La homotecia es una transformación que, a groso modo, consiste en una semejanza con paralelismo. De sus características e invariantes geométricos destacamos:
- homografía (conserva la naturaleza, un punto se transforma en otro punto - si se transforma en otro elemento de distinta naturaleza, la transformación sería una "correlación", por ejemplo, si un punto se transforma en una recta o en un plano),
- paralelismo (relación angular en que se conserva la orientación de un elemento antes y después de la transformación)
- conformidad (relación angular tal que el ángulo entre dos elementos es el mismo que el ángulo entre los elementos transformados),
- con centro H. Un punto P y su transformado P' están alineados con el centro de homotecia H)
- razón de homotecia k constante (la homotecia se basa en el Teorema de Thales). El cociente de la distancia del centro de homotecia H a un punto P entre la distancia de H al homólogo P' de P, es constante y se denomina razón de homotecia, k. Es decir, en lenguaje de Geometría Proyectiva, un centro de homotecia y un par de puntos homólogos constituyen una terna (HPP').
HP / HP' = HQ / HQ' = HT / HT' = k
- (HCC') Los centros de circunferencias homotéticas, son homólogos y están alineados con H.
- En circunferencias homotéticas, puntos sobre radios paralelos deben ser homólogos.
- La homotecia es útil en ejercicios de áreas, tangencias e inversiones.
De los problemas y aplicaciones de las homotecias que se pueden presentar, analizamos tres:
Enunciados:
- 1. Dados el centro de homotecia H y una circunferencia c , determinar una circunferencia homotética
- 2. Dadas dos rectas r y s y un punto P del mismo plano, determinar la circunferencia que pasa por P y es tangente a las rectas.
- 3. Dadas dos circunferencias, determinar los centros de homotecia.
Enunciados.
- 1. Circunferencias homotéticas tienen sus centros alineados con el centro H de homotecia (HCC') y cualquier par de puntos homólogos están en radios paralelos (HTT') . El arco capaz de 90º entre el centro de homotecia H y el centro de la circunferencia dato C determina el punto T de tangencia de las rectas que pasan por H y son tangentes a la circunferencia. La dirección CT, perpendicular a dicha tangente, es la de los radios de circunferencias homotéticas. Una perpendicular por cualquier punto T' de la tangente cortará a la recta de los centros, en el de una de las soluciones.
- 2. Las tangentes comunes de circunferencias homotéticas, pasan por el centro de homotecia. Consideramos la intersección de las rectas como el centro de homotecia H. Nos servimos de una circunferencia homotética cualquiera auxiliar tangente a las rectas (con centro en la bisectriz del ángulo que éstas forman); su intersección con la recta HP determina dos puntos P'1 y P'2. Las paralelas por P a los radios C'P' cortan a la bisectriz de las rectas, en los centros de las soluciones buscadas. Circunferencias homotéticas tienen cualquier par de puntos alineados con el centro de homotecia y en radios paralelos.
- 3. Podemos distinguir 5 casos: las circunferencias pueden ser exteriores, tangentes exteriores, secantes, tangentes interiores, interiores. En todos los casos, el centro de homotecia H está alineado con cualquier par de puntos homotéticos. Los centros de las circunferencias son homotéticos: en la recta que los une estarán los centros de homotecia. Otros dos puntos homotéticos están en la intersección, con sendas circunferencias, de un par de rectas paralelas entre sí que pasen por los centros de las circunferencias: la recta que los une, en la intersección con la recta de los centros de las circunferencias, determinará el respectivo centro de homotecia: H+ ( si A y A' al mismo lado de H) y H- (si A y A' a distinto lado de H). Un centro de homotecia de circunferencias tangentes, es el punto de tangencia.
Análisis
Soluciones.
- 1. Hay infinitas soluciones c', según el punto T' que elijamos en la recta tangente. La solución es un haz de circunferencias de recta base la recta de centros HC y de eje radical la recta tangente HTT'.
- 2. Hay dos soluciones, c1 y c2, según cuál tomemos como punto homotético de P, P'1 o P'2.
- 3. Hay dos soluciones, H+ y H-, según la inversión sea positiva (A y A' al mismo lado del centro de homotecia) o negativa (A y A' a distinto lado del centro de homotecia). Cuando las circunferencias son tangentes, uno de los centros de homotecia coincide con el punto de tangencia, como vemos en las imágenes.
Soluciones 1 y 2.
Solución 3.
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de la esquina inferior izquierda. Verás cómo,
para cualquier posición de un par de puntos homólogos:
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de la esquina inferior izquierda. Verás cómo,
para cualquier posición de un par de puntos homólogos:
- los segmentos verdes (radios de circunferencias homotéticas) mantienen su paralelismo, independientemente de su orientación.
- los centros de homotecia positivo H+ y negativo H- permanencen fijos.
Esto sucede porque la razón de homotecia es constante. Nos basamos en Thales y en el concepto de semejanza entre los triángulos que se forman.
