Transformaciones: Inversión

Definición de inversión

La inversión es una transformación que se basa en el concepto de potencia y en la que se cumple que:

• Dos puntos inversos P y P' están alineados con el centro de inversión I. (es una transformación con centro)

• Dos puntos y sus inversos son concíclicos, están en la misma circunferencia. Esta circunferencia que pasa por P y P' se dice que es doble o invariante en la inversión, porque la imagen inversa de cada punto de ella, es otro punto sobre la misma circunferencia. Así, dos puntos (P y Q por ejemplo, en la imagen superior) y sus inversos (P' y Q'respectivamente) son concíclicos (están en la misma circunferencia).

• Dados dos puntos P, Q y sus inversos P', Q', las rectas que unen los puntos entre sí y con sus respectivos inversos, son antiparalelas. 

• El producto de la distancia de P a I  por la distancia de P' a I, es constante y se llama potencia de inversión:    

 IP x IP' = IQ x IQ' = constante = potencia de inversión =  K² 

           Puesto que es constante, cuanto mayor sea IP, menor será IP'. Es decir, cuanto más alejado                   esté un punto P del centro de inversión I, más cerca estará su inverso P' de I.

• Existe una distancia para la cual un punto P y su inverso P' coinciden.  Se trata del punto de tangencia del rayo que parte de I hasta la circunferencia, cumpliéndose IT x IT = K²   .Por lo que IT es  K.  Todos los puntos situados a la misma distancia del centro de inversión que este punto T, son dobles. A este lugar geométrico se le llama Circunferencia de Autoinversión o de Puntos Dobles (CPD). Es decir, la circunferencia de autoinversión tiene por centro I y por radio IT, siendo T el punto de tangencia desde I a la circunferencia de puntos inversos, e IT  la raíz de la potencia de inversión,"k". Cualquier punto de la circunferencia de autoinversión (en rayitas rojas en la imagen inferior), tienen su imagen no sólo en ella, sino coincidente con el punto original. Los puntos diametrales de la circunferencia de autoinversión, son inversos.

• Inversión positiva o negativa

Si un punto y su inverso están al mismo lado del centro de inversión, la inversión es positiva y hay circunferencia de autoinversión.
       
Si  el centro de inversión está entre un punto y su inverso, la inversión es negativa  y no hay puntos dobles.

Es una transformación homográfica (conserva la naturaleza), conforme (conserva las relaciones angulares), involutiva (o reversible), con centro ( con el que están alineados un punto y su inverso).

Estudiaremos la inversión de puntos, de rectas y de circunferencias.

Inversión de Puntos

La inversión es un producto de distancias orientado, es decir, consideramos si el vector con origen en I y extremo en P tiene el mismo sentido o sentido opuesto que el vector con origen en I extremo en P'.

Si el punto P y su inverso P' están al mismo lado respecto del centro de inversión, la potencia de inversión es positiva. En este caso, la circunferencia de centro I y radio la raíz de la potencia, sí es de autoinversión (de puntos dobles). La construcción del inverso de P respecto respecto al centro de inversión I se puede verse como una aplicación práctica del teorema del cateto y la circunferencia de autoinversión.

Si el centro de inversión I está entre P y su inverso P', la potencia de inversión es negativa. En este caso, la circunferencia de centro I y radio k (raíz de la potencia de inversión), no es de autoinversión (no es de puntos dobles). Aplicando el teorema de la altura determinaremos pares de puntos inversos.

Inversión de Rectas 

Si la recta pasa por el centro de inversión
La inversión de una recta que contiene al centro de inversión, es la propia recta. Dicho de otro modo, toda recta que pase por el centro de inversión es invariante.

Si la recta NO pasa por el centro de inversión
La inversa de una recta que no contiene al centro de inversión es una circunferencia que lo contiene.

Sea una recta r que no pase por el centro de inversión I. Y sea P el pie de la perpendicular desde I a r y P' el inverso de P.
De cualquier otro punto Q perteneciente a la recta r, su imagen inversa Q' estará en la perpendicular desde P' a la recta IQ, cumpliéndose la semejanza de los triángulos IQ'P' con IPQ (ya que tienen dos ángulos iguales, uno recto y otro compartido). Por tanto se cumple la relación siguiente entre sus lados: IQ / IP = IP' / IQ'
Dicho de otro modo: IP x IP'  = IQ x IQ'
Y esto es así para cualquier punto de r, resultando que el lugar geométrico de todos los puntos inversos de la recta definen una circunferencia. Q' es el vértice del ángulo recto del triángulo rectángulo cuyos lados pasan por los puntos I y P'. El lugar geométrico de los vértices del ángulo recto cuyos lados pasan por un par de puntos fijos, es decir, el arco capaz del segmento IP' bajo el ángulo de 90º, es una circunferencia. Podemos decir, que la inversa de la recta r, es la circunferencia de diámetro IP', siendo P' el inverso del pie P de la perpendicular a r desde I.

Inversión de Circunferencias

Si la circunferencia contiene al centro de inversión
Conocemos el centro de inversión, la circunferencia de autoinversión y un punto P.
Queremos hallar la inversa de una circunferencia que pase por I y por P.
El punto P' inverso de P estará en la intersección de la tangente a la circunferencia de autoinversión con la prolongación de IP.

El inverso Q' de cualquier otro punto Q de la circunferencia estará en la intersección de la recta IQ con la perpendicular por P' a la recta IP.

Como la inversión es una transformación involutiva se cumple:

• La inversa de una recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que pasa por él y con centro en la perpendicular desde el centro de inversión a dicha recta.
• La inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión, es una recta que no pasa por él, de dirección perpendicular al diámetro que contiene al centro de inversión.

Si la circunferencia no contiene al centro de inversión

Su inversa es otra circunferencia, siendo el centro de inversión, el centro de homotecia que las relaciona.

El Inverso O' del centro O de una circunferencia c que no pasa por el centro de inversión, es el pie de la polar O'T' del centro de inversión respecto de la circunferencia inversa c'

Conformidad de la inversión

Una transformación es conforme, si el ángulo que forman dos elementos, es el mismo que el ángulo que forman los elementos transformados.
La inversión es una transformación conforme como demostramos mediante el antiparalelismo entre las rectas que unen dos puntos y sus inversos, resultando que dos puntos y sus inversos son concíclicos. Dicho de otro modo:

Las rectas que unen cuatro puntos de una circunferencia, son antiparalelas dos a dos.

Suponemos una curva que pasa por dos puntos P y Q. El segmento que los une es una cuerda de la curva. Si hacemos coincidir P y Q, la cuerda se convierte en la tangente a la curva y así, el ángulo que forma esta tangente con la recta que contiene al punto y su inverso, es el mismo que el que forma con la tangente a la curva inversa.
Una curva y su inversa forman el mismo ángulo con la recta que une cada par de puntos inversos.

Aplicando este razonamiento con dos curvas, y sus respectivas inversas, el ángulo que forman sus tangentes entre sí con el que forman las tangentes a las curvas inversas entre sí, son iguales:

Conformidad en la inversión: El ángulo que forman dos curvas es el mismo que el que forman sus curvas inversas.

Determinar una inversión
 1. Dado el Centro de Inversión I y un par de puntos inversos P, P', determinar el punto inverso de Q. 

Sabemos que: 

puntos inversos están alineados con el centro de inversión y que.

dos puntos y sus inversos son concíclicos,

Por la primera condición Q' estará en la recta IQ.
Por la segunda condición Q' estará en la circunferencia c que pasa por los puntos P, P' y Q, que tiene su centro C en la intersección de las mediatrices de las cuerdas PP' y PQ y por radio CQ.
Por tanto, Q' estará en la intersección de IQ con la circunferencia c.

2. Dado el Centro de Inversión I y el valor de la inversión IT, determinar el punto inverso de P.

Sabemos que: 

Puntos inversos están alineados con el centro de inversión .

La circunferencia de autoinversión  es ortogonal a la circunferencia de inversión que contiene a un punto cualquiera y su inverso.  Esto significa que las respectivas tangentes son ortogonales entre sí y T es el punto de intersección. Es decir, la perpendicular al radio IT por T tiene la dirección del radio de la circunferencia de inversión.

Por la primera condición P' estará en la recta IP.

Por la segunda condición, el centro C de la circunferencia de inversión, está en la intersección de la mediatriz de la cuerda PT con la perpendicular a IT por T.

Por tanto P' estará en la intersección de la circunferencia de inversión con IP.

3. Dados dos pares de puntos inversos P, P', Q, Q', determinar el punto inverso de R.

Sabemos que:

• El centro de inversión I está en la intersección de las rectas PP' con QQ'.
• Dos pares de puntos inversos son concíclicos (están en la misma circunferencia c).
• Un punto y su inverso están alineados con el centro de inversión

Por tanto, el inverso de R se encontrará en la intersección de I con la circunferencia de inversión c.

Transformaciones: tipos

Transformaciones geométricas son las operaciones geométricas que permiten crear una figura nueva a partir de una previamente dada.

Tipos de transformaciones

Según el resultado,  la transformación es :

• Homografía: El elemento obtenido es de igual naturaleza
• Correlación: El elemento obtenido es de cualquier  naturaleza, siempre distinta a la original

Según la operación, las transformaciones son:

• Traslación
• Giro
• Simetría
• Inversión
• Afinidad
• Homotecia

Parámetros y restricciones del elemento a transformar

Esto significa estudiar los grados de libertad de cada elemento y las restricciones que se imponen.

Para realizar la transformación adecuadamente, es necesario determinar una serie de parámetros o restricciones, que son las que determinan y definen las características propias de cada transformación.

Por ejemplo, para definir una traslación podemos indicar:

• Una dirección y un módulo o distancia entre un punto y su transformado, o bien
• Cuatro coordenadas (en el plano), siendo dos las del punto y las otras dos las del transformado.

Propiedades de la transformación

Ya estudiamos la relaciones geométricas fundamentales: igualdad, equivalencia, proporcionalidad y semejanza. Estas relaciones serán estudiadas entre las figuras originales y las transformadas, destacando:

• Definición de la transformación
• Semejanza (mantiene la forma)
• Paralelismo (mantiene la dirección)
• Conformidad (mantiene los ángulos)
• Involución (al aplicar la transformación al elemento tranformado, da el original)

Transformaciones: Ejercicio inversión

Determinar los inversos de los puntos P y Q en una inversión en la que se conoce el centro (I) y otro par de puntos inversos (M-M'). Utilizar una construcción diferente para determinar cada punto.
Justificar (razonar) geométricamente la construcción empleada.

1) Sabemos que:

• P' estará en la recta IP
• Dos pares de puntos inversos entre sí, son concíclicos. Por tanto P' estará en esa circunferencia de inversión, cuyo centro C está en la intersección de las mediatrices de las cuerdas MM' y MP.

     Por tanto P' estará en la intersección de la recta IP y la circunferencia de puntos inversos c.

2) Con el mismo razonamiento obtenemos el  inverso Q' del punto dado Q.

• Pero otro razonamiento sería que dos puntos P y Q y sus puntos inversos P' y Q' determinan rectas antiparalelas. De modo que conocemos el ángulo que forman entre sí las rectas y son iguales dos a dos. Así podemos determinar en la intersección con la recta IQ, la posición del punto inverso Q'.

Homotecias (0)

La homotecia es una transformación homográfica, afín y con centro, que determina figuras semejantes a una dada, cuyos elementos homólogos son paralelos y cuyos ángulos son conformes. NO es involutiva y NO puede tener elementos dobles, salvo el centro.

La homotecia se basa en el concepto de semejanza (misma forma y diferente área). Pero si en la Potencia, los puntos de la terna pertencían a la misma forma (circunferencia), ahora los puntos de esta terna pertenecen a distintas formas, formas homotéticas.

Dadas dos figuras (circunferencias)  semejantes, un par de puntos homólogos "P" y "P'" y un centro de homotecia "H", el cociente de las distancias del centro de homotecia al primer punto, entre la distancia del centro de homotecia al segundo punto, es constante y se denomina "razón de homotecia"

HP / HP' = HQ / HQ'  = HT / HT' = K

• En una homotecia, un punto y su transformado están alineados con el centro de la homotecia.
• Si suponemos que dos circunferencias son homotéticas, los puntos situados sobre radios paralelos deben ser homólogos. 
• Dependiendo del sentido del radio, tendremos transformaciones de razón positiva (los dos radios en el mismo sentido) o negativa (diferente sentido). Los centros positivo (H+) y negativo (H-) deben encontrarse sobre las rectas que unen cada par de puntos homólogos, así como en la línea que une los centros de las circunferencias.

• Cuando las circunferencias son tangentes entre sí, el punto de tangencia es uno de los dos centros de homotecia.

Aplicaciones a problemas de tangencias
Una de las posibles aplicaciones de homotecias es determinar circunferencias tangentes.

• Problema 1. Determinar las circunferencias tangentes a dos rectas  dadas y que una de ellas pase por un punto P.
• Solución 1. La homotecia es la transformación  con centro tal que está alineado con un punto y su transformado y puntos de circunferencias homotéticas están en radios paralelos . 

El centro de transformación es H.
Una circunferencia cualquiera tangente a las dos rectas dadas, tendrá su centro en la bisectriz del ángulo formado por las rectas.

Los puntos homotéticos están alineados con el centro de homotecia, por lo que la intersección de la recta HP con la circunferencia tangente anterior, determina el punto homotético P' homólogo con P. 

Por último, como los radios por puntos homólogos de circunferencias homotéticas son paralelos entre sí, podemos obtener la circunferencia buscada.