Toda circunferencia tiene 3 grados de libertad.
Un haz de circunferencias es un conjunto simplemente infinito de puntos, porque sólo tienen un grado de libertad (o lo que es lo mismo, tienen 2 restricciones).
Un haz de circunferencias corradicales es un conjunto simplemente infinito de circunferencias con eje radical común y centros alineados en una recta base. El punto O de intersección del eje radical y la recta base, se denomina centro del haz.
Dada una circunferencia c y una recta e coplanaria, queremos hallar las circunferencias del haz, es decir, las circunferencias que comparten la recta e como eje radical.
Hay tres familias de haces según la posición del eje respecto a las circunferencias:
- elípticas (eje y circunferencia secantes),
- parabólicas (eje y circunferencia tangentes)
- hiperbólicas (eje y circunferencia separadas)
Haz elíptico
Todas las circunferencias del haz pasan por dos puntos del eje radical llamados "puntos fundamentales", que son los de intersección de la circunferencia dada, con el eje radical. La potencia del centro O del haz es negativa. La menor circunferencia del haz tiene por diámetro la distancia entre los puntos fundamentales (los de intersección de las circunferencias del haz)
Ejercicio 1.
Hallar la circunferencia del haz elíptico que pasa por el punto P. De las infinitas circunferencias del haz elíptico, sólo una pasa por un punto dado. Por pasar por los puntos A y B, tendrá su centro en la recta base b que es mediatriz del segmento AB y por pasar por el punto P el centro también estará en la mediatriz de los segmentos AP o BP.
Por tanto, la única circunferencia solución estará en la intersección de las mediatrices mencionadas.
Ejercicio 2.
Determinar las circunferencias del haz que son tangentes a una recta dada, conociendo los puntos fundamentales del haz.
Hay dos circunferencias del haz elíptico de por Eje Radical la recta ER, que pertenecen al haz de circunferencias tangentes (o haz parabólico) a t. Hay pues un punto (el centro radical Cr) que tiene igual potencia respecto las circunferencias del haz elíptico y a las dos circunferencias buscadas. Este Cr está en la intersección de ER con t.
La mínima circunferencia del haz elíptico es la que pasa por A y B. Hallamos el punto de tangencia desde Cr a esta circunferencia mínima.
Y así encontramos el punto de tangencia de las circunferencias buscadas, que tendrán su centro en la recta base dada.
Ejercicio 3.
Determinar las circunferencias del haz elíptico que son tangentes a una circunferencia dada.
Por pertenecer al haz elíptico de eje radicar ER, pasarán por los puntos fundamentales (que dan como dato) A y B y tendrán su centro en la recta base dada (mediatriz de AB).
Por ser tangentes a la circunferencia dada, pertenecerán al haz parabólico de la circunferencia dada t.
Hay por tanto dos haces de circunferencias implicados y por tanto, un Centro radical Cr, punto que tiene igual potencia respecto a los dos haces.
Determinamos un punto Cr (centro radical) que tenga igual potencia respecto de la circunferencia t y cualquiera del haz elíptico.
Conocemos los puntos los puntos fundamentales A y B por los que pasan todas las circunferencias del haz. La menor de ellas es la que tiene centro en el centro del haz (intersección de la recta base con el eje radical).
El eje radical de estas dos circunferencias conocidas, la menor del haz y la de condición de tangencia, lo obtenemos mediante una circunferencia auxiliar cualquiera que las corte.
La intersección del eje radical común hallado, con el eje radical del haz elíptico, da el centro radical del haz y de la circunferencia de tangencia.
Desde este punto (Cr), la potencia al haz elíptico dado o a la circunferencia dato es la misma. Y la potencia es la raíz del segmento CrT, siendo T el punto de tangencia a cualquiera de las circunferencias del haz o a la de la condición de tangencia.
Y como la potencia es la misma, la longitud CrT (raíz de la potencia) también y podemos obtener los puntos de tangencia T1 y T2 con la la circunferencia t.
La intersección de la prolongación de los radios con la recta base, determina los centros de las circunferencias solución (las del haz que sean tangentes a la circunferencia t).
Haz parabólico
El haz parabólico es el conjunto de infinitas circunferencias tangentes entre sí en un punto O llamado "centro del haz". Este punto O tiene potencia nula, es la circunferencia de menor radio del haz y se llama también punto límite (L). Todos los demás puntos del eje radical tienen potencia positiva respecto a las circunferencias del haz.
Ejercicio 1.
Determinar una circunferencia del haz parabólico que pasa por un punto P.
La circunferencia solución pasará por P y por O y tiene su centro en la recta base y en la intersección de la mediatriz PO.
Ejercicio 2.
Determinar las circunferencias del haz parabólico que son tangentes a una recta dada.
La intersección de la recta tangente t y el Eje Radical es el centro radical que tiene igual potencia respecto a las circunferencias del haz elíptico y a la recta t (circunferencia de radio infinito). Y la potencia es CrO.
Las circunferencias tangentes a t tendrán sus radios perpendiculares a ella y el centro en la recta base.
Ejercicio 3.
Determinar las circunferencias del haz parabólico que son tangentes a una circunferencia dada.
El centro radical (de igual potencia respecto a la circunferencia y al haz dado) estará en el eje radical dado.
La potencia será el cuadrado de la distancia Cr O y con ella averiguamos los puntos T de tangencia.
Las circunferencias solución tendrán su centro en la recta base y serán tangentes a O y a T.
Haz hiperbólico
El haz hiperbólico es conjunto simplemente infinito de circunferencias. Las circunferencias del haz no se cortan entre sí ni cortan al eje radical.
El haz se puede definir mediante un par de circunferencias cualquiera o mediante sus puntos límite. Los puntos límite L1 y L2 son las circunferencias de menor radio del haz y son, a su vez, los puntos fundamentales del haz elíptico conjugado.
El centro del haz es exterior a todas las circunferencias del haz, por lo que su potencia y la de todos los puntos del eje, es positiva.
Dadas dos circunferencias de un haz hiperbólico, podemos determinar otra circunferencia, con centro en el del haz y radio el segmento tangente OT, siendo T el punto de tangencia de una de las circunferencias dadas. La intersección de esta circunferencia con la recta base determina los "puntos límites del haz" o "polos" o "puntos de Poncelet . Los puntos límite son circunferencias de radio nulo, del haz.
Ejercicio 1.
Determinar una circunferencia del haz hiperbólico que pasa por un punto P.
Además será ortogonal a cualquier circunferencia que pase por los puntos límite.
El eje radical del punto de paso, será una recta perpendicular al ER. La solución estará en la intersección de la recta base con el eje radical del punto de paso y una circunferencia ortogonal al haz (cualquiera que pase por los puntos límite).
Ejercicio 2.
Determinar las circunferencias del haz hiperbólico que son tangentes a una recta dada.
El haz puede quedar definido por sus puntos límite L1 y L2 o por dos circunferencias que le pertenezcan.
La recta t (circunferencia de radio infinito) es el eje radical de las circunferencias que le son tangentes.
Por tanto la intersección del eje radical del haz hiperbólico con la recta t, es el centro radical o de igual potencia de los dos haces de circunferencias.
La potencia nos la da la distancia de Cr a los puntos límite y es la distancia a los puntos de tangencia de las soluciones buscadas.
La intersección de las perpendiculares a la recta t, con la recta base, determina los centros de la solución.
Ejercicio 3.
Determinar las circunferencias del haz hiperbólico que son tangentes a una circunferencia dada.
Se trata de la mayor generalización del problema.
Determinamos el Centro Radical que tenga igual potencia respecto de la circunferencia que marca la condición de tangencia y cualquiera de las del haz hiperbólico, por ejemplo los puntos límite, por lo que debemos encontrar su eje radical.
Tomamos pues una circunferencia cualquiera que pase por L2 y corte a la circunferencia de tangencia.
Hallamos el eje radical común al punto límite y a la circunferencia de tangencia.
Donde este eje corte al ER del haz hiperbólico obtenemos el centro radical Cr.
Con centro en Cr y radio CrL2, es decir, la raíz de la potencia, encontramos los puntos de tangencia en la circunferencia condición.
Y en la intersección de las prolongaciones de los radios, con la recta base, encontramos los centros de las circunferencias solución del haz hiperbólico.
Haces conjugados
Son los haces de circunferencias ortogonales a las del haz dado.
Tiene como recta base, el eje radical del haz original.
Los puntos límite (mínima - radio cero- circunferencia del haz) del haz hiperbólico, son los puntos fundamentales del haz elíptico conjugado.
La entrada la he escrito basándome en las siguientes referencias:
