Ángulo. Ángulos central e inscrito. Arco Capaz.

Ángulo

Dos rectas que se cortan, r y s, determinan un plano y lo dividen en cuatro partes iguales dos a dos,  α  y  β (ángulos opuestos por el vértice son iguales).

Ángulo es la parte del plano comprendida por dos rectas r y s que se cortan, es decir, dos rectas coplanares. Está formado pues, por un vértice V, dos lados L1 y L2 y la superficie comprendida α. Otra forma de decirlo: Ángulo es la parte α del plano comprendida por dos semirrectas llamadas "lados" L1  y L2 que tienen un punto de origen común llamado "vértice" V.

Su valor es el del menor de los dos ángulos que determinan sus lados.
Existen tres sistemas de medida de los ángulos:

• Radián: Ángulo cuyo arco es igual al radio. Varía entre  0 y 2π. (Sistema universal)
• Grados sexagesimales: valores comprendidos entre 0 y 360.
• Grados centesimales: valores comprendidos entre 0 y 400.

El ángulo permite establecer:

- La posición y orientación relativa entre dos elementos geométricos coplanares.

- El tamaño de la parte de plano comprendida.

Ángulo entre dos rectas: Es el menor de los dos que se forman.

Ángulo entre una recta y una circunferencia que se cortan: Es el que forma la recta r con la recta tangente t a la circunferencia c en cualquiera de los puntos de intersección T. El valor del ángulo en cualquiera de los dos puntos de intersección, es el mismo, como veremos en la siguiente construcción dinámica.

 
Construcción dinámica. Pincha y arrastra el punto azul.
Verás cómo el ángulo que forma una recta tangente t1 en T1 con la circunferencia 
es igual al que forma la otra recta tangente t2 en T2 con la circunferencia.

Ángulo entre dos circunferencias que se cortan: Es el que forman sus rectas tangentes en cualquiera de los puntos T de intersección. La tangencia es un caso particular de intersección, tal que los puntos de corte coinciden en uno solo, llamado punto de tangencia T, común a los dos elementos que intersectan, que son perpendiculares entre sí. Así, la recta t tangente a una curva y el radio r que pasa por el punto de tangencia T, son ortogonales entre sí, forman 90º.

Ángulo Central - Ángulo Inscrito

Ángulo Inscrito: Es aquel cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son cuerdas de la misma.

Ángulo Central: Es aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y por medida el arco comprendido por sus lados, que son radios.

En la siguiente construcción dinámica podemos observar cómo independientemente de la posición de P en la circunferencia, o de la amplitud del arco AB, el ángulo central es el doble que el ángulo inscrito, siempre que ambos abarquen el mismo arco AB.

Construcción dinámica. Pincha y arrastra los puntos azules.
Verás cómo el ángulo central es siempre el doble del inscrito que abarca el mismo arco AB.

La suma de ángulos internos de un triángulo es 180º. 

Imagen interactiva. Pincha y arrastra los puntos azules. 

Verás que la suma de los tres ángulos siempre da 180º

El triángulo CBP es un triángulo isósceles, con dos ángulos  α iguales. Y como la suma de los tres ángulos internos del triángulo será   j + 2 α = 180º

También podemos observar en la semicircunferencia que  j + b = 180º

Así deducimos analíticamente que el ángulo central b es el doble que el ángulo inscrito a. 

a = 2b

Para cualquier posición del punto P podemos descomponer los ángulos en dos y aplicar similar razonamiento.

a = a₁ + a₂

b = b₁ + b₂

b = 2a₁ + 2a₂=2 (a₁ + a₂)=2a

Destacar también estas importantes propiedades de los ángulos:

Los ángulos cuyos lados se cortan perpendicularmente, determinan aberturas iguales (por congruencia). Ángulos congruentes son los que tienen la misma amplitud. Buscando Congruencia, encontramos: Dos figuras geométricas son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño; si existe una isometría que los relaciona: una transformación que puede ser de traslación, rotación y/o reflexión. Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición o su orientación sean distintas. Las partes relacionadas entre las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes. (W)

Construcción dinámica. Pincha y arrastra los puntos azules.
Verás cómo se mantiene el ángulo entre rectas homólogas.

Ángulos complementarios suman  90º.

Ángulos suplementarios suman 180º.

Ángulos conjugados suman 360º.

Ángulo diedro: parte del espacio delimitada por dos semiplanos con una recta común.

Ángulo sólido: espacio delimitado por una superficie cónica.

Arco Capaz

Definición.
Arco capaz de un segmento AB visto bajo un ángulo dado α es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve el segmento AB bajo el mismo ángulo α.

Imagen interactiva. Pincha y arrastra los puntos azules y el punto P.

Verás cómo:

- el radio y la tangente en el punto de intersección con la circunferencia, son siempre perpendiculares.

- el ángulo alfa no cambia aunque varíe la longitud del segmento.
- la tangente en P, al llegar a B, forma el ángulo dado alfa con el segmento AB.

 Este lugar geométrico es un arco de circunferencia al que pertenecen los extremos del segmento AB, que será pues,  una cuerda de dicha circunferencia. Los puntos P del arco son vértices de triángulos cuya base común es el segmento AB y tienen asociado el ángulo inscrito de valor la mitad del ángulo central que abarca dicha base.

Construcción.
Conociendo el segmento AB y el ángulo bajo el que se ve, queremos determinar el arco capaz del segmento visto bajo dicho ángulo.

Para determinar el arco capaz del segmento necesitamos 3 parámetros: dos coordenadas del centro, es decir, la posición del centro y una distancia, es decir, el radio.
Sabiendo que:
- El segmento dado es una cuerda del arco buscado.
- El ángulo inscrito determina en el extremo del segmento, la dirección o recta tangente al arco buscado. 
- El centro de la circunferencia está en la intersección de la perpendicular a la tangente en el extremo  del segmento, con la  mediatriz del mismo.

Imagen interactiva.
Haz clic en las casillas para comprender las relaciones geométricas. 
Pulsa el botón play/pause para animar el punto P o detenerlo.
Puedes pinchar y arrastrar los puntos azules y el punto P. 

Verás cómo:

- la tangente en un extremo forma con el segmento el ángulo inscrito,

- el ángulo central es doble que el inscrito (P).

Aplicaciones.
Aplicación a construcciones geométricas: arco capaz de 90º

El arco capaz de un segmento bajo un ángulo de 90º es una semicircunferencia de centro el punto medio del segmento dado y radio la mitad de dicho segmento.

El arco capaz de 90º nos permite hallar la recta tangente desde un punto P a una circunferencia dada de centro C.

• Sabemos la posición del punto P desde el queremos hallar la recta tangente.
• Sabemos que el radio parte del centro de la circunferencia (dato) y llega al punto de tangencia (incógnita).
• Sabemos que la tangente desde un punto a una circunferencia y el radio de dicha circunferencia en el punto de tangencia son ortogonales. Por tanto el segmento PC se verá bajo un ángulo de 90º.
• El punto de tangencia T debe pertenecer a la circunferencia dada y al arco capaz del segmento PC. 
• Por ello, el punto de tangencia T estará en la intersección de la circunferencia con el arco capaz del segmento PC bajo un ángulo de 90º

Esta construcción también se justifica por el segundo enunciado del teorema de Thales (el punto medio del segmento PC,  hipotenusa del triángulo rectángulo PTC, es el circuncentro de dicho triángulo).

 
Imagen interactiva.Pincha y arrastra los puntos azules.

Verás cómo:

- siempre radio y tangente forman 90º.

- siempre T está en la intersección entre la circunferencia dada y el arco capaz de 90º.

- el arco capaz de 90º siempre es una semicircunferencia.

Ángulos

Geometría es la disciplina matemática que mide ("metría") la tierra ("geo"), para lo que emplea un lenguaje de elementos gráficos (punto, recta, curva, superficie plana, superficie curva), con los que se representan figuras (que tendrán una posición, una medida, una forma) y se podrán relacionar mediante conceptos comparativos como igualdad (mismo tamaño y misma forma), equivalencia (misma medida), proporción (medidas relacionadas), semejanza (medidas relacionadas y misma forma).

La posición es el lugar geométrico. La posición de un punto queda determinada por dos coordenadas en el plano y por tres en el espacio. Una recta indica la dirección y queda definida por dos puntos. La posición relativa de una recta respecto a otra queda determinada por el ángulo entre ambas.

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas del mismo que tienen el mismo punto de origen o vértice. Se miden en radianes, grados sexagesimales o grados centesimales. Tiene que ver con el concepto de intersección de elementos de una superficie y permite establecer su posición relativa (dos rectas, recta y circunferencia, dos circunferencias), como vemos a continuación.

El ángulo entre dos rectas siempre se da como el menor de los que se determinan. Este es el problema básico al que se reducen muchos de los de intersección de elementos en el plano.

Imagen interactiva. Pincha y arrastra los puntos azules 
para cambiar el tamaño del ángulo.

El ángulo entre una recta y una circunferencia que se cortan, es el que forma la recta con la tangente a la circunferencia en uno de los puntos de intersección.

Imagen interactiva. Pincha y arrastra los puntos azules 
para cambiar el tamaño del ángulo.

El ángulo entre dos circunferencias que se cortan, es el que forman sus tangentes en cualquiera de sus puntos de intersección.

Imagen interactiva. Pincha y arrastra los puntos azules 
para cambiar el tamaño del ángulo.

La recta tangente y el radio que pasa por el punto de tangencia T, son ortogonales,  forman 90º.

Ángulo, Thales, Pitágoras

En geometría hablamos de conceptos "absolutos" como  posición, orientación, tamaño y forma. 
Y hablamos de conceptos comparativos como igualdad (mismo tamaño y misma forma), equivalencia (mismo tamaño), proporcionalidad (tamaños relacionados), semejanza (misma forma y tamaños relacionados).

ÁNGULO

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas del mismo que tienen el mismo punto de origen o vértice.  Se mide en radianes, grados sexagesimales o grados centesimales. Tiene que ver con el concepto de intersección de elementos de una superficie y permite establecer su posición relativa (dos rectas, recta y circunferencia, dos circunferencias).

• El ángulo entre dos rectas siempre se da como el menor de los que determinan.
• El ángulo que forman una recta y una circunferencia que se cortan, es el que forma la recta con la tangente a la circunferencia en uno de los puntos de intersección.
• El ángulo que forman dos circunferencias que se cortan, es el que forman sus tangentes en cualquiera de sus puntos de intersección.

TEOREMA DE THALES

El teorema de Thales es la base de la geometría proyectiva.

Para comprenderlo debemos aclarar el concepto de semejanza de triángulos: Dos triángulos son semejantes si tienen los tres ángulos iguales y los lados homólogos proporcionales.
O si se cumplen las condiciones de semejanza siguientes:

• dos ángulos iguales
• tres lados proporcionales
• dos lados proporcionales y el ángulo comprendido, igual.

Debemos saber que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º sexagesimales, por lo que si dos triángulos tienen dos lados iguales, el tercero también lo es.

Así, el Teorema de Thales se enuncia como sigue: Si en un triángulo cualquiera, se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene otro triángulo semejante al primero. O enunciado de otro modo: Si cortamos dos rectas cualesquiera por varias rectas paralelas, los segmentos correspondientes en ambas son proporcionales y se corresponden en la igualdad, en la suma y en la resta.

El concepto de semejanza (misma forma, tamaños relacionados) genera el de escala. La escala E es la relación matemática entre las dimensiones del dibujo D y las de la realidad R que representa: E=D/R

TEOREMA DE PITÁGORAS  a² = b² + c²

Si Thales habla de proporciones y es la base de la geometría proyectiva, Pitágoras habla de números y es la base de la geometría métrica. Su teorema establece que:

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Establece la relación métrica entre los lados de un triángulo rectángulo. Se han hecho múltiples demostraciones del mismo y es aplicable a diferentes ámbitos: distancias, áreas, circunferencias.

Distancias: Con el teorema podemos deducir distancias, las medidas de los lados de un triángulo rectángulo: H = (C₁ ² + C₂²)^1/2

Áreas: Con el teorema podemos calcular áreas, la de los cuadrados cuyos lados miden lo que mide cada lado del triángulo pitagórico. Al elevar al cuadrado una distancia da como resultado un área: la de la figura cuadrada de lado esa distancia. El teorema a² = b² + c² expresa que el área de un cuadrado de lado “a” es igual a la suma de las áreas de dos cuadrados, uno de lado “b”y otro de lado “c” . Es uno de los teoremas que se ha demostrado de más formas. Una de las más visuales es la que muestra el vídeo siguiente:

Circunferencias:  Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto del mismo plano llamado centro, en una distancia constante llamada radio. El teorema de Pitágoras representa la ecuación de una circunferencia, R² =x² + y²   donde el radio R es la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos x, y, coordenadas de los puntos P, que pertenecen a esa circunferencia.

                      

El teorema de la altura, establece que en un triángulo rectángulo, la altura medida sobre su hipotenusa, es media proporcional entre los dos segmentos en que la divide.  BH/AH  = AH/HC

El teorema del cateto establece que en un triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección del dicho cateto sobre la hipotenusa  BC/AB = AB/BH