Homotecias

Transformaciones geométricas son operaciones geométricas por las que una figura se convierte en otra. Conviene conocer cuáles son los invariantes métricos y proyectivos de las transformaciones. Vamos a estudiar dos transformaciones de especial importancia: Las homotecias y las inversiones. En esta entrada nos centraremos en las homotecias.

       

La homotecia es una transformación que, a groso modo, consiste en una semejanza con paralelismo. De sus características e invariantes geométricos destacamos:

• homografía (conserva la naturaleza, un punto se transforma en otro punto - si se transforma en otro elemento de distinta naturaleza, la transformación sería una "correlación", por ejemplo, si un punto se transforma en una recta o en un plano), 
• paralelismo (relación angular en que se conserva la orientación de un elemento antes y después de la transformación)
• conformidad (relación angular tal que el ángulo entre dos elementos es el mismo que el ángulo entre los elementos transformados), 

• con centro H. Un punto P y su transformado P' están alineados con el centro de homotecia H)
• razón de homotecia k constante (la homotecia se basa en el Teorema de Thales). El cociente de la distancia del centro de homotecia H a un punto P entre la distancia de H al homólogo P' de P, es constante y se denomina razón de homotecia, k. Es decir, en lenguaje de Geometría Proyectiva, un centro de homotecia y un par de puntos homólogos constituyen una terna (HPP').

HP / HP' = HQ / HQ'  = HT / HT' = k 

• (HCC') Los centros de circunferencias homotéticas, son homólogos y están alineados con H.
• En circunferencias homotéticas,  puntos sobre radios paralelos deben ser homólogos.
• La homotecia es útil en ejercicios de áreas, tangencias e inversiones.

De los problemas y aplicaciones de las homotecias que se pueden presentar, analizamos tres:

Enunciados:

• 1. Dados el centro de homotecia H y una circunferencia c , determinar una circunferencia homotética
• 2. Dadas dos rectas r y s y un punto P del mismo plano, determinar la circunferencia que pasa por P y es tangente a las rectas.
• 3. Dadas dos circunferencias, determinar los centros de homotecia.

Enunciados.

Análisis

• 1. Circunferencias homotéticas tienen sus centros alineados con el centro H de homotecia (HCC') y cualquier par de puntos homólogos están en radios paralelos (HTT') . El arco capaz de 90º entre el centro de homotecia H y el centro de la circunferencia dato C determina el punto T de tangencia de las rectas que pasan por H y son tangentes a la circunferencia. La dirección CT, perpendicular a dicha tangente, es la de los radios de circunferencias homotéticas. Una perpendicular por cualquier punto T' de la tangente cortará a la recta de los centros, en el de una de las soluciones. 

• 2. Las tangentes comunes de circunferencias homotéticas, pasan por el centro de homotecia. Consideramos la intersección de las rectas como el centro de homotecia H. Nos servimos de una circunferencia homotética cualquiera auxiliar tangente a las rectas (con centro en la bisectriz del ángulo que éstas forman); su intersección con la recta HP determina dos puntos P'1 y P'2. Las paralelas por P a los radios C'P' cortan a la bisectriz de las rectas, en los centros de las soluciones buscadas. Circunferencias homotéticas tienen cualquier par de puntos alineados con el centro de homotecia y en radios paralelos. 

• 3. Podemos distinguir 5 casos: las circunferencias pueden ser exteriores, tangentes exteriores, secantes, tangentes interiores, interiores. En todos los casos, el centro de homotecia H está alineado con cualquier par de puntos homotéticos. Los centros de las circunferencias son homotéticos: en la recta que los une estarán los centros de homotecia. Otros dos puntos homotéticos están en la intersección, con sendas circunferencias, de un par de rectas paralelas entre sí que pasen por los centros de las circunferencias: la recta que los une, en la intersección con la recta de los centros de las circunferencias, determinará el respectivo centro de homotecia: H+ ( si A y A' al mismo lado de H) y H- (si A y A' a distinto lado de H). Un centro de homotecia de circunferencias tangentes, es el punto de tangencia.

Análisis

Soluciones.

• 1. Hay infinitas soluciones c', según el punto T' que elijamos en la recta tangente. La solución es un haz de circunferencias de recta base la recta de centros HC y de eje radical la recta tangente HTT'.
• 2. Hay dos soluciones, c1 y c2, según cuál tomemos como punto homotético de P, P'1 o P'2.
• 3. Hay dos soluciones, H+ y H-, según la inversión sea positiva (A y A' al mismo lado del centro de homotecia) o negativa (A y A' a distinto lado del centro de homotecia). Cuando las circunferencias son tangentes, uno de los centros de homotecia coincide con el punto de tangencia, como vemos en las imágenes.

Soluciones 1 y 2.

Solución 3. 
Imágenes interactivas. Pincha en el icono Play 
de la esquina inferior izquierda. Verás cómo, 
para cualquier posición de un par de puntos homólogos:

•  los segmentos verdes (radios de circunferencias homotéticas) mantienen su paralelismo, independientemente de su orientación.
• los centros de homotecia positivo H+ y negativo H- permanencen fijos. 

Esto sucede porque la razón de homotecia es constante. Nos basamos en Thales y en el concepto de semejanza entre los triángulos que se forman.  

Inversiones. Fundamentos, ejercicios, visualización.

Esta entrada tiene tres partes: Fundamentos, Ejercicios y Visualización-aplicaciones.

Fundamentos

Invariantes

Las inversiones son transformaciones geométricas con las siguientes características o invariantes: 

• IPP'. Las inversiones tienen un centro de inversión I  con el que están alineados cada punto de una figura y su inverso en la figura inversa.
• cc'. Dos pares de puntos inversos son concíclicos. Las inversiones tienen infinitas circunferencias de inversión c', formadas por puntos cuyos inversos están en la misma circunferencia. La circunferencia de inversión es siempre inversa de sí misma, pero no contiene más puntos dobles que los de tangencia desde el centro de inversión. 
• La inversión cumple relaciones angulares de antiparalelismo y conformidad.
• k=cte. La potencia de inversión es constante. La inversión se basa en la potencia (producto de distancias mayor por menor del centro de inversión a un punto y a su inverso). La potencia de inversión es constante, por lo que a mayor distancia del centro de inversión a un punto, menor debe ser la distancia del centro de inversión al inverso del punto. Dichas distancias son iguales cuando el punto coincida sobre su inverso (P=P'); esto ocurre cuando el punto es el de tangencia desde el centro de inversión a la circunferencia de inversión (T=T'). El segmento IT es la raíz k de la potencia de inversión, característica que la define. Si la potencia de inversión es positiva, los puntos inversos están al mismo lado del centro de inversión, el cual será exterior a las circunferencias de inversión; si la potencia de inversión es negativa, los puntos inversos están a distinto lado del centro de inversión, que será interior a las circunferencias de inversión y no habrá puntos dobles; si la potencia de inversión es nula, el centro de inversión está sobre la circunferencia de inversión.
• Circunferencia de autoinversión: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del centro de inversión, una distancia constante igual a la raíz de la potencia de inversión k=IT. Sólo hay una circunferencia de autoinversión. Cuando la inversión es positiva la circunferencia de autoinversión está formada por puntos dobles (un punto y su inverso se superponen T=T'). 
• Se conserva la incidencia. Si dos elementos son tangentes o se cortan en un punto P, sus inversas serán también tangentes o se cortarán en el punto inverso P'. 

Principales características de las inversiones

(invariantes métricos y proyectivos)

La inversión queda definida, bien si conocemos I, A, A' (el centro de inversión y un par de puntos inversos). O también si conocemos, sólo, I, k (la circunferencia de autoinversión única para cada inversión, de centro I y de radio la raíz k de la potencia de inversión). Para dibujar esta circunferencia de autoinversión, basa averiguar el segmento tangente desde el centro de inversión a cualquiera de las infinitas circunferencias de inversión cc' que pasan por el par de puntos dados A y A'. La siguiente imagen dinámica lo demuestra:

Imagen interactiva. Dale al play o pincha y arrastra el centro CC' de la 
circunferencia cc' de inversión sobre la mediatriz m de AA'. 

Comprobarás que el segmento tangente IT mide siempre lo mismo, independientemente de la circunferencia cc' que hayas elegido. Es decir, la potencia de inversión es constante; la circunferencia de autoinversión es única (define la transformación) y hay infinitas circunferencias cc' de inversión.

Los casos tipo a estudiar son:

• Inversión positiva IPP': Pares de puntos inversos están al mismo lado del centro de inversión; el centro de inversión I es exterior a las circunferencias de inversión cc'; los puntos de la circunferencia de autoinversión son dobles; la circunferencia de inversión y la de autoinversión son ortogonales; se cumple el teorema del cateto.
• Inversión negativa PIP': Puntos inversos están a distintos lados del centro de inversión; el centro I de inversión es interior a las circunferencias de inversión, que a su vez, son diametrales de la de autoinversión y se cumple el teorema de la altura.
• La inversa de una recta que pasa por I, es ella misma. 
• La inversa de una recta que NO pasa por I, es una circunferencia que sí pasa, siendo el diámetro que contiene al centro de inversión I, ortogonal a la recta. El otro extremo de dicho diámetro es el inverso P' del pie P con la recta.
• La inversa de una circunferencia que pasa por I  es una recta que no pasa, ortogonal al diámetro que pasa por I. Tiene su pie en el inverso del otro extremo de dicho diámetro.
• La inversa de una circunferencia que NO pasa por I es una circunferencia homotética de la anterior, con centro de homotecia coincidente con el centro de inversión.  Los centros de circunferencias inversas son homotéticos, pero no inversos entre sí. El inverso del centro de una de las circunferencias está en el pie de la polar de la otra circunferencia respecto a I.

Principales casos de inversión 

Enunciado (datos I, k), Análisis, Solución.

Principales casos de inversión 

Enunciados (datos I, A, A')

Principales casos de inversión

Enunciado (datos I, A, A'), Análisis, Solución

Imagen interactiva. 
Dale al "play" de la esquina inferior izquierda, 

o pincha y arrastra el punto Q sobre la recta r.

Verás que todos los puntos inversos Q' de los puntos Q de la recta conforman una circunferencia r' que pasará siempre por el centro de inversión I y que tiene por diámetro IP', perpendicular a r.

Piziadas nos indica 5 razonamientos de geometría métrica que permiten determinar el inverso A' de un punto A, conocidos el centro de inversión I y un punto doble T=T':

• Teorema del Cateto, 
• Arco Capaz, 
• Potencia, 
• Antiparalelismo, 
• Inverso de un segmento que no pasa por I.

Encontramos muchos otros ejercicios para resolver y ayudarnos a interiorizar estos conceptos. Piziadas nos plantea los siguientes 6 ejercicios de inversión:

Enunciados

Análisis

Ejercicios

Ejercicios de determinación de elementos con condiciones angulares. La condición de "paso por un punto" nos permite realizar una inversión con centro ese punto

Este enlace nos plantea ejercicios de inversiones de circunferencias que mostramos a continuación:

Enunciados

Análisis y Soluciones

Y más ejercicios que encontramos :

Enunciados

Análisis, Soluciones

Visualización. Aplicaciones para cartografía.

Durante el Máster nos mostraron un interesante vídeo. Ya lo puse en otra entrada, pero lo inserto aquí otra vez, no sólo por lo bonito que es, sino porque ayuda a comprender y visualizar las inversiones :

Las transformaciones de Moebius se encuentran entre los "mapeos" más importantes en Geometría, con aplicaciones desde el cerebro hasta la teoría de la relatividad. Una transformación de Moebius hace corresponder un punto del plano con otro. Hay cuatro tipos: Traslaciones simples, escalado, rotación, inversión que vuelve el plano de adentro hacia afuera. Las líneas en el plano siguen siendo líneas o se transforman en círculos y los ángulos rectos permanecen igual. En general, una transformación de Moebius puede ser una combinación de los cuatro efectos. El verdadero significado de las transformaciones de Moebius se revela moviéndose a la siguiente dimensión. Siguiendo el ejemplo de Bernhard Riemann, colocamos una esfera sobre el plano. Una luz en la parte superior brilla a través de la superficie esférica iluminando el plano. A medida que la esfera se mueve, los puntos del plano, la siguen. Cuando la esfera se mueve, también lo hace el plano. Levantando la esfera, se obtiene el escalado. Si gira la esfera, el plano gira. La rotación alrededor de un eje horizontal corresponde a la inversión (min.2.00). Incluso las transformaciones de Moebius más complicadas se revelan como simples movimientos de la esfera.

Encontré un pdf que relacionaba las inversiones con la cartografía. De las propiedades de la inversión en el plano, se obtienen propiedades análogas para la inversión en el espacio:  Una esfera que pasa por el centro de inversión, se transforma en un plano paralelo al plano tangente a la esfera en el centro de inversión. Esto ha dado origen a la proyección esterográfica (W) empleada en cartografía y a instrumentos gráficos como el astrolabio. La proyección estereográfica es un sistema de representación gráfico en el cual se proyecta la superficie de una esfera, desde un punto, sobre un plano o sobre una superficie de revolución, cilíndrica o cónica, tangente a la esfera. Mercator fue el primer cartógrafo en emplear este sistema de proyección en el siglo XVI, dando origen al primer mapa donde se podían trazar rumbos náuticos con líneas rectas, calculando correctamente las distancias.

Proyección cilíndrica o de Mercator (W) (la superficie de proyección es un cilindro tangente): Es una de las más utilizadas en cartografía y mapasmundis, aunque modificada, porque distorsiona bastante las zonas de latitud elevada, lo que a su vez, impide representar dichas regiones en su verdadera proporción.

Proyección Cónica (W) (la superficie de proyección es un cono tangente a la esfera que queremos proyectar)

Proyección azimutal (W) (la superficie de proyección es un plano tangente a la esfera y el centro de proyección es diametralmente opuesto al punto de tangencia). Si el centro de proyección está en un polo de la esfera (supongamos la Tierra esférica y el polo Norte), los  meridianos son líneas rectas y los paralelos son círculos concéntricos. Si el centro de proyección está en el ecuador, sólo son líneas rectas el meridiano central y el ecuador. Se utiliza para representar la esfera celeste en astronomía o en arquitectura e ingeniería para realizar planos de soleamiento y sombras determinando la posición del Sol a lo largo del año.

Proyección cartográfica cilíndrica, cónica, acimutal gnomónica y proyección estereográfica 

Fuente principal de estudio 

• Piziadas. Dibujo. Geometría Métrica. Transformaciones geométricas. Inversión en el plano.
• Piziadas. Dibujo. Geometría Métrica. Transformaciones geométricas. Inversión de un punto. 10 construcciones para su obtención
• Piziadas. Dibujo. Geometría Métrica. Transformaciones geométricas. Inversión. Tabla de gimnasia mental para transformación de elementos.
• Piziadas. Dibujo. Geometría Métrica. Transformaciones geométricas. Inversión. Tabla de gimnasia mental para determinación de elementos con condiciones angulares.

Con los ejercicios presentados hay un buen repertorio para practicar e ir asentando conceptos. En próximas entradas estudiaremos más aplicaciones de las inversiones para resolución de problemas de tangencias y angulares, inversión de haces de circunferencias y determinación de elementos con condiciones angulares, entre otros, que nos ofrece Piziadas. 

Otras fuentes de apoyo

Y estos son otros enlaces con más ejercicios aún:

• Trazoide. Índice de ejercicios de inversión.
• Néstor Martín Gulias. Tangencias por inversión.
• IES Sánchez Cantón. Dibujo Técnico II. 2º Bach. Transformaciones geométricas anamórficas. Inversión (de este enlace he sacado la relación de las inversiones con los mapas)

Tangencias. Problema de Apolonio. Problema Fundamental Tangencias

El problema de Apolonio son 10 casos de estudio de tangencias entre puntos (P), rectas (r) y circunferencias (c), cuyos enunciados serían los presentados en la siguiente imagen:  Conviene hacer observar que los tres elementos (punto, recta y circunferencia), desde el punto de vista proyectivo, son el mismo elemento con diferentes radios (el punto sería una circunferencia de radio nulo y la recta sería una circunferencia de radio infinito).

Enunciados

(En el móvil la imagen se puede ampliar fácilmente; 

en el ordenador, para ampliarla lo suficiente, tendrás que descargar la imagen)

1. PPP. Determinar la circunferencia que pasa por 3 puntos dados.
2. PPr. Determinar las circunferencias que pasa por 2 puntos dados y es tangente a una recta dada.

3. PPc. Determinar las circunferencias que pasa por 2 puntos y es tangente a una circunferencia dada.

4. rrP. Determinar las circunferencias tangentes a dos rectas y que pasen por un punto.

5. rrr. Determinar la circunferencia a tangente a tres rectas dadas.

6. rrc. Determinar la circunferencia tangente a dos rectas y a otra circunferencia dada.
7. ccP. Determinar las circunferencias tangentes a otras dos y que pasen por un punto.
8. ccr. Determinar las circunferencias tangentes a otras dos y a una recta dadas.

9. ccc. Determinar las circunferencias tangentes a otras tres dadas.

10. Prc. Hallar las circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a recta y circunferencia.

El PFT (Problema Fundamental de Tangencias) es un caso concreto del problema de Apolonio en el que se especifica una condición de tangencia y dos de paso, lo que incluye los tres primeros casos. Consiste en determinar la circunferencia que pasa por dos puntos dados y es tangente a una recta o a otra circunferencia. La condición de paso por dos puntos equivaldría a la condición de tangencia siendo uno de los elementos tangentes, un elemento de radio nulo; también equivaldría a la condición de pertenencia a un haz, es decir, el problema se podría plantear como el de determinar las circunferencias del haz definido por dos puntos y que sean tangente a una recta o a otra circunferencia.

Los conceptos de potencia de un punto respecto de una circunferencia, homotecia, inversión y haz de circunferencias, nos permiten analizar y resolver los problemas de tangencia o incidencia entre los distintos elementos, reduciéndolos al llamado Problema Fundamental de Tangencias (PFT).

Análisis

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en el ordenador, para ampliarla lo suficiente, tendrás que descargar la imagen)

Las soluciones las vemos en la siguiente imagen:

Soluciones

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Pero a continuación explicamos más en detalle el proceso de análisis de cada caso.

1. PPP. Toda circunferencia tiene su centro en la intersección de dos mediatrices de dos cuerdas cualesquiera.

2. PPr. La potencia de un punto P respecto a cualquier circunferencia que pase por A y B, alineados con P, es constante.

3. PPc. La potencia de un punto P respecto a cualquier circunferencia que pase por cualquier par de puntos A y B alineados con P, es constante. El punto de tangencia de dos circunferencias está alineado con los centros de las mismas, siendo, en este caso, una la circunferencia dato y la otra la circunferencia solución.

4. rrP. Circunferencias tangentes a dos rectas y que pasen por un punto.

• Punto dentro del ángulo formado por las rectas. El centro de las circunferencias solución estará en la bisectriz del ángulo formado por las rectas. Podemos utilizar homotecias (se considera el punto de intersección de las rectas, como el centro de homotecia, alineado con cualquier par de puntos homotéticos; se toma cualquier circunferencia tangente a las rectas; puntos homotéticos están en radios paralelos entre sí de circunferencias homotéticas). Podemos utilizar haces elípticos de circunferencias (en verde) cuya recta base es la bisectriz; el punto P sería uno de los puntos fundamentales del haz; su simétrico respecto a la bisectriz, el otro; la recta que los une, sería el eje radical del haz y su intersección con una de las rectas dadas, sería el centro radical del haz elíptico y del haz de circunferencias tangentes a las rectas.
• Si el punto pertenece a una de las rectas, resulta que dicho punto es el de tangencia de las circunferencias buscadas. Y por tanto, la intersección de la perpendicular a la recta en la que está el punto, por el punto, con las bisectrices de los ángulos que forman las rectas, determinan los centros buscados.
• Si las rectas son paralelas, el concepto general es el mismo. El centro de las circunferencias solución estará en la bisectriz de ambas rectas, es decir, la recta equidistante de ambas. Y el diámetro de la solución, será la distancia entre ambas. La posición de los centros estará en la intersección de la bisectriz con la circunferencia de centro el punto y diámetro la distancia entre las rectas.

rrP

5. rrr. El centro de las circunferencias buscadas debe estar en las bisectrices interiores de los ángulos que forman las rectas.

6. rrc. Las circunferencias solución tienen su centro en las bisectrices de las rectas. De nuevo, las circunferencias buscadas pertenecen a dos haces: uno, el haz elíptico de recta base la bisectriz de las rectas y eje radical la recta C-SC; el otro haz tiene por eje radical una recta paralela a una de las dadas, separada de ella una distancia igual al radio de la circunferencia dada. 

rrc

7. ccP. Circunferencias tangentes a otras dos y que pasen por un punto.

• Por inversión. Tomamos el punto como centro de inversión y una de las circunferencias como inversa de sí misma. La potencia del punto a esta circunferencia determina la raíz de la potencia de inversión así definida y podemos dibujar la circunferencia de autoinversión correspondiente con centro el punto y radio el segmento PT. Conocida pues, esta circunferencia de autoinversión, determinamos la inversa de la otra circunferencia c'2. Cada tangente a éstas circunferencias (c'1 = c1 y c'2), inversas de las dadas c1 y c2, determinan en su intersección con la circunferencia de autoinversión, dos puntos de paso de las circunferencias buscadas. El tercer punto de paso es la condición inicial, el punto P. Con estos tres puntos de paso determinamos cada circunferencia solución.

ccP (por inversión)

• Por homotecia y haces. Consideramos homotéticas ambas circunferencias, por lo que sus centros estarán alineados. Cualquier punto A de una de las circunferencias estará en un radio paralelo al que pasa por el punto homotético A' en la otra circunferencia y, su vez, A y A' estarán alineados con el centro de homotecia H+. Por los puntos P, B y D pasa una circunferencia. El eje radicial de esa circunferencia con cada una de las circunferencias dadas, determinan M y N, puntos con igual potencia respecto a esta circunferencia PBD y cada una de las dadas. Los puntos de tangencia desde estos puntos M y N hasta las circunferencias dadas, son los de las circunferencias solución. Las circunferencias solución pertenecen pues, al haz elíptico de eje radical cada una de las rectas dadas, siendo P uno de los puntos fundamentales.

ccP (por homotecia y haces)

8. ccr. Hay ocho posibles soluciones. Las encontramos por inversión y haces de circunferencias. Una recta y una circunferencia se pueden relacionar con una inversión por una recta diametral perpendicular a la recta. El centro I estará en la intersección de circunferencia y recta y los puntos inversos A, A' en la otra intersección y en el pie de la perpendicular en la recta. Cuando las inversiones son inversiones positivas (IAA'), las circunferencias de autoinversión que definen dichas transformaciones son circunferencias dobles y ortogonales a la buscada. Podemos enunciar el problema por tanto, como "determinar las circunferencias ortogonales a dos dadas y tangentes a una recta". Las circunferencias ortogonales a dos dadas, pertenecen al haz conjugado. Las circunferencias de autoinversión en este caso, pertenecen a un haz elíptico; sus puntos de intersección son puntos fundamentales del haz y, a su vez, puntos límites del haz hiperbólico conjugado, al que pertenecen las soluciones buscadas. El problema se han transformado entonces en el siguiente: Determinar las circunferencias de un haz (hiperbólico), que son tangentes a una recta.

ccr

Se puede aplicar una única inversión, reduciendo el problema al caso Prc. Reducimos o ampliamos el radio de las circunferencias, una distancia igual al radio de la menor de ellas. Acercamos o alejamos la recta la misma distancia. Determinamos el centro de inversión positiva o negativa entre dicha "circunferencia suma o resta" y la recta acercada o alejada. Hay una circunferencia que pasa por AA'C2. Obtenermos el inverso del centro de la otra circunferencia C2. C2 y su simétrico SC2 son los puntos fundamentales de las circunferencias buscadas, que pertenecen al haz elíptico de eje radical la recta C2-SC2 y recta base la mediatriz de C2-SC2. La intersección de ese eje radical con la recta acercada o alejada, da el centro radical de las circunferencias buscadas. El punto de tangencia en r estará al levantar una perpendicular a r'. El centro en la recta base continuando con la perpendicular. 

ccr

9. ccc (Problema de Apolonio). Podemos encontrar hasta ocho soluciones según se encuentren dispuestas las circunferencias dato. Primero hallamos el centro radical de las tres circunferencias; luego los centros de homotecia de cada dos circunferencias (son 6 puntos, que están alineados de tres en tres en 4 rectas: Cuatro ternas de homotecia están alineadas según el Teorema de Menelao); a continuación determinamos los polos de cada circunferencia respecto a recta de ternas de centros de homotecia, cada polo se halla mediante un diámetro perpendicular a la recta, que la corta en un punto desde el que hallamos el punto tangente T a la circunferencia; por T una perpendicular al diámetro perpendicular lo corta en el polo P de la circunferencia respecto de la recta dada. Los rayos desde el centro radical a cada polo cortan a cada circunferencia en los puntos de tangencia buscados

ccc

10. Prc. Utilizamos la inversión y los haces de circunferencias. Consideramos la circunferencia y la recta dadas, inversas entre sí, así que se relacionan mediante una recta diametral perpendicular a la recta. Y obtendremos cuatro soluciones distintas: dos si consideramos una inversión positiva (A y A' al mismo lado de I) y otras 2 si consideramos  una inversión negativa (I entre A y A'). A y A' están en la intersección de dicha perpendicular con la recta y la circunferencia. La circunferencia que pasa por P, A y A' determina el punto inverso P' de P, alineados con I. La recta que los une, P con P' es eje radical del haz de circunferencias al que pertenecen las que buscamos, y cuya recta base es la mediatriz de PP'. Las circunferencias del haz tangentes a la recta dada tienen como centro radical la intersección de PP' con r.

Prc

Esta entrada resulta del estudio de las publicadas por Piziadas en:

• Geometría Métrica: Problema Fundamental de Tangencias PPr [I]
• Geometría Métrica: Problema Fundamental de Tangencias PPc [II]
• Apolonio y sus diez problemas
• Geometría Métrica: Problema de Apolonio rcc

y como consulta extra de los siguientes enlaces:

• Math educando. Circunferencia tangente a tres circunferencias. 
• Math educando. Circunferencia tangente a dos circunferencias que pasa por un punto dado.
• Trazoide. Circunferencia tangente a una recta y a dos circunferencias de radio diferente.

Haces de circunferencias

En el plano, un haz de circunferencias es un conjunto simplemente infinito de circunferencias de centros alineados en una recta "base".  Vamos a estudiar los haces de circunferencias que comparten un eje radical (recta de puntos con igual potencia respecto a las circunferencias del haz). El eje radical es perpendicular a la recta base y la intersección de ambos es el centro del haz. Existen tres familias de haces de circunferencias corradicales, según la posición del eje respecto de las circunferencias sea secante, tangente o exterior: Haces elípticos, parabólicos e hiperbólicos respectivamente:

Familias de haces de circunferencias corradicales

• El haz es elíptico cuando el eje radical es secante a las circunferencias del haz. Los puntos de intersección entre las circunferencias son los mismos puntos de intersección de cada circunferencia con el eje radical. Esos puntos pertenecen al eje radical porque tienen la misma potencia (nula) respecto a  las circunferencias. Todas las circunferencias del haz pasan esos dos puntos, llamados "puntos fundamentales del haz". Los puntos del eje que están en la parte del plano interior a las dos circunferencias, tienen potencia negativa respecto de ellas; los puntos del eje que están en la parte exterior a las circunferencias, tienen potencia positiva respecto de ellas. La menor circunferencia del haz tiene por centro, el centro del haz y por radio, la distancia del centro a los puntos fundamentales. 
• El haz es parabólico cuando el eje radical es tangente a las circunferencias del haz. Todas las circunferencias del haz pasan por el centro del haz, punto en el que son tangentes al eje radical, y que tiene potencia nula respecto a las circunferencias. La mínima circunferencia del haz es un punto coincidente con el centro del haz y llamado "punto límite". 
• El haz es hiperbólico cuando el eje radical es exterior a las circunferencias del haz y éstas no se cortan nunca entre sí ni cortan al eje. Existen dos circunferencias de radio mínimo, con valor de radio 0, nulo, llamados "puntos límite, polos o puntos de Poncelet", L1 y L2, que equidistan del centro del haz y resultan de la intersección de la circunferencia ortogonal al haz, con centro en el del haz y radio PL igual la potencia a cualquier circunferencia del mismo. Las circunferencias del haz hiperbólico son ortogonales a cualquier circunferencia que pase por los puntos límite.

Haces conjugados

Para cada circunferencia del haz, hay una circunferencia ortogonal, cuyo radio es tangente a aquella. Dichas circunferencias ortogonales constituyen un haz "conjugado" de circunferencias, de recta base el eje radical del anterior, eje radical, la recta base del anterior, mismo centro del haz y las particularidades siguientes:
El haz conjugado de un haz elíptico es un haz hiperbólico cuyos puntos límite son los fundamentales del haz elíptico ortogonal.

El haz conjugado de un haz parabólico es otro haz parabólico con el mismo centro y punto límite.

El haz conjugado de un haz hiperbólico es un haz elíptico cuyos puntos fundamentales son los puntos límite del hiperbólico dado.

Casos

Vamos a estudiar tres problemas que pueden plantearse: Determinar las circunferencias del haz que:   pasen por un punto P;  sean tangentes a una recta t;  sean tangentes a una circunferencia t.

Enunciado de tres problemas por haz

En todos los casos, lo podemos enunciar como casos particulares del Problema Fundamental de Tangencias (buscamos circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a otra, variando el radio de esta tercera entre 0 - cuando es un punto-, un radio cualquiera - cuando es una circunferencia- y radio infinito - cuando es una recta).  

Para resolver el problema, vamos a necesitar una circunferencia auxiliar entre la condición de tangencia (P, t, ct) y un elemento del haz. Podemos ver el problema desde dos puntos de vista, considerando: o una circunferencia ortogonal al haz, o una circunferencia del haz.

- El centro de la solución es el punto en b, con igual potencia respecto a la condición de tangencia y a cualquier circunferencia ortogonal al haz que pase por los puntos límite.

- El punto Cr de igual potencia respecto a la condición de tangencia y cualquier circunferencia del haz, es centro de la circunferencia ortogonal a la buscada, por lo que su radio (CrT) es tangente a la solución.

Soluciones

Eje y centro radical

El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la recta base que une sus centros. Los puntos del eje radical son el lugar geométrico de:

• Los puntos del plano que tienen igual potencia respecto a las dos circunferencias dadas.
• Los puntos del plano desde los que los segmentos tangentes a dos circunferencias, miden igual.
• Los centros de circunferencias ortogonales a las dos dadas. Dos circunferencias son ortogonales cuando el radio de una es tangente a la otra circunferencia en los puntos de intersección.
• Los puntos medios de tangentes comunes a las circunferencias dadas.
• Los puntos del plano cuya diferencia de cuadrados de distancias a los centros de las circunferencias es constante.

Podemos demostrar que dicha diferencia de cuadrados de las distancias de los puntos del eje a los centro de las circunferencias es constante, basándonos en el teorema de Pitágoras y considerando diferentes triángulos rectángulos, como vemos en las siguientes imágenes:

Por Pitágoras, la diferencia constante de cuadrados de distancias de un punto a otros dos fijos, determina la recta "eje radical".

Es interesante fijarnos en que el Teorema de Pitágoras permite establecer las siguientes afirmaciones:

• si la suma de los cuadrados de las distancias de un punto a otros dos fijos, es constante, se determina una circunferencia.
• si la diferencia de los cuadrados de las distancias de un punto a otros dos fijos, es constante, se determina una recta llamada eje radical de las circunferencias con centro en los puntos fijos.

Casos Generales

En la siguiente imagen vamos a estudiar distintos casos de determinación del eje radical de dos circunferencias, dependiendo de su posición: secantes, tangentes o exteriores.

Los puntos donde dos circunferencias secantes se cortan, tienen igual potencia, nula, respecto al eje radical común, por pertenecer a ambas circunferencias (la distancia de ese punto a cada circunferencia es cero y el producto de mayor por menor distancia desde el punto a la circunferencia, es igualmente nulo).

En todos los casos, una circunferencia auxiliar secante con las dadas, permite determinar un punto de potencia común a ellas, que pertenecerá al eje radical buscado; con la otra condición necesaria dela perpendicularidad del eje con la recta base, el eje queda determinado.

Casos singulares:

También hemos analizado en la imagen superior distintos casos singulares por tratar a las circunferencias desde el punto de vista proyectivo. Así  el punto es una circunferencia de radio nulo y la recta es una circunferencia de radio infinito. Para determinar el eje radical en estos casos recurrimos a las mismas consideraciones anteriores, valiéndonos de una o dos circunferencias auxiliares secantes con las dos circunferencias dadas.

Inversiones

Las inversiones son transformaciones geométricas, es decir, operaciones geométricas por las cuales una figura, se convierte en otra llamada homóloga, en este caso "inversa". Conviene conocer los invariantes métricos y proyectivos de las transformaciones para ayudarnos a resolver ejercicios.
                                                      
                                                 

Vamos a ir viendo las principales características de las inversiones.

• Centro (IPP'). Son transformaciones con centro, es decir, un par de puntos homólogos P y P' están alineados con el centro de inversión, I, los tres pertenecen a la misma recta.

• Concíclicos (c=c'). Pares de puntos inversos pertenecen a la misma circunferencia c, llamada también circunferencia de inversión c', por contener a todos los puntos inversos de los puntos que la forman.

• Antiparalelismo y conformidad. Ambas características son relaciones angulares. 

Un par de rectas son antiparalelas (W) respecto a otro par de rectas, si la bisectriz del ángulo que forma el primer par, es perpendicular a la bisectriz del ángulo formado por las otras dos -la simetría de una de las rectas respecto a la bisectriz del otro par de rectas, da una paralela a la otra recta del primer par; además el cuadrilátero formado por las intersecciones de dos pares de rectas antiparalelas, es cíclico. Las rectas que unen un par de puntos y sus inversos son antiparalelas de las que unen dos pares de puntos inversos con el centro de inversión.  

 Transformaciones conformes son aquellas que preservan los ángulos, es decir, el ángulo que forman dos rectas, será igual que el que forman las rectas transformadas.

• Potencia. Las inversiones se basan en el concepto de potencia. Llamamos potencia de inversión K² al producto de la distancia desde el centro de inversión I a un punto P por la distancia de I al punto inverso de P, P'. Este producto es constante: 

IP · IP' = IQ · IQ' = K² 

Que ese producto sea constante significa  que cuanto mayor es la distancia del centro de inversión a un punto, menor será la distancia de I al inverso de dicho punto. Existe una distancia para la cual, las dos distancias son iguales. Esa distancia es la raíz k de la potencia de inversión K², entre el centro de inversión y el punto T de tangencia desde I a la circunferencia de inversión cc' de dos pares de puntos inversos cualesquiera. 

El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan esa distancia k, raíz de la potencia de inversión, del centro de inversión, es una circunferencia llamada circunferencia de autoinversión.

Vamos a estudiar 6 casos:

1.- Inverso de un punto cuando la potencia de inversión es positiva.

2.- Inverso de un punto cuando la potencia de inversión es negativa.

3.- Inversa de una recta que pasa por el centro de inversión.

4.- Inversa de una recta que no pasa por el centro de inversión.

5.- Inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión.

6.- Inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión.

• 1.- Cuando la potencia de inversión es positiva:

• IPP': Los pares de puntos inversos están al mismo lado del centro de inversión
• T=T': Los puntos de la circunferencia de autoinversión son dobles (CPD) 
• CPD  perpendicular cc': la circunferencia de puntos dobles y la de inversión son ortogonales
• Teorema Cateto: Podemos aplicar el teorema del cateto.

• 2.- Cuando la potencia de inversión es negativa:

• PIP': Los puntos inversos están a distintos lados del centro de inversión.
• T diametral a T': La circunferencia de autoinversión son tiene puntos inversos diametralmente.
• La circunferencia de autoinversión es diametral con la circunferencia de inversión
• Teorema Altura: Podemos aplicar el teorema de la altura.

• 3.- La inversa de una recta que pasa por el centro de inversión I es la misma recta: r=r', tanto si la inversión es positiva como si es negativa; los puntos inversos de una recta que pasa por el centro de inversión I, están sobre la misma recta. 

• 4.- La inversa de una recta que NO pasa por el centro de inversión, es una circunferencia que sí pasa por él, cuyo centro está en la perpendicular a la recta desde I y por diámetro tiene IP'.

La imagen es interactiva. Pincha en el punto Q y mantén pinchado para deslizarlo sobre la recta r. 

Verás que los puntos inversos de Q van dibujando la circunferencia r', inversa de la recta r dada, cuyo centro está en la perpendicular a r desde I y cuyo diámetro tiene por extremos I y P', inverso de P (pie de la perpendicular de I a r).

En el siguiente ejemplo, se pide determinar la inversa de una recta r dada, conociendo un par de puntos inversos AA'.

La inversa de una recta que no pasa por I, es una circunferencia que sí pasa, cuyo centro está en la perpendicular a la recta desde I. Así, eso es lo primero que hacemos, una recta perpendicular a r, desde I.

Cualquier punto de la recta tendrá su inverso en la circunferencia buscada. Tomamos un punto cualquiera de r, el B. Su inverso B' estará en la circunferencia que pasa por A y A'.

B' debe estar en la circunferencia inversa de r, y sabemos que su centro está en la recta perpendicular a r por I, por tanto, la mediatriz de IB', cuerda de la circunferencia, nos dará la solución.

• 5.- De manera análoga al caso anterior, la inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por él y que es perpendicular a la dirección del diámetro que contiene al centro de inversión I.

• 6.- La inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia, homotética de la anterior, con centro de inversión el centro de homotecia que las relaciona y potencia de inversión la potencia entre la razón de homotecia. El inverso O' del centro O de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión, es el pie de la polar del centro de la circunferencia inversa.

Una inversión puede venir definida de tres formas:

• I, A, A': Dado un centro de inversión y un par de puntos inversos.
• I, K: Dado el centro de inversión y la potencia de inversión.
• A, A', B, B': Dados dos pares de puntos inversos no alineados.

• I, A, A': Dado un centro de inversión y un par de puntos inversos.

Pares de puntos inversos son concíclicos.

Un punto y su inverso están alineados con el centro de inversión.

• I, K: Dado el centro de inversión y la potencia de inversión.

                                            

Un par de puntos inversos están alineados con el centro de inversión.

La circunferencia de autoinversión es de puntos dobles cuando la inversión es positiva y se cumple el teorema del cateto.

El inverso de A se puede obtener también resolviendo la inversión con cualquier punto de la circunferencia de autoinversión.

• A, A', B, B': Dados dos pares de puntos inversos no alineados.