Inversiones. Fundamentos, ejercicios, visualización.

Esta entrada tiene tres partes: Fundamentos, Ejercicios y Visualización-aplicaciones.

Fundamentos

Invariantes

Las inversiones son transformaciones geométricas con las siguientes características o invariantes: 

• IPP'. Las inversiones tienen un centro de inversión I  con el que están alineados cada punto de una figura y su inverso en la figura inversa.
• cc'. Dos pares de puntos inversos son concíclicos. Las inversiones tienen infinitas circunferencias de inversión c', formadas por puntos cuyos inversos están en la misma circunferencia. La circunferencia de inversión es siempre inversa de sí misma, pero no contiene más puntos dobles que los de tangencia desde el centro de inversión. 
• La inversión cumple relaciones angulares de antiparalelismo y conformidad.
• k=cte. La potencia de inversión es constante. La inversión se basa en la potencia (producto de distancias mayor por menor del centro de inversión a un punto y a su inverso). La potencia de inversión es constante, por lo que a mayor distancia del centro de inversión a un punto, menor debe ser la distancia del centro de inversión al inverso del punto. Dichas distancias son iguales cuando el punto coincida sobre su inverso (P=P'); esto ocurre cuando el punto es el de tangencia desde el centro de inversión a la circunferencia de inversión (T=T'). El segmento IT es la raíz k de la potencia de inversión, característica que la define. Si la potencia de inversión es positiva, los puntos inversos están al mismo lado del centro de inversión, el cual será exterior a las circunferencias de inversión; si la potencia de inversión es negativa, los puntos inversos están a distinto lado del centro de inversión, que será interior a las circunferencias de inversión y no habrá puntos dobles; si la potencia de inversión es nula, el centro de inversión está sobre la circunferencia de inversión.
• Circunferencia de autoinversión: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del centro de inversión, una distancia constante igual a la raíz de la potencia de inversión k=IT. Sólo hay una circunferencia de autoinversión. Cuando la inversión es positiva la circunferencia de autoinversión está formada por puntos dobles (un punto y su inverso se superponen T=T'). 
• Se conserva la incidencia. Si dos elementos son tangentes o se cortan en un punto P, sus inversas serán también tangentes o se cortarán en el punto inverso P'. 

Principales características de las inversiones

(invariantes métricos y proyectivos)

La inversión queda definida, bien si conocemos I, A, A' (el centro de inversión y un par de puntos inversos). O también si conocemos, sólo, I, k (la circunferencia de autoinversión única para cada inversión, de centro I y de radio la raíz k de la potencia de inversión). Para dibujar esta circunferencia de autoinversión, basa averiguar el segmento tangente desde el centro de inversión a cualquiera de las infinitas circunferencias de inversión cc' que pasan por el par de puntos dados A y A'. La siguiente imagen dinámica lo demuestra:

Imagen interactiva. Dale al play o pincha y arrastra el centro CC' de la 
circunferencia cc' de inversión sobre la mediatriz m de AA'. 

Comprobarás que el segmento tangente IT mide siempre lo mismo, independientemente de la circunferencia cc' que hayas elegido. Es decir, la potencia de inversión es constante; la circunferencia de autoinversión es única (define la transformación) y hay infinitas circunferencias cc' de inversión.

Los casos tipo a estudiar son:

• Inversión positiva IPP': Pares de puntos inversos están al mismo lado del centro de inversión; el centro de inversión I es exterior a las circunferencias de inversión cc'; los puntos de la circunferencia de autoinversión son dobles; la circunferencia de inversión y la de autoinversión son ortogonales; se cumple el teorema del cateto.
• Inversión negativa PIP': Puntos inversos están a distintos lados del centro de inversión; el centro I de inversión es interior a las circunferencias de inversión, que a su vez, son diametrales de la de autoinversión y se cumple el teorema de la altura.
• La inversa de una recta que pasa por I, es ella misma. 
• La inversa de una recta que NO pasa por I, es una circunferencia que sí pasa, siendo el diámetro que contiene al centro de inversión I, ortogonal a la recta. El otro extremo de dicho diámetro es el inverso P' del pie P con la recta.
• La inversa de una circunferencia que pasa por I  es una recta que no pasa, ortogonal al diámetro que pasa por I. Tiene su pie en el inverso del otro extremo de dicho diámetro.
• La inversa de una circunferencia que NO pasa por I es una circunferencia homotética de la anterior, con centro de homotecia coincidente con el centro de inversión.  Los centros de circunferencias inversas son homotéticos, pero no inversos entre sí. El inverso del centro de una de las circunferencias está en el pie de la polar de la otra circunferencia respecto a I.

Principales casos de inversión 

Enunciado (datos I, k), Análisis, Solución.

Principales casos de inversión 

Enunciados (datos I, A, A')

Principales casos de inversión

Enunciado (datos I, A, A'), Análisis, Solución

Imagen interactiva. 
Dale al "play" de la esquina inferior izquierda, 

o pincha y arrastra el punto Q sobre la recta r.

Verás que todos los puntos inversos Q' de los puntos Q de la recta conforman una circunferencia r' que pasará siempre por el centro de inversión I y que tiene por diámetro IP', perpendicular a r.

Piziadas nos indica 5 razonamientos de geometría métrica que permiten determinar el inverso A' de un punto A, conocidos el centro de inversión I y un punto doble T=T':

• Teorema del Cateto, 
• Arco Capaz, 
• Potencia, 
• Antiparalelismo, 
• Inverso de un segmento que no pasa por I.

Encontramos muchos otros ejercicios para resolver y ayudarnos a interiorizar estos conceptos. Piziadas nos plantea los siguientes 6 ejercicios de inversión:

Enunciados

Análisis

Ejercicios

Ejercicios de determinación de elementos con condiciones angulares. La condición de "paso por un punto" nos permite realizar una inversión con centro ese punto

Este enlace nos plantea ejercicios de inversiones de circunferencias que mostramos a continuación:

Enunciados

Análisis y Soluciones

Y más ejercicios que encontramos :

Enunciados

Análisis, Soluciones

Visualización. Aplicaciones para cartografía.

Durante el Máster nos mostraron un interesante vídeo. Ya lo puse en otra entrada, pero lo inserto aquí otra vez, no sólo por lo bonito que es, sino porque ayuda a comprender y visualizar las inversiones :

Las transformaciones de Moebius se encuentran entre los "mapeos" más importantes en Geometría, con aplicaciones desde el cerebro hasta la teoría de la relatividad. Una transformación de Moebius hace corresponder un punto del plano con otro. Hay cuatro tipos: Traslaciones simples, escalado, rotación, inversión que vuelve el plano de adentro hacia afuera. Las líneas en el plano siguen siendo líneas o se transforman en círculos y los ángulos rectos permanecen igual. En general, una transformación de Moebius puede ser una combinación de los cuatro efectos. El verdadero significado de las transformaciones de Moebius se revela moviéndose a la siguiente dimensión. Siguiendo el ejemplo de Bernhard Riemann, colocamos una esfera sobre el plano. Una luz en la parte superior brilla a través de la superficie esférica iluminando el plano. A medida que la esfera se mueve, los puntos del plano, la siguen. Cuando la esfera se mueve, también lo hace el plano. Levantando la esfera, se obtiene el escalado. Si gira la esfera, el plano gira. La rotación alrededor de un eje horizontal corresponde a la inversión (min.2.00). Incluso las transformaciones de Moebius más complicadas se revelan como simples movimientos de la esfera.

Encontré un pdf que relacionaba las inversiones con la cartografía. De las propiedades de la inversión en el plano, se obtienen propiedades análogas para la inversión en el espacio:  Una esfera que pasa por el centro de inversión, se transforma en un plano paralelo al plano tangente a la esfera en el centro de inversión. Esto ha dado origen a la proyección esterográfica (W) empleada en cartografía y a instrumentos gráficos como el astrolabio. La proyección estereográfica es un sistema de representación gráfico en el cual se proyecta la superficie de una esfera, desde un punto, sobre un plano o sobre una superficie de revolución, cilíndrica o cónica, tangente a la esfera. Mercator fue el primer cartógrafo en emplear este sistema de proyección en el siglo XVI, dando origen al primer mapa donde se podían trazar rumbos náuticos con líneas rectas, calculando correctamente las distancias.

Proyección cilíndrica o de Mercator (W) (la superficie de proyección es un cilindro tangente): Es una de las más utilizadas en cartografía y mapasmundis, aunque modificada, porque distorsiona bastante las zonas de latitud elevada, lo que a su vez, impide representar dichas regiones en su verdadera proporción.

Proyección Cónica (W) (la superficie de proyección es un cono tangente a la esfera que queremos proyectar)

Proyección azimutal (W) (la superficie de proyección es un plano tangente a la esfera y el centro de proyección es diametralmente opuesto al punto de tangencia). Si el centro de proyección está en un polo de la esfera (supongamos la Tierra esférica y el polo Norte), los  meridianos son líneas rectas y los paralelos son círculos concéntricos. Si el centro de proyección está en el ecuador, sólo son líneas rectas el meridiano central y el ecuador. Se utiliza para representar la esfera celeste en astronomía o en arquitectura e ingeniería para realizar planos de soleamiento y sombras determinando la posición del Sol a lo largo del año.

Proyección cartográfica cilíndrica, cónica, acimutal gnomónica y proyección estereográfica 

Fuente principal de estudio 

• Piziadas. Dibujo. Geometría Métrica. Transformaciones geométricas. Inversión en el plano.
• Piziadas. Dibujo. Geometría Métrica. Transformaciones geométricas. Inversión de un punto. 10 construcciones para su obtención
• Piziadas. Dibujo. Geometría Métrica. Transformaciones geométricas. Inversión. Tabla de gimnasia mental para transformación de elementos.
• Piziadas. Dibujo. Geometría Métrica. Transformaciones geométricas. Inversión. Tabla de gimnasia mental para determinación de elementos con condiciones angulares.

Con los ejercicios presentados hay un buen repertorio para practicar e ir asentando conceptos. En próximas entradas estudiaremos más aplicaciones de las inversiones para resolución de problemas de tangencias y angulares, inversión de haces de circunferencias y determinación de elementos con condiciones angulares, entre otros, que nos ofrece Piziadas. 

Otras fuentes de apoyo

Y estos son otros enlaces con más ejercicios aún:

• Trazoide. Índice de ejercicios de inversión.
• Néstor Martín Gulias. Tangencias por inversión.
• IES Sánchez Cantón. Dibujo Técnico II. 2º Bach. Transformaciones geométricas anamórficas. Inversión (de este enlace he sacado la relación de las inversiones con los mapas)

Inversiones

Las inversiones son transformaciones geométricas, es decir, operaciones geométricas por las cuales una figura, se convierte en otra llamada homóloga, en este caso "inversa". Conviene conocer los invariantes métricos y proyectivos de las transformaciones para ayudarnos a resolver ejercicios.
                                                      
                                                 

Vamos a ir viendo las principales características de las inversiones.

• Centro (IPP'). Son transformaciones con centro, es decir, un par de puntos homólogos P y P' están alineados con el centro de inversión, I, los tres pertenecen a la misma recta.

• Concíclicos (c=c'). Pares de puntos inversos pertenecen a la misma circunferencia c, llamada también circunferencia de inversión c', por contener a todos los puntos inversos de los puntos que la forman.

• Antiparalelismo y conformidad. Ambas características son relaciones angulares. 

Un par de rectas son antiparalelas (W) respecto a otro par de rectas, si la bisectriz del ángulo que forma el primer par, es perpendicular a la bisectriz del ángulo formado por las otras dos -la simetría de una de las rectas respecto a la bisectriz del otro par de rectas, da una paralela a la otra recta del primer par; además el cuadrilátero formado por las intersecciones de dos pares de rectas antiparalelas, es cíclico. Las rectas que unen un par de puntos y sus inversos son antiparalelas de las que unen dos pares de puntos inversos con el centro de inversión.  

 Transformaciones conformes son aquellas que preservan los ángulos, es decir, el ángulo que forman dos rectas, será igual que el que forman las rectas transformadas.

• Potencia. Las inversiones se basan en el concepto de potencia. Llamamos potencia de inversión K² al producto de la distancia desde el centro de inversión I a un punto P por la distancia de I al punto inverso de P, P'. Este producto es constante: 

IP · IP' = IQ · IQ' = K² 

Que ese producto sea constante significa  que cuanto mayor es la distancia del centro de inversión a un punto, menor será la distancia de I al inverso de dicho punto. Existe una distancia para la cual, las dos distancias son iguales. Esa distancia es la raíz k de la potencia de inversión K², entre el centro de inversión y el punto T de tangencia desde I a la circunferencia de inversión cc' de dos pares de puntos inversos cualesquiera. 

El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan esa distancia k, raíz de la potencia de inversión, del centro de inversión, es una circunferencia llamada circunferencia de autoinversión.

Vamos a estudiar 6 casos:

1.- Inverso de un punto cuando la potencia de inversión es positiva.

2.- Inverso de un punto cuando la potencia de inversión es negativa.

3.- Inversa de una recta que pasa por el centro de inversión.

4.- Inversa de una recta que no pasa por el centro de inversión.

5.- Inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión.

6.- Inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión.

• 1.- Cuando la potencia de inversión es positiva:

• IPP': Los pares de puntos inversos están al mismo lado del centro de inversión
• T=T': Los puntos de la circunferencia de autoinversión son dobles (CPD) 
• CPD  perpendicular cc': la circunferencia de puntos dobles y la de inversión son ortogonales
• Teorema Cateto: Podemos aplicar el teorema del cateto.

• 2.- Cuando la potencia de inversión es negativa:

• PIP': Los puntos inversos están a distintos lados del centro de inversión.
• T diametral a T': La circunferencia de autoinversión son tiene puntos inversos diametralmente.
• La circunferencia de autoinversión es diametral con la circunferencia de inversión
• Teorema Altura: Podemos aplicar el teorema de la altura.

• 3.- La inversa de una recta que pasa por el centro de inversión I es la misma recta: r=r', tanto si la inversión es positiva como si es negativa; los puntos inversos de una recta que pasa por el centro de inversión I, están sobre la misma recta. 

• 4.- La inversa de una recta que NO pasa por el centro de inversión, es una circunferencia que sí pasa por él, cuyo centro está en la perpendicular a la recta desde I y por diámetro tiene IP'.

La imagen es interactiva. Pincha en el punto Q y mantén pinchado para deslizarlo sobre la recta r. 

Verás que los puntos inversos de Q van dibujando la circunferencia r', inversa de la recta r dada, cuyo centro está en la perpendicular a r desde I y cuyo diámetro tiene por extremos I y P', inverso de P (pie de la perpendicular de I a r).

En el siguiente ejemplo, se pide determinar la inversa de una recta r dada, conociendo un par de puntos inversos AA'.

La inversa de una recta que no pasa por I, es una circunferencia que sí pasa, cuyo centro está en la perpendicular a la recta desde I. Así, eso es lo primero que hacemos, una recta perpendicular a r, desde I.

Cualquier punto de la recta tendrá su inverso en la circunferencia buscada. Tomamos un punto cualquiera de r, el B. Su inverso B' estará en la circunferencia que pasa por A y A'.

B' debe estar en la circunferencia inversa de r, y sabemos que su centro está en la recta perpendicular a r por I, por tanto, la mediatriz de IB', cuerda de la circunferencia, nos dará la solución.

• 5.- De manera análoga al caso anterior, la inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por él y que es perpendicular a la dirección del diámetro que contiene al centro de inversión I.

• 6.- La inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia, homotética de la anterior, con centro de inversión el centro de homotecia que las relaciona y potencia de inversión la potencia entre la razón de homotecia. El inverso O' del centro O de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión, es el pie de la polar del centro de la circunferencia inversa.

Una inversión puede venir definida de tres formas:

• I, A, A': Dado un centro de inversión y un par de puntos inversos.
• I, K: Dado el centro de inversión y la potencia de inversión.
• A, A', B, B': Dados dos pares de puntos inversos no alineados.

• I, A, A': Dado un centro de inversión y un par de puntos inversos.

Pares de puntos inversos son concíclicos.

Un punto y su inverso están alineados con el centro de inversión.

• I, K: Dado el centro de inversión y la potencia de inversión.

                                            

Un par de puntos inversos están alineados con el centro de inversión.

La circunferencia de autoinversión es de puntos dobles cuando la inversión es positiva y se cumple el teorema del cateto.

El inverso de A se puede obtener también resolviendo la inversión con cualquier punto de la circunferencia de autoinversión.

• A, A', B, B': Dados dos pares de puntos inversos no alineados.

Visualización de las transformaciones

Una de las mayores dificultades para la comprensión de algunos conceptos es carecer de un modelo visual.
En la mayoría de aplicaciones de modelado 3D, encontramos una serie de iconos, que de igual modo que en una calculadora, por ejemplo el botón de raíz cuadrada, realiza todas las operaciones y nos da el resultado con sólo pulsarlo, nos ofrecen una representación visual, un modelo 3D.

Nos es fácil imaginar una traslación o un giro, pero la homotecia o la inversión, no son tán fáciles de comprender.

• La traslación es un desplazamiento lineal.
• El giro es el cambio de ángulo respecto a un centro determinado.
• La homotecia equivale a escalar un objeto, cambiar su tamaño manteniendo la forma.
• La simetría equivale al reflejo en un espejo.
• La inversión equivale, por decirlo de manera comprensible, a dar la vuelta a la forma. Como ver la parte oculta de la pieza, como mostrar el otro lado de una prenda reversible, el "inside-out". Lo que es la inversión lo podemos comprender mejor, en el siguiente vídeo.

[1]

Transcripción y traducción del audio del vídeo.

• Obtener el desarrollo de la forma del objeto se puede obtener en los programas 3D con el modificador UVW map, que adapta la apariencia del material elegido a una forma determinada (plana, cúbica, cilíndrica, esférica, etc).

Comprender estos conceptos geométricos es importante para el desarrollo de todo alumno del área de Expresión Gráfica, porque aprender Geometría, no consiste en localizar el botón que nos resuelva estas operaciones de transformación geométrica. Aprender Geometría conlleva saber analizarlas para comprender los mecanismos de la propia Naturaleza y de múltiples campos que requieren del dibujo, como la Arquitectura, cualquier Ingeniería o las Bellas Artes.


[1] Transcripción y traducción del audio del vídeo:

Möbius transformations are among the most fundamental mappings in Geometry with applications from brain mapping to relativity theory. A Möbius transformation sends each point on the plane to a corresponding point. They're built from four basic types: The simple translations; dilations; rotations; and inversions which turn the plane inside-out. Lines on the plane either remain lines or transform to circles and right angles stay true. In general a Möbius transformation can be a complicated combination of all four effects. The true unity of Mobius transformations is revealed by moving into the next dimension. Taking a cue from Bernhard Riemann we place a sphere above the plane. A light at the top shines through the spherical surface illuminating the plane. As the sphere moves, the points on the plane followed. When the sphere translates, so does the plane. Raising the sphere give dilation. Spin the sphere like a top and the plane rotates. Rotation about a horizontal axis corresponds to inversion. Even the most complicated Mobius transformations are revealed to be simple motions of the sphere. 

 Las transformaciones de Moebius se encuentran entre los "mapeos" más fundamentales en Geometría, con aplicaciones desde el cerebro hasta la teoría de la relatividad. Una transformación de Moebius hace corresponder un punto del plano con otro. Hay cuatro tipos: Traslaciones simples, escalado, rotación, inversión que vuelve el plano de adentro hacia afuera. Las líneas en el plano siguen siendo líneas o se transforman en círculos y los ángulos rectos permanecen igual. En general, una transformación de Moebius puede ser una combinación de los cuatro efectos. El verdadero significado de las transformaciones de Moebius se revela moviéndose a la siguiente dimensión. Siguiendo el ejemplo de Bernhard Riemann, colocamos una esfera sobre el plano. Una luz en la parte superior brilla a través de la superficie esférica iluminando el plano. A medida que la esfera se mueve, los puntos del plano, la siguen. Cuando la esfera se mueve, también lo hace el plano. Levantando la esfera, se obtiene el escalado. Si gira la esfera, el plano gira. La rotación alrededor de un eje horizontal corresponde a la inversión. Incluso las transformaciones de Moebius más complicadas se revelan como simples movimientos de la esfera.