para deslizarlo sobre la recta r. 

Verás que los puntos inversos de Q van dibujando la circunferencia r', inversa de la recta r dada, cuyo centro está en la perpendicular a r desde I y cuyo diámetro tiene por extremos I y P', inverso de P (pie de la perpendicular de I a r).

En el siguiente ejemplo, se pide determinar la inversa de una recta r dada, conociendo un par de puntos inversos AA'.

La inversa de una recta que no pasa por I, es una circunferencia que sí pasa, cuyo centro está en la perpendicular a la recta desde I. Así, eso es lo primero que hacemos, una recta perpendicular a r, desde I.

Cualquier punto de la recta tendrá su inverso en la circunferencia buscada. Tomamos un punto cualquiera de r, el B. Su inverso B' estará en la circunferencia que pasa por A y A'.

B' debe estar en la circunferencia inversa de r, y sabemos que su centro está en la recta perpendicular a r por I, por tanto, la mediatriz de IB', cuerda de la circunferencia, nos dará la solución.

• 5.- De manera análoga al caso anterior, la inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por él y que es perpendicular a la dirección del diámetro que contiene al centro de inversión I.

• 6.- La inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia, homotética de la anterior, con centro de inversión el centro de homotecia que las relaciona y potencia de inversión la potencia entre la razón de homotecia. El inverso O' del centro O de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión, es el pie de la polar del centro de la circunferencia inversa.

Una inversión puede venir definida de tres formas:

• I, A, A': Dado un centro de inversión y un par de puntos inversos.
• I, K: Dado el centro de inversión y la potencia de inversión.
• A, A', B, B': Dados dos pares de puntos inversos no alineados.

• I, A, A': Dado un centro de inversión y un par de puntos inversos.

Pares de puntos inversos son concíclicos.

Un punto y su inverso están alineados con el centro de inversión.

• I, K: Dado el centro de inversión y la potencia de inversión.

                                            

Un par de puntos inversos están alineados con el centro de inversión.

La circunferencia de autoinversión es de puntos dobles cuando la inversión es positiva y se cumple el teorema del cateto.

El inverso de A se puede obtener también resolviendo la inversión con cualquier punto de la circunferencia de autoinversión.

• A, A', B, B': Dados dos pares de puntos inversos no alineados.

Homotecias.

Transformaciones geométricas son operaciones geométricas por las que una figura se convierte en otra. Conviene conocer cuáles son los invariantes métricos y proyectivos de las transformaciones. Vamos a estudiar dos transformaciones de especial importancia: Las homotecias y las inversiones. En esta entrada nos centraremos en las homotecias.

          

La homotecia es una transformación que, a groso modo, consiste en una semejanza con paralelismo. De sus características e invariantes geométricos destacamos:

• homografía (conserva la naturaleza, un punto se transforma en otro  punto - si se transforma en otro elemento de distinta naturaleza, la transformación sería una "correlación", por ejemplo, si un punto se transforma en una recta o en un plano), 
• paralelismo (relación angular en que se conserva la orientación de un elemento antes y después de la transformación)
• conformidad (relación angular tal que el ángulo entre dos elementos es el mismo que el ángulo que forman los elementos transformados), 

• con centro H. Un punto P y su transformado P' están alineados con el centro de homotecia H)
• razón de homotecia k constante (la homotecia se basa en el Teorema de Thales). El cociente de la distancia del centro de homotecia H a un punto P, entre la distancia de H al punto homotético de P, P', es constante y se denomina razón de homotecia, k. Es decir, un centro de homotecia y un par de puntos homólogos constituyen una terna (HPP'), en lenguaje de Geometría Proyectiva.

HP / HP' = HQ / HQ'  = HT / HT' = k 

• (HCC') Los centros de circunferencias homotéticas, son homólogos y están alineados con H.
• En circunferencias homotéticas,  puntos sobre radios paralelos deben ser homólogos.
• La homotecia es útil en ejercicios de áreas, tangencias e inversiones.

Problema 1

Hallar una circunferencia homotética a otra dada conocido el centro de homotecia H.

Las circunferencias homotéticas tienen sus centros alineados con el centro de homotecia H.
Además, los radios de circunferencias homotéticas que contienen puntos homólogos, son paralelos. Todo radio es perpendicular a la recta tangente, formando con ella 90º en el punto de tangencia T. Tenemos un punto exterior a una circunferencia, el centro de homotecia H; tenemos una circunferencia c. Podemos por tanto determinar el punto de tangencia y la recta tangente de H a c, mediante el arco capaz del segmento HC, bajo 90º.

Toda circunferencia tangente a t y con su centro en la recta HC, será homotética de la dada. Elegimos pues un punto T' de t. 

Una recta perpendicular a t por T', será paralela al radio r y determinará en su intersección con HC el centro de la circunferencia homotética buscada.

Problema 2

Dadas dos circunferencias homotéticas, hallar los centros de homotecia H.
Podemos encontrarnos cuatro casos:
a) Circunferencias exteriores
b) Circunferencias tangentes exteriores
c) Circunferencias tangentes interiores
d) Circunferencias interiores

En todos los casos:

• El centro de homotecia estará alineado con los centros de las circunferencias homotéticas dadas.
• Recurrimos a puntos homotéticos de las circunferencias, aquellos que están en radios paralelos.
• Como puntos homotéticos están alineados con el centro de homotecia, éste está en la intersección de la recta que une centros de homotecia y la rectas que unen puntos homotéticos en radios con igual sentido (H+) o con sentido opuesto (H-)

a) Circunferencias exteriores

 El centro de homotecia está alineado con los centros de circunferencias homotéticas.

 Puntos homólogos de circunferencias homotéticas están en radios paralelos.

 Puntos homotéticos están alineados con el centro de homotecia.

b) Circunferencias tangentes exteriores: 

    Uno de los centros de homotecia coincide con el punto de tangencia.

c) Circunferencias tangentes interiores: 

    Uno de los centros de homotecia coincide con el punto de tangencia.

d) Circunferencias interiores

Problema 3

Determinar la circunferencia tangente a dos rectas dadas y que pase por un punto P.

Si suponemos un centro de homotecia en la intersección de las rectas, podemos hallar la solución a partir de una circunferencia cualquiera homotética a la buscada, que sea tangente a las rectas. Si es tangente a las dos rectas, su centro estará en la bisectriz del ángulo que forman las rectas dato.

Así, una circunferencia cualquiera tangente a r y s será  por ejemplo la c', cuyo punto de tangencia T estarán en la intersección de la dirección perpendicular a las rectas desde el centro.

Los puntos homólogos de una homotecia están alineados con el centro de homotecia, por lo tanto sabemos el homólogo de P estará en la intersección de esa recta con la circunferencia anterior.

Puntos homólogos de circunferencias homotéticas están en radios paralelos. 

Averiguamos así el centro de la circunferencia buscada.