Tangencias. Problema de Apolonio. Problema Fundamental Tangencias

El problema de Apolonio son 10 casos de estudio de tangencias entre puntos (P), rectas (r) y circunferencias (c), cuyos enunciados serían los presentados en la siguiente imagen:  Conviene hacer observar que los tres elementos (punto, recta y circunferencia), desde el punto de vista proyectivo, son el mismo elemento con diferentes radios (el punto sería una circunferencia de radio nulo y la recta sería una circunferencia de radio infinito).

Enunciados

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1. PPP. Determinar la circunferencia que pasa por 3 puntos dados.
2. PPr. Determinar las circunferencias que pasa por 2 puntos dados y es tangente a una recta dada.

3. PPc. Determinar las circunferencias que pasa por 2 puntos y es tangente a una circunferencia dada.

4. rrP. Determinar las circunferencias tangentes a dos rectas y que pasen por un punto.

5. rrr. Determinar la circunferencia a tangente a tres rectas dadas.

6. rrc. Determinar la circunferencia tangente a dos rectas y a otra circunferencia dada.
7. ccP. Determinar las circunferencias tangentes a otras dos y que pasen por un punto.
8. ccr. Determinar las circunferencias tangentes a otras dos y a una recta dadas.

9. ccc. Determinar las circunferencias tangentes a otras tres dadas.

10. Prc. Hallar las circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a recta y circunferencia.

El PFT (Problema Fundamental de Tangencias) es un caso concreto del problema de Apolonio en el que se especifica una condición de tangencia y dos de paso, lo que incluye los tres primeros casos. Consiste en determinar la circunferencia que pasa por dos puntos dados y es tangente a una recta o a otra circunferencia. La condición de paso por dos puntos equivaldría a la condición de tangencia siendo uno de los elementos tangentes, un elemento de radio nulo; también equivaldría a la condición de pertenencia a un haz, es decir, el problema se podría plantear como el de determinar las circunferencias del haz definido por dos puntos y que sean tangente a una recta o a otra circunferencia.

Los conceptos de potencia de un punto respecto de una circunferencia, homotecia, inversión y haz de circunferencias, nos permiten analizar y resolver los problemas de tangencia o incidencia entre los distintos elementos, reduciéndolos al llamado Problema Fundamental de Tangencias (PFT).

Análisis

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Las soluciones las vemos en la siguiente imagen:

Soluciones

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Pero a continuación explicamos más en detalle el proceso de análisis de cada caso.

1. PPP. Toda circunferencia tiene su centro en la intersección de dos mediatrices de dos cuerdas cualesquiera.

2. PPr. La potencia de un punto P respecto a cualquier circunferencia que pase por A y B, alineados con P, es constante.

3. PPc. La potencia de un punto P respecto a cualquier circunferencia que pase por cualquier par de puntos A y B alineados con P, es constante. El punto de tangencia de dos circunferencias está alineado con los centros de las mismas, siendo, en este caso, una la circunferencia dato y la otra la circunferencia solución.

4. rrP. Circunferencias tangentes a dos rectas y que pasen por un punto.

• Punto dentro del ángulo formado por las rectas. El centro de las circunferencias solución estará en la bisectriz del ángulo formado por las rectas. Podemos utilizar homotecias (se considera el punto de intersección de las rectas, como el centro de homotecia, alineado con cualquier par de puntos homotéticos; se toma cualquier circunferencia tangente a las rectas; puntos homotéticos están en radios paralelos entre sí de circunferencias homotéticas). Podemos utilizar haces elípticos de circunferencias (en verde) cuya recta base es la bisectriz; el punto P sería uno de los puntos fundamentales del haz; su simétrico respecto a la bisectriz, el otro; la recta que los une, sería el eje radical del haz y su intersección con una de las rectas dadas, sería el centro radical del haz elíptico y del haz de circunferencias tangentes a las rectas.
• Si el punto pertenece a una de las rectas, resulta que dicho punto es el de tangencia de las circunferencias buscadas. Y por tanto, la intersección de la perpendicular a la recta en la que está el punto, por el punto, con las bisectrices de los ángulos que forman las rectas, determinan los centros buscados.
• Si las rectas son paralelas, el concepto general es el mismo. El centro de las circunferencias solución estará en la bisectriz de ambas rectas, es decir, la recta equidistante de ambas. Y el diámetro de la solución, será la distancia entre ambas. La posición de los centros estará en la intersección de la bisectriz con la circunferencia de centro el punto y diámetro la distancia entre las rectas.

rrP

5. rrr. El centro de las circunferencias buscadas debe estar en las bisectrices interiores de los ángulos que forman las rectas.

6. rrc. Las circunferencias solución tienen su centro en las bisectrices de las rectas. De nuevo, las circunferencias buscadas pertenecen a dos haces: uno, el haz elíptico de recta base la bisectriz de las rectas y eje radical la recta C-SC; el otro haz tiene por eje radical una recta paralela a una de las dadas, separada de ella una distancia igual al radio de la circunferencia dada. 

rrc

7. ccP. Circunferencias tangentes a otras dos y que pasen por un punto.

• Por inversión. Tomamos el punto como centro de inversión y una de las circunferencias como inversa de sí misma. La potencia del punto a esta circunferencia determina la raíz de la potencia de inversión así definida y podemos dibujar la circunferencia de autoinversión correspondiente con centro el punto y radio el segmento PT. Conocida pues, esta circunferencia de autoinversión, determinamos la inversa de la otra circunferencia c'2. Cada tangente a éstas circunferencias (c'1 = c1 y c'2), inversas de las dadas c1 y c2, determinan en su intersección con la circunferencia de autoinversión, dos puntos de paso de las circunferencias buscadas. El tercer punto de paso es la condición inicial, el punto P. Con estos tres puntos de paso determinamos cada circunferencia solución.

ccP (por inversión)

• Por homotecia y haces. Consideramos homotéticas ambas circunferencias, por lo que sus centros estarán alineados. Cualquier punto A de una de las circunferencias estará en un radio paralelo al que pasa por el punto homotético A' en la otra circunferencia y, su vez, A y A' estarán alineados con el centro de homotecia H+. Por los puntos P, B y D pasa una circunferencia. El eje radicial de esa circunferencia con cada una de las circunferencias dadas, determinan M y N, puntos con igual potencia respecto a esta circunferencia PBD y cada una de las dadas. Los puntos de tangencia desde estos puntos M y N hasta las circunferencias dadas, son los de las circunferencias solución. Las circunferencias solución pertenecen pues, al haz elíptico de eje radical cada una de las rectas dadas, siendo P uno de los puntos fundamentales.

ccP (por homotecia y haces)

8. ccr. Hay ocho posibles soluciones. Las encontramos por inversión y haces de circunferencias. Una recta y una circunferencia se pueden relacionar con una inversión por una recta diametral perpendicular a la recta. El centro I estará en la intersección de circunferencia y recta y los puntos inversos A, A' en la otra intersección y en el pie de la perpendicular en la recta. Cuando las inversiones son inversiones positivas (IAA'), las circunferencias de autoinversión que definen dichas transformaciones son circunferencias dobles y ortogonales a la buscada. Podemos enunciar el problema por tanto, como "determinar las circunferencias ortogonales a dos dadas y tangentes a una recta". Las circunferencias ortogonales a dos dadas, pertenecen al haz conjugado. Las circunferencias de autoinversión en este caso, pertenecen a un haz elíptico; sus puntos de intersección son puntos fundamentales del haz y, a su vez, puntos límites del haz hiperbólico conjugado, al que pertenecen las soluciones buscadas. El problema se han transformado entonces en el siguiente: Determinar las circunferencias de un haz (hiperbólico), que son tangentes a una recta.

ccr

Se puede aplicar una única inversión, reduciendo el problema al caso Prc. Reducimos o ampliamos el radio de las circunferencias, una distancia igual al radio de la menor de ellas. Acercamos o alejamos la recta la misma distancia. Determinamos el centro de inversión positiva o negativa entre dicha "circunferencia suma o resta" y la recta acercada o alejada. Hay una circunferencia que pasa por AA'C2. Obtenermos el inverso del centro de la otra circunferencia C2. C2 y su simétrico SC2 son los puntos fundamentales de las circunferencias buscadas, que pertenecen al haz elíptico de eje radical la recta C2-SC2 y recta base la mediatriz de C2-SC2. La intersección de ese eje radical con la recta acercada o alejada, da el centro radical de las circunferencias buscadas. El punto de tangencia en r estará al levantar una perpendicular a r'. El centro en la recta base continuando con la perpendicular. 

ccr

9. ccc (Problema de Apolonio). Podemos encontrar hasta ocho soluciones según se encuentren dispuestas las circunferencias dato. Primero hallamos el centro radical de las tres circunferencias; luego los centros de homotecia de cada dos circunferencias (son 6 puntos, que están alineados de tres en tres en 4 rectas: Cuatro ternas de homotecia están alineadas según el Teorema de Menelao); a continuación determinamos los polos de cada circunferencia respecto a recta de ternas de centros de homotecia, cada polo se halla mediante un diámetro perpendicular a la recta, que la corta en un punto desde el que hallamos el punto tangente T a la circunferencia; por T una perpendicular al diámetro perpendicular lo corta en el polo P de la circunferencia respecto de la recta dada. Los rayos desde el centro radical a cada polo cortan a cada circunferencia en los puntos de tangencia buscados

ccc

10. Prc. Utilizamos la inversión y los haces de circunferencias. Consideramos la circunferencia y la recta dadas, inversas entre sí, así que se relacionan mediante una recta diametral perpendicular a la recta. Y obtendremos cuatro soluciones distintas: dos si consideramos una inversión positiva (A y A' al mismo lado de I) y otras 2 si consideramos  una inversión negativa (I entre A y A'). A y A' están en la intersección de dicha perpendicular con la recta y la circunferencia. La circunferencia que pasa por P, A y A' determina el punto inverso P' de P, alineados con I. La recta que los une, P con P' es eje radical del haz de circunferencias al que pertenecen las que buscamos, y cuya recta base es la mediatriz de PP'. Las circunferencias del haz tangentes a la recta dada tienen como centro radical la intersección de PP' con r.

Prc

Esta entrada resulta del estudio de las publicadas por Piziadas en:

• Geometría Métrica: Problema Fundamental de Tangencias PPr [I]
• Geometría Métrica: Problema Fundamental de Tangencias PPc [II]
• Apolonio y sus diez problemas
• Geometría Métrica: Problema de Apolonio rcc

y como consulta extra de los siguientes enlaces:

• Math educando. Circunferencia tangente a tres circunferencias. 
• Math educando. Circunferencia tangente a dos circunferencias que pasa por un punto dado.
• Trazoide. Circunferencia tangente a una recta y a dos circunferencias de radio diferente.

Potencia

Tenemos facilidad para comprender gráficamente lo que supone la suma de segmentos y la diferencia de segmentos. 

Gracias al Teorema de Thales comprendemos que el cociente de segmentos es una proporción, un número que compara tamaños de dos segmentos.

Pero, ¿y el producto de segmentos? El producto de segmentos es un área, una superficie, el tamaño de una porción de plano. Lo comprendemos cuando los segmentos forman un ángulo y una figura cerrada. Pero ¿y si los segmentos están alineados? ¿cuál es el área asociada? ¿y cuándo ocurre esta situación? Esta situación se da cuando medimos las distancias mayor y menor de un punto a una circunferencia. Introducimos así el concepto de Potencia de un punto respecto a una circunferencia.

La potencia de un punto respecto a una circunferencia alude al producto de distancias, es pues, un área, y se define como el producto de la menor por la mayor distancia del punto a la circunferencia y esto es así independientemente de la dirección de medida de las distancias del punto a la circunferencia.  Pero eso sí, esta dirección de medida debe ser la misma para ambas medidas, mayor y menor, es decir, si A y B son los puntos de intersección de dicha dirección (recta) con la circunferencia, A el punto más próximo a P y B el punto más alejado de P, es condición necesaria que P, A y B estén alineados.

Repetimos:

• Potencia de un punto P a una circunferencia del mismo plano es el producto de la menor por la mayor distancia de P a la circunferencia, independientemente de la dirección de medida (esto puede considerarse una generalización del concepto de potencia).

Lo explicamos:

Dados el punto P y la circunferencia c, dos rectas cualquiera que la cortan son las rectas r y s. 

La recta r corta a la circunferencia en los puntos A (el más cercano a P en esa dirección) y B (el más lejano a P en esa dirección). PA es la menor distancia de P a la circunferencia en la dirección marcada por r. PB es la mayor distancia de P a la circunferencia en la dirección de r.

La recta s corta a la circunferencia en los puntos A' y B' siendo PA' la menor distancia de P a la circunferencia en la dirección de s, y PB' la mayor distancia de P a la circunferencia en la misma dirección.

Se forman dos triángulos: PBA' y PAB' que son semejantes. Son semejantes porque tienen dos ángulos iguales: el ángulo de vértice P y lados las rectas r y s, es común a ambos triángulos. Los ángulos B y B' son iguales porque pertenecen al mismo arco capaz del segmento AA'.

Como comparamos triángulos semejantes, entonces, podemos aplicar Thales. Y lo aplicamos comparando, en cada miembro de la igualdad, 

• o bien segmentos del mismo triángulo (en numerado y denominador del cociente)
• o bien, segmentos homólogos de los triángulos semejantes comparados.

De esta manera comprobamos que siempre, el producto de la mayor, por la menor distancia de P a la circunferencia, es la misma, es constante, independientemente de la dirección de medida considerada, siempre y cuando los puntos P, A, B estén alineados, es decir, pertenezcan a la misma recta.

Alguien podría plantearse la duda de qué dirección elegir para medir esas distancias. Dos direcciones significativas desde un punto a una circunferencia del mismo plano son: Una, la radial, o diametral, que pasa por el centro de la circunferencia y nos aporta no sólo la menor, sino la mínima distancia de P a la circunferencia; y no sólo la mayor, sino la máxima distancia a la circunferencia. Otra, la de mínimo contacto, es decir, la dirección tangente a la circunferencia. Es considerando esa dirección tangencial, además, cuando podemos ver gráficamente y fácilmente, el valor de la potencia, como área, la del cuadrado de lado PT, gracias a los teoremas de Thales y del Cateto. 

Cuando la dirección considerada es tangente a la circunferencia, los puntos de intersección con ella coinciden en uno llamado punto de Tangencia, que suele denominarse con la letra T. En este caso, la  potencia será PT x PT =PT² . 

• La potencia de un punto respecto a una circunferencia es PT² , independientemente de que el punto sea exterior o interior a la circunferencia.

Si el punto es interior a la circunferencia, sigue cumpliéndose que la potencia es el producto de la menor por la mayor distancia de P a la circunferencia, como vemos en la siguiente figura.

Otra importante consideración que debemos tener en cuenta y que justificaremos más adelante basándonos en los haces de circunferencias, es:

• Para toda circunferencia que pase por A y B alineados con P, la potencia es constante.

Problema Fundamental de Tangencias

Dados tres objetos que pueden ser, cada uno de ellos, puntos, rectas o circunferencias, se puede plantear el problema de determinar una circunferencia tangente a los tres.

Ya Apolonio de Perga, en el siglo III aC  desarrolló y solucionó los 10 problemas que se pueden plantear.

Vamos a ir explicándolos en esta entrada poco a poco. Partiremos de los tres más básicos, a los cuales todos los demás se pueden reducir: PPP, PPr, PPc 

En las representaciones, como venimos haciendo, y de aquí en adelante, utilizaremos el color azul para los datos, el negro y las líneas continuas o de rayitas, para el proceso, y el rojo para la solución. 

Problema 1: PPP. 

Determinar la circunferencia que pasa por tres puntos A, B, D dados.

Toda circunferencia tiene su centro en la intersección de las mediatrices de dos cuerdas cualesquiera.

Conocidos tres puntos de la circunferencia, conocemos dos cuerdas, y por tanto las mediatrices requeridas.

La solución es una y queda así determinada.

Problema 2: PPr

Determinar la circunferencia que pasa por dos puntos A y B y es tangente a la recta dada r.

La solución debe tener su centro en la mediatriz de A y B, que determinan una cuerda de la circunferencia solución.

La potencia de un punto P es constante respecto a toda circunferencia que pase por A y B, alineados con P. Por tanto, la potencia de P, alineado con A y B debe ser la misma para la circunferencia solución o  para una circunferencia cualquiera auxiliar como la representada en la figura siguiente, que pasa por A y B.

Esa potencia tiene por raíz el segmento PT1, siendo T1 el punto de tangencia desde P a la circunferencia auxiliar c1 y que obtenemos gracias al arco capaz de 90º del segmento PC1.

Si la potencia es constante, la raíz de la potencia también, es decir, que podemos llevar la distancia PT1 mediante un arco de centro P hasta la recta r, para encontrar el punto de tangencia de la circunferencia buscada, con la recta dada. Hay dos puntos de tangencia: T y T', como  vemos en la figura.

Hay, por tanto, dos circunferencias solución, que pasan por A y B y son tangentes a r.

Problema 3: PPc

Determinar la circunferencia que pasa por dos puntos A y B y es tangente a otra circunferencia.

La circunferencia solución tendrá su centro en la mediatriz de la cuerda AB.

La potencia es constante para toda circunferencia que pase por los puntos A y B alineados con P. Así pues, podemos tomar una circunferencia auxiliar cualquiera que pase por A y B, como la de la figura siguiente, que corta a la circunferencia dada en los puntos D y E.

La potencia de P a las circunferencias que pasen por A y B alineados con P, será la misma que la potencia de las circunferencias que pasen por D y E, también alineados con P.

 

Para determinar dicha potencia, utilizamos el arco capaz del segmento PC1, que corta a la circunferencia auxiliar en dos puntos, uno de los cuales señalamos en la siguiente figura, T1.

 

La circunferencia dada c, pasa por D y E, por lo que la potencia de P respecto a esta circunferencia c será la misma que a la circunferencia auxiliar. Podemos hallar así los puntos T y T' de tangencia buscados, haciendo centro en P y llevando la raíz de la potencia hallada PT1.

 

Se determinan así dos circunferencias solución, que pasan por A y B y son tangentes a la circunferencia dada c.

Podíamos haber averiguado directamente los puntos de tangencia en la circunferencia dato, mediante el arco capaz de 90 de CP.

                                     

El centro de las circunferencias solución Cs está alineado con el centro C de la circunferencia dada c y con T.

Problema Fundamental de Tangencias: Generalización

El "Problema Fundamental de Tangencias" consiste en  obtener las circunferencias que pasando por dos puntos, son tangentes a una recta o a una circunferencia.

No obstante, estos problemas pueden considerarse uno, si entendemos el punto como una circunferencia de radio cero y la recta como una circunferencia de radio infinito. De este modo, el problema es hallar la circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a otra circunferencia.

Si consideramos que las circunferencias que pasan por dos puntos pertenecen a un haz elíptico de circunferencias, podemos enunciar el problema como sigue:

Determinar las circunferencias de un haz de circunferencias corradicales que son tangentes a un elemento geométrico (recta o circunferencia).

La solución se basa en el concepto de potencia. La tangencia de la circunferencia solución del haz respecto a la de la condición de tangencia, implica la existencia de un punto llamado "Centro Radical" que tiene igual potencia respecto de cualquier circunferencia del haz y respecto de la circunferencia que impone la condición de tangencia.

Si la condición de tangencia es respecto de una recta, Cr estará en la intersección de ésta con el eje radical del haz.

      

Tangencia haz elíptico respecto una recta

Tangencia haz parabólico respecto recta 

Tangencia  haz hiperbólico respecto recta

Si la condición de tangencia es respecto de una circunferencia, debemos localizar Cr mediante un eje radical auxiliar entre la condición de tangencia y cualquier circunferencia del haz.

Tangencia de  haz elíptico respecto circunferencia

Tangencia haz parabólico respecto circunferencia

Tangencia haz hiperbólico respecto circunferencia

Problema Fundamental de Tangencias PPc

Determinar las circunferencias que pasan por dos puntos dados A y B y son tangentes a una circunferencia  dada c.

El problema se reduce a determinar la circunferencia que pasa por A y B y un punto de tangencia T. 

Sabemos que la potencia de un punto P es la misma para cualquier circunferencia que pase por A y B. De este modo, podemos tomar cualquier circunferencia auxiliar que pase por A y B y corte a la dada. Tendrá su centro O1 en la mediatriz de AB

La potencia de P respecto a la circunferencia auxiliar será PA x PB, pero también PC x PD, siendo C y D puntos de la circunferencia dada.

Wp (c1) = Wp (c2)

Wp = PA x PB = PC x PD

Y también es esa potencia es  PT2, siendo T el punto de tangencia desde P a las circunferencias. 

Wp = PT2

Ese punto de tangencia se halla con el arco capaz de P respecto a la circunferencia.

Los centros de las circunferencias solución estarán en las intersecciones de sendas mediatrices y P es centro radical de las cuatro circunferencias: la inicial (azul), la auxiliar (rayitas) y las dos circunferencias solución (rojo)