En el plano, un haz de circunferencias es un conjunto simplemente infinito de circunferencias de centros alineados en una recta "base". Vamos a estudiar los haces de circunferencias que comparten un eje radical (recta de puntos con igual potencia respecto a las circunferencias del haz). El eje radical es perpendicular a la recta base y la intersección de ambos es el centro del haz. Existen tres familias de haces de circunferencias corradicales, según la posición del eje respecto de las circunferencias sea secante, tangente o exterior: Haces elípticos, parabólicos e hiperbólicos respectivamente:
Familias de haces de circunferencias corradicales
- El haz es elíptico cuando el eje radical es secante a las circunferencias del haz. Los puntos de intersección entre las circunferencias son los mismos puntos de intersección de cada circunferencia con el eje radical. Esos puntos pertenecen al eje radical porque tienen la misma potencia (nula) respecto a las circunferencias. Todas las circunferencias del haz pasan esos dos puntos, llamados "puntos fundamentales del haz". Los puntos del eje que están en la parte del plano interior a las dos circunferencias, tienen potencia negativa respecto de ellas; los puntos del eje que están en la parte exterior a las circunferencias, tienen potencia positiva respecto de ellas. La menor circunferencia del haz tiene por centro, el centro del haz y por radio, la distancia del centro a los puntos fundamentales.
- El haz es parabólico cuando el eje radical es tangente a las circunferencias del haz. Todas las circunferencias del haz pasan por el centro del haz, punto en el que son tangentes al eje radical, y que tiene potencia nula respecto a las circunferencias. La mínima circunferencia del haz es un punto coincidente con el centro del haz y llamado "punto límite".
- El haz es hiperbólico cuando el eje radical es exterior a las circunferencias del haz y éstas no se cortan nunca entre sí ni cortan al eje. Existen dos circunferencias de radio mínimo, con valor de radio 0, nulo, llamados "puntos límite, polos o puntos de Poncelet", L1 y L2, que equidistan del centro del haz y resultan de la intersección de la circunferencia ortogonal al haz, con centro en el del haz y radio PL igual la potencia a cualquier circunferencia del mismo. Las circunferencias del haz hiperbólico son ortogonales a cualquier circunferencia que pase por los puntos límite.
Haces conjugados
Para cada circunferencia del haz, hay una circunferencia ortogonal, cuyo radio es tangente a aquella. Dichas circunferencias ortogonales constituyen un haz "conjugado" de circunferencias, de recta base el eje radical del anterior, eje radical, la recta base del anterior, mismo centro del haz y las particularidades siguientes:
El haz conjugado de un haz elíptico es un haz hiperbólico cuyos puntos límite son los fundamentales del haz elíptico ortogonal.
El haz conjugado de un haz elíptico es un haz hiperbólico cuyos puntos límite son los fundamentales del haz elíptico ortogonal.
El haz conjugado de un haz parabólico es otro haz parabólico con el mismo centro y punto límite.
El haz conjugado de un haz hiperbólico es un haz elíptico cuyos puntos fundamentales son los puntos límite del hiperbólico dado.
Casos
Vamos a estudiar tres problemas que pueden plantearse: Determinar las circunferencias del haz que: pasen por un punto P; sean tangentes a una recta t; sean tangentes a una circunferencia t.
Enunciado de tres problemas por haz
En todos los casos, lo podemos enunciar como casos particulares del Problema Fundamental de Tangencias (buscamos circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a otra, variando el radio de esta tercera entre 0 - cuando es un punto-, un radio cualquiera - cuando es una circunferencia- y radio infinito - cuando es una recta).
Para resolver el problema, vamos a necesitar una circunferencia auxiliar entre la condición de tangencia (P, t, ct) y un elemento del haz. Podemos ver el problema desde dos puntos de vista, considerando: o una circunferencia ortogonal al haz, o una circunferencia del haz.
- El centro de la solución es el punto en b, con igual potencia respecto a la condición de tangencia y a cualquier circunferencia ortogonal al haz que pase por los puntos límite.
- El punto Cr de igual potencia respecto a la condición de tangencia y cualquier circunferencia del haz, es centro de la circunferencia ortogonal a la buscada, por lo que su radio (CrT) es tangente a la solución.
Soluciones
