Teorema de Thales. Semejanza. Teoremas Altura y Cateto

Teorema de Thales

Es la base de la Geometría Proyectiva y de la Geometría Métrica y se enuncia verbalmente, gráficamente y analíticamete, como sigue:

Si cortamos dos rectas cualesquiera por varias rectas paralelas del mismo plano, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos determinados en la otra y dichos segmentos se corresponden en la igualdad, en la suma y en la resta.

Pero vamos poco a poco. Vamos a explicar conceptos fundamentales para entender este teorema: algunos conceptos, semejanza, diferentes enunciados del mismo teorema, otro teorema con el mismo nombre y aplicaciones muy utilizadas de los mismos.

• Un teorema es una proposición demostrable lógicamente partiendo de axiomas, postulados u otras proposiciones ya demostradas. (RAE). Un teorema afirma una verdad demostrable, no evidente por sí misma (W).

• Axioma es una proposición tan clara y evidente que se admite sin demostración. Principio fundamental e indemostrable. (RAE)

• Corolario es una proposición que no necesita prueba particular y se deduce con facilidad de lo demostrado previamente. (RAE). Es una consecuencia tan evidente que no necesita más demostración (W).

Semejanza

Homónimo es un adjetivo que se atribuye a un ente (objeto, figura, persona...) por tener el mismo nombre que tiene otro ente. (Homónimo: mismo nombre)

Homólogo viene del griego "acorde", "correspondiente". Según la RAE, relación entre las personas que ejercen cargos iguales en ámbitos distintos; y en Geometría, relación de los lados que en cada una de dos o más figuras geométricas semejantes, están colocados en la misma posición (relativa). (Homólogo: misma posición relativa)
Congruencia: Dos figuras son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño, es decir, si existe una isometría que los relaciona (traslación, rotación, reflexión).

Dos figuras son semejantes cuando tienen igual forma, pero diferente tamaño. Dicho de otra manera, dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales. 

En la figura superior vemos dos triángulos, uno azul (dato previo) y uno rojo (semejante del anterior). Respecto a la representación:

• los vértices suelen denominarse con letras mayúsculas; 
• los lados, segmentos y rectas, con letras minúsculas, y además, con la misma letra que el vértice de enfrente. 
• Lo del sentido, horario o antihorario, no lo tengo claro... Lo investigaré. 
• Las rayitas perpendiculares a cada segmento indican una relación de paralelismo entre los elementos de la imagen: así, los elementos de la imagen con el mismo símbolo, son paralelos entre sí: Lados homólogos son paralelos: a es paralelo a a'; b esparalelo a b'; c es paralelo a c'.

Los lados: a y a' ; b y b';  c y c' son homólogos. Los ángulos A y A'; B y B'; C y C' son homólogos. En dos figuras semejantes, los puntos, los ángulos y los lados, se dicen "homólogos". Así pues, repetimos: Dos triángulos son semejantes cuando tienen:

•  sus ángulos homólogos, iguales, es decir:  A = A', B = B'; C = C'
• sus lados homólogos, proporcionales, es decir:  a/a'= b/b' = c/c'

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.

Y además, podemos considerar los siguientes criterios de semejanza: Dos triángulos son semejantes si:

• Si tienen dos ángulos iguales:  A=A'  ; B=B'
  
  
  
• Si tienen los tres lados proporcionales: a/a'= b/b' = c/c'

• Si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.

Teorema de Thales

Existen dos teoremas que se atribuyen a Thales de Mileto y reciben este mismo nombre:

• El primero explica la forma de obtener triángulos semejantes mediante la necesaria relación de proporción entre los lados homólogos de las figuras. "Los triángulos semejantes son los que tienen ángulos congruentes; esto deriva en que sus lados homólogos sean proporcionales y viceversa". Se enuncia de dos formas, mencionaremos un corolario y varias aplicaciones.
• El segundo teorema expone una propiedad de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos ("encontrándose aquellos en el punto medio de la hipotenusa"), lo que permite obtener ángulos rectos fácilmente. Este teorema también veremos importantes aplicaciones.

Teorema de Thales "1"

Enunciado 1 Teorema de Thales1: Congruencia ángulos y proporcionalidad lados

Si cortamos dos rectas cualesquiera por varias rectas paralelas del mismo plano, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos determinados en la otra y dichos segmentos se corresponden en la igualdad, en la suma y en la resta.

Enunciado 2 Teorema Thales 1: Congruencia ángulos y proporcionalidad lados
Si cortamos un triángulo por una recta paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen triángulos semejantes.

La razón de los perímetros de los triángulos semejantes, es igual a su razón de semejanza.

a/a' = b/b' = c/c' = (a+b+c) / (a'+b'+c') = p/p' = r

La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.

S/S'=r2

Corolario Teorema de Thales: Razón de semejanza constante.

La razón de semejanza, es decir, el cociente entre la longitud de los lados homólogos de figuras semejantes, es constante.

Aplicaciones: División segmento partes iguales y construcción Escalas gráficas.

La escala es la relación matemática entre las dimensiones del dibujo D y las de la realidad R que representa, es decir, es la razón de semejanza entre el dibujo y el objeto que representa.

E= D/ R

Llamamos "escala gráfica" a una representación dibujada de dicha razón de semejanza. ¿Cómo se construye una escala gráfica? Gracias al Teorema de Thales. 

Sobre un soporte rectilíneo representamos el objeto considerado.

En una recta auxiliar que parte de un extremo del segmento anterior pero con distinta dirección, llevamos tantas unidades como realmente mida el objeto representado.

Unimos los extremos libre de ambos segmentos y por cada unidad de la recta auxiliar, trazamos paralelas a la recta de unión de los extremos. 

Obtenemos así el módulo de la escala gráfica. La contraescala sería un módulo representado justo antes del 0 de nuestra escala gráfica y se suele subdividir en 10 partes iguales.

Es importante mostrar la escala gráfica en todo dibujo, sobre todo cuando se hacen ampliaciones o reducciones del mismo en la fotocopiadora, algo muy común en el ámbito de la arquitectura, para llevar planos más pequeños a la obra. Esto permite saber con exactitud la razón de semejanza y por tanto el  verdadero tamaño del objeto real, sin acumular errores.  Por ejemplo, vemos escalas gráficas en el google maps en la esquina inferior derecha.

Podríamos pedir como ejercicio, utilizando la escala gráfica y la proporcionalidad, hallar la distancia entre dos ciudades. Hacemos una captura de imagen del ámbito deseado en Google Maps. Insertamos la imagen en Geogebra. Sobre la escala gráfica dibujamos un segmento, cuya medida aparece en la vista algebraica. Entre las ciudades origen y destino dibujamos otro segmento cuya medida también vemos. Para saber la distancia real, basta una regla de tres: Si el segmento de escala gráfica que mide 0.3 ud del dibujo, equivale a 100 km, los 3.07 ud que mide el segmento incógnita, equivaldrán a los km buscados. 

Como comprobación, en Google Maps, la opción del botón derecho "medir distancia" nos indica la distancia en línea recta entre dos puntos. Veremos que resulta muy aproximada a la obtenida gráficamente.

Teorema de Thales "2".

Según el segundo teorema de Thales:

"Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC y centro O, distinto de A y de C. Entonces, el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo con el ángulo recto en B".

En la circunferencia de centro O y radio r, los segmentos OA, OB y OC son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia. Por lo tanto, los triángulos AOB y BOC son isósceles.

La suma de los ángulos de todo triángulo es 180º. Por tanto en el triángulo ABC:

α + (α + β) + β = 2α +2β= 180º

Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre 2 tenemos que:

el ángulo B = α + β = 90º

Quedando así demostrado el segundo teorema de Thales.

Corolario 1:

En todo triángulo rectángulo, la mediana (OB) de la hipotenusa es la mitad de la misma. 

Corolario 2:

En todo triángulo rectángulo, el circuncentro se encuentra en el punto medio de la hipotenusa.

Aplicaciones: 

• Arco Capaz de un segmento bajo un ángulo de 90º. Esta aplicación nos permite construir ángulos rectos y triángulos rectángulos.

• Potencia de un punto respecto a una circunferencia. Esta aplicación nos permite  determinar la recta tangente a una circunferencia  dada, pasando por un punto P dado. 

Teoremas derivados: Teoremas de la altura y del cateto.

En un triángulo rectángulo ABC, la altura AH desde el ángulo recto A hasta la hipotenusa BC divide al triángulo en otros dos menores, siendo los tres triángulos ABC, AHB y AHC, semejantes entre sí.  Para demostrarlo, basta comprobar en cada par de triángulos, que tienen dos ángulos homólogos iguales.

Por tanto, las medidas de sus lados homólogos están relacionadas:

                                           $$\frac { AB }{ BC } =\frac { BH }{ AB }$$

                                           $$\frac { AB }{ AC } =\frac { BH }{ AH }$$

Los teoremas de la altura y del cateto se basan en el teorema de Thales y son dos propiedades de gran importancia de los triángulos rectángulos. Nos serán de utilidad al estudiar inversiones y tangencias.

Se enuncian como sigue:

Teorema del Cateto.

En todo triángulo rectángulo se cumple que un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre ella. 

Teorema de la Altura.

En todo triángulo rectángulo se cumple que la altura es media proporcional entre los dos segmentos en que divide a la hipotenusa. 

Ángulo. Ángulos central e inscrito. Arco Capaz.

Ángulo

Dos rectas que se cortan, r y s, determinan un plano y lo dividen en cuatro partes iguales dos a dos,  α  y  β (ángulos opuestos por el vértice son iguales).

Ángulo es la parte del plano comprendida por dos rectas r y s que se cortan, es decir, dos rectas coplanares. Está formado pues, por un vértice V, dos lados L1 y L2 y la superficie comprendida α. Otra forma de decirlo: Ángulo es la parte α del plano comprendida por dos semirrectas llamadas "lados" L1  y L2 que tienen un punto de origen común llamado "vértice" V.

Su valor es el del menor de los dos ángulos que determinan sus lados.
Existen tres sistemas de medida de los ángulos:

• Radián: Ángulo cuyo arco es igual al radio. Varía entre  0 y 2π. (Sistema universal)
• Grados sexagesimales: valores comprendidos entre 0 y 360.
• Grados centesimales: valores comprendidos entre 0 y 400.

El ángulo permite establecer:

- La posición y orientación relativa entre dos elementos geométricos coplanares.

- El tamaño de la parte de plano comprendida.

Ángulo entre dos rectas: Es el menor de los dos que se forman.

Ángulo entre una recta y una circunferencia que se cortan: Es el que forma la recta r con la recta tangente t a la circunferencia c en cualquiera de los puntos de intersección T. El valor del ángulo en cualquiera de los dos puntos de intersección, es el mismo, como veremos en la siguiente construcción dinámica.

 
Construcción dinámica. Pincha y arrastra el punto azul.
Verás cómo el ángulo que forma una recta tangente t1 en T1 con la circunferencia 
es igual al que forma la otra recta tangente t2 en T2 con la circunferencia.

Ángulo entre dos circunferencias que se cortan: Es el que forman sus rectas tangentes en cualquiera de los puntos T de intersección. La tangencia es un caso particular de intersección, tal que los puntos de corte coinciden en uno solo, llamado punto de tangencia T, común a los dos elementos que intersectan, que son perpendiculares entre sí. Así, la recta t tangente a una curva y el radio r que pasa por el punto de tangencia T, son ortogonales entre sí, forman 90º.

Ángulo Central - Ángulo Inscrito

Ángulo Inscrito: Es aquel cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son cuerdas de la misma.

Ángulo Central: Es aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y por medida el arco comprendido por sus lados, que son radios.

En la siguiente construcción dinámica podemos observar cómo independientemente de la posición de P en la circunferencia, o de la amplitud del arco AB, el ángulo central es el doble que el ángulo inscrito, siempre que ambos abarquen el mismo arco AB.

Construcción dinámica. Pincha y arrastra los puntos azules.
Verás cómo el ángulo central es siempre el doble del inscrito que abarca el mismo arco AB.

La suma de ángulos internos de un triángulo es 180º. 

Imagen interactiva. Pincha y arrastra los puntos azules. 

Verás que la suma de los tres ángulos siempre da 180º

El triángulo CBP es un triángulo isósceles, con dos ángulos  α iguales. Y como la suma de los tres ángulos internos del triángulo será   j + 2 α = 180º

También podemos observar en la semicircunferencia que  j + b = 180º

Así deducimos analíticamente que el ángulo central b es el doble que el ángulo inscrito a. 

a = 2b

Para cualquier posición del punto P podemos descomponer los ángulos en dos y aplicar similar razonamiento.

a = a₁ + a₂

b = b₁ + b₂

b = 2a₁ + 2a₂=2 (a₁ + a₂)=2a

Destacar también estas importantes propiedades de los ángulos:

Los ángulos cuyos lados se cortan perpendicularmente, determinan aberturas iguales (por congruencia). Ángulos congruentes son los que tienen la misma amplitud. Buscando Congruencia, encontramos: Dos figuras geométricas son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño; si existe una isometría que los relaciona: una transformación que puede ser de traslación, rotación y/o reflexión. Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición o su orientación sean distintas. Las partes relacionadas entre las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes. (W)

Construcción dinámica. Pincha y arrastra los puntos azules.
Verás cómo se mantiene el ángulo entre rectas homólogas.

Ángulos complementarios suman  90º.

Ángulos suplementarios suman 180º.

Ángulos conjugados suman 360º.

Ángulo diedro: parte del espacio delimitada por dos semiplanos con una recta común.

Ángulo sólido: espacio delimitado por una superficie cónica.

Arco Capaz

Definición.
Arco capaz de un segmento AB visto bajo un ángulo dado α es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve el segmento AB bajo el mismo ángulo α.

Imagen interactiva. Pincha y arrastra los puntos azules y el punto P.

Verás cómo:

- el radio y la tangente en el punto de intersección con la circunferencia, son siempre perpendiculares.

- el ángulo alfa no cambia aunque varíe la longitud del segmento.
- la tangente en P, al llegar a B, forma el ángulo dado alfa con el segmento AB.

 Este lugar geométrico es un arco de circunferencia al que pertenecen los extremos del segmento AB, que será pues,  una cuerda de dicha circunferencia. Los puntos P del arco son vértices de triángulos cuya base común es el segmento AB y tienen asociado el ángulo inscrito de valor la mitad del ángulo central que abarca dicha base.

Construcción.
Conociendo el segmento AB y el ángulo bajo el que se ve, queremos determinar el arco capaz del segmento visto bajo dicho ángulo.

Para determinar el arco capaz del segmento necesitamos 3 parámetros: dos coordenadas del centro, es decir, la posición del centro y una distancia, es decir, el radio.
Sabiendo que:
- El segmento dado es una cuerda del arco buscado.
- El ángulo inscrito determina en el extremo del segmento, la dirección o recta tangente al arco buscado. 
- El centro de la circunferencia está en la intersección de la perpendicular a la tangente en el extremo  del segmento, con la  mediatriz del mismo.

Imagen interactiva.
Haz clic en las casillas para comprender las relaciones geométricas. 
Pulsa el botón play/pause para animar el punto P o detenerlo.
Puedes pinchar y arrastrar los puntos azules y el punto P. 

Verás cómo:

- la tangente en un extremo forma con el segmento el ángulo inscrito,

- el ángulo central es doble que el inscrito (P).

Aplicaciones.
Aplicación a construcciones geométricas: arco capaz de 90º

El arco capaz de un segmento bajo un ángulo de 90º es una semicircunferencia de centro el punto medio del segmento dado y radio la mitad de dicho segmento.

El arco capaz de 90º nos permite hallar la recta tangente desde un punto P a una circunferencia dada de centro C.

• Sabemos la posición del punto P desde el queremos hallar la recta tangente.
• Sabemos que el radio parte del centro de la circunferencia (dato) y llega al punto de tangencia (incógnita).
• Sabemos que la tangente desde un punto a una circunferencia y el radio de dicha circunferencia en el punto de tangencia son ortogonales. Por tanto el segmento PC se verá bajo un ángulo de 90º.
• El punto de tangencia T debe pertenecer a la circunferencia dada y al arco capaz del segmento PC. 
• Por ello, el punto de tangencia T estará en la intersección de la circunferencia con el arco capaz del segmento PC bajo un ángulo de 90º

Esta construcción también se justifica por el segundo enunciado del teorema de Thales (el punto medio del segmento PC,  hipotenusa del triángulo rectángulo PTC, es el circuncentro de dicho triángulo).

 
Imagen interactiva.Pincha y arrastra los puntos azules.

Verás cómo:

- siempre radio y tangente forman 90º.

- siempre T está en la intersección entre la circunferencia dada y el arco capaz de 90º.

- el arco capaz de 90º siempre es una semicircunferencia.

Problema 3 - Solución 3: Arco Capaz

Nuestra compañera de Máster, Sketcher, nos plantea ayudar al pequeño cachorro de león Liam a ubicarse. Liam se ha perdido un poco en sus primeras expediciones de caza. Divisa 4 sitios: La distancia entre el manantial y el pico, bajo 30º; y la distancia entre el árbol y la manada bajo 45º, como nos explica Sketcher aquí. 

Pues bien. Tranquilo Liam. Podrías encontrarte en P₁ o en P_{2 ,}donde se cortan los arcos capaces de cada segmento. Cada arco capaz es un arco de circunferencia, cuyo centro está en la intersección de la mediatriz del segmento considerado, y la perpendicular por un extremo del segmento a la tangente al arco. En los extremos del segmento, uno de los lados del ángulo coincide con el segmento y el otro lado forma el ángulo dado con él, siendo así, tangente al arco buscado. En la imagen lo comprenderás. Como saliste de caza, estás en P2, donde están los ñús.

Sketcher nos ha planteado un bonito ejemplo de aplicación del concepto geométrico de ARCO CAPAZ para ubicarse.

Arco Capaz de un semento AB visto bajo un ángulo α

Geometría es la disciplina matemática que mide ("metría") la tierra ("geo"), para lo que emplea un lenguaje de elementos gráficos (punto, recta, curva, superficie plana, superficie curva), con los que se representan figuras, que tendrán una posición, una medida, una forma y se podrán relacionar mediante conceptos comparativos como igualdad (mismo tamaño y misma forma), equivalencia (misma medida), proporción (medidas relacionadas) y semejanza (misma forma y medidas relacionadas).

La posición es el lugar geométrico. La posición de un punto queda determinada por dos coordenadas en el plano, y por tres en el espacio. La posición relativa de una recta respecto a otra queda determinada por el ángulo entre ambas, definiéndose ángulo como la parte del plano comprendida entre dos semirrectas del mismo que tienen el mismo punto de origen o vértice.

La medida es el tamaño. La medida de un segmento es su longitud y la de un plano es su área. Hemos visto la importancia del Teorema de Pitágoras a² = b² + c²  para:
- determinar las medidas de un segmento, a = (b² + c²)^1/2  (introducción a números irracionales)
- determinar las medidas de una superficie o área (distancia al cuadrado),  a² = superficie
- determinar la forma de una circunferencia (R² = x² + y²).

La forma queda determinada por segmentos - rectos o curvos ("lados de la figura"), y por los vértices entre ellos. Dos figuras con la misma forma pero distinto tamaño se dice que son semejantes. 

La proporción es la relación de tamaños entre figuras con la misma forma. Algebráicamente es un cociente de medidas y representa la razón de semejanza o escala, es decir, el número de veces que una figura es más grande que la otra con la que se compara.

Hemos visto la importancia de la semejanza de triángulos y del Teorema de Thales que nos habla de proporcionalidad entre lados de triángulos semejantes. Tiene que ver con el concepto matemático de cociente.

Arco Capaz

Introducimos un concepto más: Arco Capaz de un segmento visto bajo un ángulo  α .

El arco capaz de un segmento AB bajo un ángulo alfa, es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve el segmento AB bajo el mismo ángulo α.

Para explicar el concepto partimos de dos datos: un segmento y un ángulo bajo el cual se ve el segmento.

La forma que tienen el conjunto de puntos que cumplen la condición de arco capaz (abarcar el mismo segmento AB y mantener constante el ángulo alfa) es la de un arco de circunferencia. El segmento AB será una cuerda de esa circunferencia. 

Necesitamos considerar dos aspectos:

• El centro de una circunferencia está en la intersección de las mediatrices de dos cuerdas cualesquiera de la circunferencia.
• La recta tangente al arco y el radio que pasa por el punto de tangencia T, son ortogonales.

Sabiendo esto,  el arco capaz del segmento AB bajo el ángulo alfa se muestra en naranja en la siguiente figura. El ángulo alfa se mantiene constante.  El "arco capaz" tendrá su centro en la intersección de la mediatriz a AB con la perpendicular en A o en B a la tangente a la circunferencia buscada.

Observando la figura, vemos que al desplazarse el ángulo de vértice P hasta uno de los extremos del segmento dado AB, un lado coincide con la cuerda y el otro lado forma con ella el mismo ángulo α y determina la dirección tangente al arco. 

Teniendo en cuenta esto, podremos encontrar el centro C del arco buscado como intersección de la mediatriz a AB y la perpendicular r a la recta tangente t en un extremo de AB, la cual forma con el segmento dado AB el ángulo dado α. 

El arco capaz de un segmento AB visto bajo un ángulo de 90º, es una semicircunferencia que tiene el centro en el punto medio de AB. Como vemos en la figura siguiente, la perpendicular a la tangente al arco en un extremo del segmento, coincide con él. Esta recta r se corta con la mediatriz m a AB en el punto C, punto medio de AB. El arco que tiene por centro C y pasa por los punto A y B es la semicircunferencia c, arco capaz de AB bajo 90º.

Aplicaciones del Arco Capaz: 

Recta tangente a una circunferencia desde un punto P.

Podemos utilizar el arco capaz de 90º para determinar la recta tangente a una circunferencia dada, desde un punto P dado. El punto de tangencia T buscado pertenecerá a la circunferencia dada y será el encuentro de radio y tangente, que forman 90º. El radio parte del centro. La tangente parte de P. por tanto tenemos un triángulo PTC rectángulo en T y del que PC es hipotenusa. Por tanto la hipotenusa se ve bajo un ángulo de 90º y se puede construir su arco capaz. Éste intersecta con la circunferencia dada en T. El punto de tangencia pertenecerá a la circunferencia c y al arco capaz de PC.

Teorema del Cateto y Teorema de la Altura

PROPORCIONALIDAD

Visualmente es sencillo comprender la suma o la resta de medidas.

La noción de semejanza y el Teorema de Thales nos introducen el concepto de proporcionalidad que nos permite resolver relaciones de medidas entre segmentos.

La proporción es relación, cociente, fracción entre medidas, número racional, entendida como expresión algebraica de las proporciones que establecen dichos conceptos de semejanza y Thales.

Cuarto proporcional: es la incógnita que hace cumplirse una igualdad de cocientes. También se conoce como "regla de tres".

x / a = b / c

x = a·b/c

Tercera proporcional: es la igualdad de cocientes en que a ambos lados de la igualdad se repite un operando que no es la incógnita.

x / a = a / b

x = a·a/b

Media proporcional: es la igualdad de cocientes en que la incógnita x aparece a ambos lados de la igualdad.

x / a = b / x 

x = √(a·b)

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

El concepto de arco capaz nos permite obtener un triángulo rectángulo, partiendo de su hipotenusa. Ésta es el segmento que se observa bajo el ángulo recto inscrito en el arco de centro el punto medio de la hipotenusa y radio la mitad de la misma.

Necesitamos un dato más para concretar un único triángulo rectángulo, por ejemplo la altura del triángulo. Ésta se define como la recta perpendicular a un lado del triángulo, pasando por el vértice opuesto.

Esta altura CH nos permite encontrar tres triángulos rectángulos semejantes: ACB, AHC, CHB.

ACB y AHC son semejantes porque tienen dos ángulos iguales: uno recto y A compartido.

ACB y CHB son semejantes porque tienen dos ángulos iguales: uno recto y B compartido.

AHC y CHB son semejantes porque tienen dos ángulos iguales: uno recto y A = C (los ángulos cuyos lados son perpendiculares, determinan aberturas iguales - CH es perpendicular a AB y BC es perpendicular a AC) 

Aplicando Thales a los tres triángulos,  podemos enunciar el Teorema del Cateto y el Teorema de la Altura, que nos serán de gran utilidad en relación con la Potencia de un punto respecto a una circunferencia, o para resolver el PFT, Problema Fundamental de Tangencias.

TEOREMA DEL CATETO

En un triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de ese cateto sobre ella.

TEOREMA DE LA ALTURA

En un triángulo rectángulo, la altura medida sobre la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que la divide.

Potencia de un punto respecto a una circunferencia

La potencia W_p² de un punto P respecto de una circunferencia c es el producto de la menor distancia m por la mayor distancia n del punto P a la circunferencia c. 

Expresado algebráicamente tendríamos:

Potencia = W_p²= m · n

P exterior a la circunferencia

Analicemos un punto P, exterior  a la circunferencia,

Como vemos en la figura, P es exterior a la circunferencia, los puntos A y B pertenecen a ella y están alineados con P, perteneciendo los tres puntos A, B y P a la misma recta. Además: 

R = radio de la circunferencia c

d  = PC

m = PA = d - R

n  = PB = d + R

Por lo que podemos expresar la potencia, como sigue:

                   Potencia = W_p² = m · n = (d-R) · (d+R) = d² - R² 

La diferencia de medidas al cuadrado, d² – R² , alude al Teorema de Pitágoras, es decir a un triángulo rectángulo, el cual encontramos mediante el arco capaz. 

La hipotenusa del triángulo rectángulo será d = PC, un cateto R y el otro W_p.

El vértice T del ángulo recto del triángulo pitagórico buscado, pertenecerá a la circunferencia y al arco capaz del punto P respecto a la circunferencia c. 

La longitud del segmento PT, que llamamos W, será, elevada al cuadrado, la potencia W² del punto P respecto a la circunferencia c. 

Como vemos en la figura anterior, la potencia es un área de valor equivalente a la del cuadrado de lado W, es decir el cuadrado de la longitud del segmento PT tangente a la circunferencia. El concepto de Potencia alude al producto de distancias.

Punto P interior a la circunferencia

Consideremos ahora un punto P, interior a una circunferencia c. Si la potencia es el producto de las distancias menor m y mayor n a la circunferencia c, como vemos en la figura:

m= PA = R - d

n = PB = R + d

d = PC

Por lo que de nuevo, podemos expresar el producto m·n como una suma por diferencia, por tanto una diferencia de cuadrados:

Potencia = m · n = (R - d) · (R + d) = R² – d² = - (d² - R²)

Y toda diferencia de cuadrados alude al triángulo pitagórico, que en este caso tiene el ángulo recto en P, como hipotenusa el radio R  y un cateto es d. El otro cateto, PT= W_p es el lado del cuadrado cuya área es equivalente a la Potencia W²  buscada, es decir el resultado del producto m·n.

Generalización del concepto de potencia

La potencia de un punto P respecto de una circunferencia c, es el producto de la menor "m" por la mayor "n" de las distancias del punto P a la circunferencia c.

Igual que esta definición es válida para un punto P cualquiera, tanto interior, como exterior a la circunferencia, también lo es para cualquier recta que pase por P y sea secante a c, pase por el centro C de la circunferencia, o no.

La potencia del punto P a la circunferencia c es independiente de la recta elegida.

Podemos demostrarlo gracias al concepto de Arco Capaz y al Teorema de Thales.

Dados un punto P y una circunferencia c, consideramos un par de rectas r y s, secantes en A y B la primera, r, y en C y D  la segunda, s.

La circunferencia es el arco capaz del segmento BC, que se verá bajo el mismo ángulo α desde cualquier punto del arco. Dicho de otro modo, cualquier ángulo inscrito en dicho arco capaz, tiene el mismo valor α.

Se determinan así dos triángulos PAC y PBD que comparten un ángulo, el del vértice P y tienen otro ángulo de igual valor, el que está en la circunferencia: el ángulo de vértice A en el triángulo PAC y el ángulo de vértice D del triángulo PBD. Dos triángulos que tienen dos ángulos iguales, son semejantes y por tanto se puede aplicar el Teorema de Thales:

PA / PC = PD / PB

n / m' = n' / m

m·n = m'·n'

PA · PB = PC · PD = constante

PA es la mayor distancia n de P a c, en la recta r.

PB es la menor distancia m de P a c, en la recta r.

PC es la menor distancia  m' de P a c, en la recta s.

PD es la mayor distancia n' de P a c, en la recta s.

n · m =  W_p² = m' · n' = constante

Lo que demuestra que la potencia de un punto P respecto a la circunferencia c, es independiente de la recta elegida.