Solución 2: Hexágono en diédrico

Aquí está la solución al ejercicio de resolver un hexágono en diédrico:

Potencia de un punto respecto a una circunferencia

La potencia W_p² de un punto P respecto de una circunferencia c es el producto de la menor distancia m por la mayor distancia n del punto P a la circunferencia c. 

Expresado algebráicamente tendríamos:

Potencia = W_p²= m · n

P exterior a la circunferencia

Analicemos un punto P, exterior  a la circunferencia,

Como vemos en la figura, P es exterior a la circunferencia, los puntos A y B pertenecen a ella y están alineados con P, perteneciendo los tres puntos A, B y P a la misma recta. Además: 

R = radio de la circunferencia c

d  = PC

m = PA = d - R

n  = PB = d + R

Por lo que podemos expresar la potencia, como sigue:

                   Potencia = W_p² = m · n = (d-R) · (d+R) = d² - R² 

La diferencia de medidas al cuadrado, d² – R² , alude al Teorema de Pitágoras, es decir a un triángulo rectángulo, el cual encontramos mediante el arco capaz. 

La hipotenusa del triángulo rectángulo será d = PC, un cateto R y el otro W_p.

El vértice T del ángulo recto del triángulo pitagórico buscado, pertenecerá a la circunferencia y al arco capaz del punto P respecto a la circunferencia c. 

La longitud del segmento PT, que llamamos W, será, elevada al cuadrado, la potencia W² del punto P respecto a la circunferencia c. 

Como vemos en la figura anterior, la potencia es un área de valor equivalente a la del cuadrado de lado W, es decir el cuadrado de la longitud del segmento PT tangente a la circunferencia. El concepto de Potencia alude al producto de distancias.

Punto P interior a la circunferencia

Consideremos ahora un punto P, interior a una circunferencia c. Si la potencia es el producto de las distancias menor m y mayor n a la circunferencia c, como vemos en la figura:

m= PA = R - d

n = PB = R + d

d = PC

Por lo que de nuevo, podemos expresar el producto m·n como una suma por diferencia, por tanto una diferencia de cuadrados:

Potencia = m · n = (R - d) · (R + d) = R² – d² = - (d² - R²)

Y toda diferencia de cuadrados alude al triángulo pitagórico, que en este caso tiene el ángulo recto en P, como hipotenusa el radio R  y un cateto es d. El otro cateto, PT= W_p es el lado del cuadrado cuya área es equivalente a la Potencia W²  buscada, es decir el resultado del producto m·n.

Generalización del concepto de potencia

La potencia de un punto P respecto de una circunferencia c, es el producto de la menor "m" por la mayor "n" de las distancias del punto P a la circunferencia c.

Igual que esta definición es válida para un punto P cualquiera, tanto interior, como exterior a la circunferencia, también lo es para cualquier recta que pase por P y sea secante a c, pase por el centro C de la circunferencia, o no.

La potencia del punto P a la circunferencia c es independiente de la recta elegida.

Podemos demostrarlo gracias al concepto de Arco Capaz y al Teorema de Thales.

Dados un punto P y una circunferencia c, consideramos un par de rectas r y s, secantes en A y B la primera, r, y en C y D  la segunda, s.

La circunferencia es el arco capaz del segmento BC, que se verá bajo el mismo ángulo α desde cualquier punto del arco. Dicho de otro modo, cualquier ángulo inscrito en dicho arco capaz, tiene el mismo valor α.

Se determinan así dos triángulos PAC y PBD que comparten un ángulo, el del vértice P y tienen otro ángulo de igual valor, el que está en la circunferencia: el ángulo de vértice A en el triángulo PAC y el ángulo de vértice D del triángulo PBD. Dos triángulos que tienen dos ángulos iguales, son semejantes y por tanto se puede aplicar el Teorema de Thales:

PA / PC = PD / PB

n / m' = n' / m

m·n = m'·n'

PA · PB = PC · PD = constante

PA es la mayor distancia n de P a c, en la recta r.

PB es la menor distancia m de P a c, en la recta r.

PC es la menor distancia  m' de P a c, en la recta s.

PD es la mayor distancia n' de P a c, en la recta s.

n · m =  W_p² = m' · n' = constante

Lo que demuestra que la potencia de un punto P respecto a la circunferencia c, es independiente de la recta elegida.