Ángulo. Ángulos central e inscrito. Arco Capaz.

Ángulo

Dos rectas que se cortan, r y s, determinan un plano y lo dividen en cuatro partes iguales dos a dos,  α  y  β (ángulos opuestos por el vértice son iguales).

Ángulo es la parte del plano comprendida por dos rectas r y s que se cortan, es decir, dos rectas coplanares. Está formado pues, por un vértice V, dos lados L1 y L2 y la superficie comprendida α. Otra forma de decirlo: Ángulo es la parte α del plano comprendida por dos semirrectas llamadas "lados" L1  y L2 que tienen un punto de origen común llamado "vértice" V.

Su valor es el del menor de los dos ángulos que determinan sus lados.
Existen tres sistemas de medida de los ángulos:

• Radián: Ángulo cuyo arco es igual al radio. Varía entre  0 y 2π. (Sistema universal)
• Grados sexagesimales: valores comprendidos entre 0 y 360.
• Grados centesimales: valores comprendidos entre 0 y 400.

El ángulo permite establecer:

- La posición y orientación relativa entre dos elementos geométricos coplanares.

- El tamaño de la parte de plano comprendida.

Ángulo entre dos rectas: Es el menor de los dos que se forman.

Ángulo entre una recta y una circunferencia que se cortan: Es el que forma la recta r con la recta tangente t a la circunferencia c en cualquiera de los puntos de intersección T. El valor del ángulo en cualquiera de los dos puntos de intersección, es el mismo, como veremos en la siguiente construcción dinámica.

 
Construcción dinámica. Pincha y arrastra el punto azul.
Verás cómo el ángulo que forma una recta tangente t1 en T1 con la circunferencia 
es igual al que forma la otra recta tangente t2 en T2 con la circunferencia.

Ángulo entre dos circunferencias que se cortan: Es el que forman sus rectas tangentes en cualquiera de los puntos T de intersección. La tangencia es un caso particular de intersección, tal que los puntos de corte coinciden en uno solo, llamado punto de tangencia T, común a los dos elementos que intersectan, que son perpendiculares entre sí. Así, la recta t tangente a una curva y el radio r que pasa por el punto de tangencia T, son ortogonales entre sí, forman 90º.

Ángulo Central - Ángulo Inscrito

Ángulo Inscrito: Es aquel cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son cuerdas de la misma.

Ángulo Central: Es aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y por medida el arco comprendido por sus lados, que son radios.

En la siguiente construcción dinámica podemos observar cómo independientemente de la posición de P en la circunferencia, o de la amplitud del arco AB, el ángulo central es el doble que el ángulo inscrito, siempre que ambos abarquen el mismo arco AB.

Construcción dinámica. Pincha y arrastra los puntos azules.
Verás cómo el ángulo central es siempre el doble del inscrito que abarca el mismo arco AB.

La suma de ángulos internos de un triángulo es 180º. 

Imagen interactiva. Pincha y arrastra los puntos azules. 

Verás que la suma de los tres ángulos siempre da 180º

El triángulo CBP es un triángulo isósceles, con dos ángulos  α iguales. Y como la suma de los tres ángulos internos del triángulo será   j + 2 α = 180º

También podemos observar en la semicircunferencia que  j + b = 180º

Así deducimos analíticamente que el ángulo central b es el doble que el ángulo inscrito a. 

a = 2b

Para cualquier posición del punto P podemos descomponer los ángulos en dos y aplicar similar razonamiento.

a = a₁ + a₂

b = b₁ + b₂

b = 2a₁ + 2a₂=2 (a₁ + a₂)=2a

Destacar también estas importantes propiedades de los ángulos:

Los ángulos cuyos lados se cortan perpendicularmente, determinan aberturas iguales (por congruencia). Ángulos congruentes son los que tienen la misma amplitud. Buscando Congruencia, encontramos: Dos figuras geométricas son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño; si existe una isometría que los relaciona: una transformación que puede ser de traslación, rotación y/o reflexión. Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición o su orientación sean distintas. Las partes relacionadas entre las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes. (W)

Construcción dinámica. Pincha y arrastra los puntos azules.
Verás cómo se mantiene el ángulo entre rectas homólogas.

Ángulos complementarios suman  90º.

Ángulos suplementarios suman 180º.

Ángulos conjugados suman 360º.

Ángulo diedro: parte del espacio delimitada por dos semiplanos con una recta común.

Ángulo sólido: espacio delimitado por una superficie cónica.

Arco Capaz

Definición.
Arco capaz de un segmento AB visto bajo un ángulo dado α es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve el segmento AB bajo el mismo ángulo α.

Imagen interactiva. Pincha y arrastra los puntos azules y el punto P.

Verás cómo:

- el radio y la tangente en el punto de intersección con la circunferencia, son siempre perpendiculares.

- el ángulo alfa no cambia aunque varíe la longitud del segmento.
- la tangente en P, al llegar a B, forma el ángulo dado alfa con el segmento AB.

 Este lugar geométrico es un arco de circunferencia al que pertenecen los extremos del segmento AB, que será pues,  una cuerda de dicha circunferencia. Los puntos P del arco son vértices de triángulos cuya base común es el segmento AB y tienen asociado el ángulo inscrito de valor la mitad del ángulo central que abarca dicha base.

Construcción.
Conociendo el segmento AB y el ángulo bajo el que se ve, queremos determinar el arco capaz del segmento visto bajo dicho ángulo.

Para determinar el arco capaz del segmento necesitamos 3 parámetros: dos coordenadas del centro, es decir, la posición del centro y una distancia, es decir, el radio.
Sabiendo que:
- El segmento dado es una cuerda del arco buscado.
- El ángulo inscrito determina en el extremo del segmento, la dirección o recta tangente al arco buscado. 
- El centro de la circunferencia está en la intersección de la perpendicular a la tangente en el extremo  del segmento, con la  mediatriz del mismo.

Imagen interactiva.
Haz clic en las casillas para comprender las relaciones geométricas. 
Pulsa el botón play/pause para animar el punto P o detenerlo.
Puedes pinchar y arrastrar los puntos azules y el punto P. 

Verás cómo:

- la tangente en un extremo forma con el segmento el ángulo inscrito,

- el ángulo central es doble que el inscrito (P).

Aplicaciones.
Aplicación a construcciones geométricas: arco capaz de 90º

El arco capaz de un segmento bajo un ángulo de 90º es una semicircunferencia de centro el punto medio del segmento dado y radio la mitad de dicho segmento.

El arco capaz de 90º nos permite hallar la recta tangente desde un punto P a una circunferencia dada de centro C.

• Sabemos la posición del punto P desde el queremos hallar la recta tangente.
• Sabemos que el radio parte del centro de la circunferencia (dato) y llega al punto de tangencia (incógnita).
• Sabemos que la tangente desde un punto a una circunferencia y el radio de dicha circunferencia en el punto de tangencia son ortogonales. Por tanto el segmento PC se verá bajo un ángulo de 90º.
• El punto de tangencia T debe pertenecer a la circunferencia dada y al arco capaz del segmento PC. 
• Por ello, el punto de tangencia T estará en la intersección de la circunferencia con el arco capaz del segmento PC bajo un ángulo de 90º

Esta construcción también se justifica por el segundo enunciado del teorema de Thales (el punto medio del segmento PC,  hipotenusa del triángulo rectángulo PTC, es el circuncentro de dicho triángulo).

 
Imagen interactiva.Pincha y arrastra los puntos azules.

Verás cómo:

- siempre radio y tangente forman 90º.

- siempre T está en la intersección entre la circunferencia dada y el arco capaz de 90º.

- el arco capaz de 90º siempre es una semicircunferencia.

Teorema de Pitágoras

Enunciado

Verbalmente se enuncia así:

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Analíticamente se enuncia así:

a² = b² + c²

Gráficamente (geométricamente) se enuncia así:

Demostraciones

Es uno de los teoremas del que se han hecho más demostraciones. Una de las más visuales se ve en el siguiente vídeo:

Aplicaciones

Distancias

Con el teorema podemos deducir distancias, las medidas de los lados de un triángulo rectángulo: 

H = (C₁ ² + C₂²)^1/2

Áreas

Con el teorema podemos hallar el área de un cuadrado de lado a, como suma de las áreas de otros dos cuadrados, uno de lado b y otro de lado c, si a es la hipotenusa y b y c los catetos de un triángulo rectángulo abc.

Demostración según el Chou Pei 

(obra matemática de origen chino, escrita entre el 500 y el 300 aC. 

y que parece poco probable que conociese Pitágoras)

Circunferencia

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto del mismo plano llamado centro, en una distancia constante llamada radio. El Teorema de Pitágoras representa la ecuación de una circunferencia:

r² = x² + y²

cuyo radio R es la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos x, e y (coordenadas de los puntos B que pertenecen a esa circunferencia). El el plano, una circunferencia necesita 3 parámetros para quedar determinada, por ejemplo, las 2 coordenadas del centro y 1 longitud, la del radio.

Si desplazamos el centro C de la circunferencia, desde el origen de coordenadas, a un punto cualquiera del plano, los catetos del triángulo ya no serán las coordenadas de B sino la diferencia entre las de B y las del centro C.

Cónicas. Elipse

La primera definición de cónica la dio Apolonio de Perga en el siglo III a.C en su obra homónima "Las Cónicas". En ella analizaba las cónicas como curvas planas resultantes de la intersección de un cono con una plano.

El cono está definido por un vértice V, un eje de revolución e, una recta generatriz g y el ángulo a que ésta forma con el eje e alrededor del cual gira. Tal como vemos en las secciones frontales siguientes, hay tres tipos de cónicas según la relación entre el ángulo del cono y el que forma el plano con el eje de la cónica: elipse, parábola, hipérbola.

Toda cónica necesita en general 5 datos para quedar determinada. Y toda cónica tiene una serie de puntos notables y elementos a conocer: centro, focos, vértices, eje, directriz, circunferencia focal, circunferencia principal.

Podemos considerar sendas esferas tangentes al plano y al cono a la vez. El punto de tangencia con el plano Pi son los focos de la elipse. Lo comprenderemos mejor en la siguiente figura:

Elementos de las cónicas

Centro O: punto medio entre los focos. intersección del eje del cono con el plano de la cónica Pi.
Foco F: punto de tangencia de la esfera tangente al cono y al plano, con el plano Pi.
Vértice A: punto de la cónica más alejado del centro.
Eje e: recta que une focos, centro y vértices.
Directriz d: recta intersección del plano Pi de la cónica con el plano de la circunferencia tangente común del cono y la esfera focal.

Circunferencia focal Cf es aquella que tiene por centro un foco y por radio 2a. También es el lugar geométrico de los puntos simétricos de los focos (SF) respecto de las tangentes a la curva. Hay dos circunferencias focales.

Circunferencia principal Cp es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares desde los focos a las tangentes a la cónica. Tiene por centro el centro de la cónica y por radio a, por lo que pasa por los vértices A1 y A2.

Circunferencia focal y principal son homotéticas, con razón de homotecia 1/2 ó 2. Cualquier punto de la circunferencia focal tiene otro punto homotético en la circunferencia principal.

Elipse. Definición y figura de análisis.

Vamos a estudiar más en profundidad la elipse. Podemos dar pues, tres definiciones de elipse:

• Intersección entre un cono y un plano con ángulo beta mayor que el del cono.
• Lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos F1 y F2 es constante (2a): TF1 + TF2 = 2a = cte.
• Lugar geométrico de los centros de circunferencias tangentes a la focal y que pasan por el otro foco. Además sabemos que el punto de tangencia entre las dos circunferencias es el simétrico del foco. Dicho de otro modo, las rectas tangentes a las cónicas son bisectrices del ángulo entre TF2 y TFS2

Las principales relaciones geométricas entre los elementos de la cónica los podemos estudiar en la siguiente figura de análisis.

Intersección recta-cónica

Si el simétrico de un foco está dentro de la circunferencia principal, la recta es secante con la cónica.
Si el simétrico de un foco pertenece a Cp, la recta es tangente a la cónica.
Si el simétrico de un foco está fuera de Cp, la recta es exterior a la cónica.

Problemas.

A continuación estudiaremos tres casos ejercicios tipo:
- Hallar la recta tangente a la cónica por un punto de ella.
- Hallar la recta tangente a la cónica por un punto exterior a ella.
- Hallar la recta tangente a la cónica con una dirección dada.

Ejercicio tipo 3: recta tangente con dirección dada

Dada una cónica por sus focos y sus vértices, determinar las tangentes con una dirección dada.

Método circunferencia focal.
La perpendicular a la dirección dada, desde un foco, corta a la circunferencia focal (radio 2a) desde el otro foco, en los simétricos del foco SF.

Las mediatrices a los segmentos F-SF, serán las tangentes buscadas.

Los puntos de tangencia buscados resultan de la intersección de las tangentes con los radios F-SF.

Método circunferencia principal.

La intersección de la circunferencia principal con la perpendicular por un foco a la dirección dada, determina puntos PT.

Por estos puntos PT pasarán las tangentes buscadas, con la dirección indicada.

Los puntos de tangencia están en la intersección con ellas de las paralelas a los radios O-PT, desde el otro foco.

Ejercicio tipo 2: Recta tangente por P exterior

Datos: Focos F1, F2; vértices: A1, A2; un punto exterior a la cónica P.
Hallar la recta tangente a la cónica que pase por P.

Método circunferencia focal.

Conocemos 2a y los focos, por lo que tenemos la circunferencia focal.

El simétrico de un foco está en la intersección de la circunferencia focal con la que tiene centro P y radio PF1. 

Las tangentes son mediatrices de la línea entre un foco y su simétrico.

El punto de tangencia T está en la intersección con el radio SF1-F2.

Método circunferencia principal.
La circunferencia principal es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares desde los focos. a la recta tangente buscada. Luego con el arco capaz desde P a F1, encontramos el punto de la circunferencia principal  tal que P-Pie es perpendicular a F1-Pie.

La recta tangente buscada debe pasar por P y debe pasar por Pie.

Con una paralela por F2 a O-Pie, obtenemos el punto de tangencia buscado.

Cónicas. Ejercicio tipo 1: Punto de tangencia T en t dada

Circunferencia focal es aquella que tiene por centro un foco y por radio 2a. También es el lugar geométrico de los puntos simétricos de los focos (SF). Hay dos circunferencias focales.

Circunferencia principal es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares desde los focos a las tangentes a la cónica. Tiene por centro el centro de la cónica y por radio a, por lo que pasa por los vértices A1 y A2.

Circunferencia focal y principal son homotéticas con razón de homotecia 1/2 ó 2. Cualquier punto de la circunferencia focal tiene otro punto homotético en la circunferencia principal.

Si el simétrico de un foco está dentro de la circunferencia principal, la recta es secante con la cónica.
Si el simétrico de un foco pertenece a la circunferencia principal, la recta es tangente a  la cónica.
Si el simétrico de un foco está fuera de la circunferencia principal, la recta es exterior a la cónica.

Ejercicio 1: 
Dados O, F1, t
Hallar F2, T, A

Método circunferencia focal:
Los focos son simétricos respecto al centro O de la cónica. Así obtenemos F2.

Las circunferencias focales son el lugar geométrico de los simétricos de los focos respecto a las tangentes, Así obtenemos el simétrico de uno de los focos, por ejemplo el F1.

Las circunferencias focales tienen centro un foco y radio 2a siendo el extremo el simétrico del otro foco respecto a la tangente correspondiente. Así obtenemos el punto de tangencia T de la recta tangente dada t con la cónica dada.

Los vértices A1 y A2 de la cónica están alineados con el eje de los focos y el centro de la cónica. En la intersección de este eje con la circunferencia focal obtenemos la diferencia entre la distancia entre vértices y la distancia entre focos 2a - 2c. Los vértices son simétricos respecto al centro de la cónica.

Método circunferencia principal:

La circunferencia principal es el pie de las perpendiculares desde los focos a las tangentes.

Sabemos que tiene radio a y centro O, luego podemos dibujarla.

En su intersección con el eje OF1, encontramos los vértices A1 y A2 de la cónica.

Y en su intersección con la tangente, el pie de la perpendicular a t, la cual pasará por el otro foco F2.

Como la circunferencia focal y la principal son homotéticas, la intersección de la  perpendicular a t por F1, con una paralela al radio OPieF1, cortará a t en T punto de tangencia y a F1-PieF1 en su simétrico SF1.

2017 04 24_Cónicas1

EJERCICIO DE CÓNICAS I
Dada una elipse por sus dos focos F1 y F2 y una recta tangente t, determinar el punto de tangencia T y los vértices A1 y A2.

Tenemos 2 coordenadas de F1, 2 coordenadas de F2 y una dirección de t, 5 datos, por lo que la cónica está definida.
Conocemos tres definiciones de cónica:

• Intersección entre un cono y un plano.
• Lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos F1 y F2 es constante (2a).
• Lugar geométrico de los centros de circunferencias tangentes a la focal y que pasan por el otro foco. Además sabemos que el punto de tangencia entre las dos circunferencias es el simétrico del foco. Dicho de otro modo, las rectas tangentes a las cónicas son bisectrices del ángulo entre TF2 y TFS2

Por tanto, obtenemos el simétrico de un foco, respecto de t, por  ejemplo el F2.

El punto de tangencia T buscado está en la recta t y en la prolongación del radio focal F1-T al SF1.

La distancia entre F2 y SF1 es 2a (distancia del eje mayor de la cónica).

Basta llevar 2a sobre el eje entre F1 y F2 partiendo del centro, para obtener los vértices buscados A1 y A2.

20170419_Sistemas de Representación

EJERCICIO DE SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN
Enunciado:

El triángulo (ABC) se ha proyectado cónicamente en ABC, ortogonalmente en A''B''C'' y oblicuamente en A₀B₀. El radio del círculo de distancias (distancia de V al plazo de proyección) es V''A''. Se pide:

a) Completar la proyección oblicua en C₀, y el ángulo de dicha proyección.

b) Obtener la verdadera magnitud del triángulo (ABC).

c) Obtener el ángulo del plano (ABC) con el plano del dibujo.

Notación:

Plano del dibujo = Plano del cuadro = Plano del papel = Plano de los datos dados = p

(A) =  Punto en el espacio

A''  =  Proyección ortogonal del punto del espacio sobre el plano del dibujo

A₀  =  Proyección oblicua del punto del espacio sobre el plano del dibujo

A    =  Proyección cónica del punto del espacio sobre el plano del dibujo

Las proyecciones ortogonales resultan de la intersección del rayo proyectante que contiene al punto en el espacio y a su proyección, siendo estos rayos perpendiculares al plano del dibujo.

Podemos posicionar en el espacio el centro de proyección (V) ya que el círculo de distancias es un dato y la altura o mínima distancia de (V) al plano del dibujo es el radio r de este círculo.

Desde (V) podemos proyectar los puntos del triángulo en el espacio (A), (B), (C) hasta su intersección con el plano del dibujo en las proyecciones cónicas A, B, C. Éstas proyecciones son un dato.

Los puntos en el espacio (A), (B), (C) del triángulo, estarán en la intersección de los rayos proyectantes de la proyección cilíndrica ortogonal, con los rayos proyectantes de la proyección cónica. Vemos así que (A) y (B) están a una distancia del plano p igual a dos veces el radio del círculo de distancias. Y (C) está sobre el mismo plano, coincidiendo con la proyección cónica y la proyección ortogonal. Así tenemos el triángulo en el espacio y parte de la respuesta a) la proyección oblicua del punto C, C₀

Situados los vértices del triángulo en el espacio, podemos obtener la respuesta c) el ángulo del plano (ABC) con el plano del dibujo, observando el triángulo rectángulo siguiente, de cateto opuesto 2r y cateto contiguo a alfa igual a r, luego el ángulo está definido.

Dan como dato dos proyecciones oblicuas A₀B₀. como tenemos los puntos en el espacio situados, fácilmente  obtenemos la primera parte a la pregunta a) la dirección de proyección oblicua y el ángulo que forma el rayo proyectante oblicuo con el plano horizontal, en este caso, igual al que forma el plano del triángulo con el plano de referencia horizontal.

Por último podemos obtener la respuesta b) la verdadera magnitud del triángulo en el espacio (ABC), de manera analítica con triángulos rectángulos, o gráficamente, abatiendo el plano que contiene al triángulo sobre el plano del dibujo, tomando como charnela o eje de rotación la recta intersección de ambos planos, que es la recta que pasa por A₀B₀C₀