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Las inversiones son transformaciones geométricas, es decir, operaciones geométricas por las cuales una figura, se convierte en otra llamada homóloga, en este caso "inversa". Conviene conocer los invariantes métricos y proyectivos de las transformaciones para ayudarnos a resolver ejercicios.

Vamos a ir viendo las principales características de las inversiones.

Centro (IPP'). Son transformaciones con centro, es decir, un par de puntos homólogos P y P' están alineados con el centro de inversión, I, los tres pertenecen a la misma recta.

Concíclicos (c=c'). Pares de puntos inversos pertenecen a la misma circunferencia c, llamada también circunferencia de inversión c', por contener a todos los puntos inversos de los puntos que la forman.

Antiparalelismo y conformidad. Ambas características son relaciones angulares.

Un par de rectas son antiparalelas (W) respecto a otro par de rectas, si la bisectriz del ángulo que forma el primer par, es perpendicular a la bisectriz del ángulo formado por las otras dos -la simetría de una de las rectas respecto a la bisectriz del otro par de rectas, da una paralela a la otra recta del primer par; además el cuadrilátero formado por las intersecciones de dos pares de rectas antiparalelas, es cíclico. Las rectas que unen un par de puntos y sus inversos son antiparalelas de las que unen dos pares de puntos inversos con el centro de inversión.

Transformaciones conformes son aquellas que preservan los ángulos, es decir, el ángulo que forman dos rectas, será igual que el que forman las rectas transformadas.

Potencia. Las inversiones se basan en el concepto de potencia. Llamamos potencia de inversión K²al producto de la distancia desde el centro de inversión I a un punto P por la distancia de I al punto inverso de P, P'. Este producto es constante:

IP · IP' = IQ · IQ' = K²

Que ese producto sea constante significa que cuanto mayor es la distancia del centro de inversión a un punto, menor será la distancia de I al inverso de dicho punto. Existe una distancia para la cual, las dos distancias son iguales. Esa distancia es la raíz k de la potencia de inversión K², entre el centro de inversión y el punto T de tangencia desde I a la circunferencia de inversión cc' de dos pares de puntos inversos cualesquiera.

El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan esa distancia k, raíz de la potencia de inversión, del centro de inversión, es una circunferencia llamada circunferencia de autoinversión.

Vamos a estudiar 6 casos:

1.- Inverso de un punto cuando la potencia de inversión es positiva.

2.- Inverso de un punto cuando la potencia de inversión es negativa.

3.- Inversa de una recta que pasa por el centro de inversión.

4.- Inversa de una recta que no pasa por el centro de inversión.

5.- Inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión.

6.- Inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión.

1.- Cuando la potencia de inversión es positiva:

IPP': Los pares de puntos inversos están al mismo lado del centro de inversión

T=T': Los puntos de la circunferencia de autoinversión son dobles (CPD)

CPD perpendicular cc': la circunferencia de puntos dobles y la de inversión son ortogonales

Teorema Cateto: Podemos aplicar el teorema del cateto.

2.- Cuando la potencia de inversión es negativa:

PIP': Los puntos inversos están a distintos lados del centro de inversión.

T diametral a T': La circunferencia de autoinversión son tiene puntos inversos diametralmente.

La circunferencia de autoinversión es diametral con la circunferencia de inversión

Teorema Altura: Podemos aplicar el teorema de la altura.

3.- La inversa de una recta que pasa por el centro de inversión I es la misma recta: r=r', tanto si la inversión es positiva como si es negativa; los puntos inversos de una recta que pasa por el centro de inversión I, están sobre la misma recta.

4.- La inversa de una recta que NO pasa por el centro de inversión, es una circunferencia que sí pasa por él, cuyo centro está en la perpendicular a la recta desde I y por diámetro tiene IP'.

La imagen es interactiva. Pincha en el punto Q y mantén pinchado para deslizarlo sobre la recta r.

Verás que los puntos inversos de Q van dibujando la circunferencia r', inversa de la recta r dada, cuyo centro está en la perpendicular a r desde I y cuyo diámetro tiene por extremos I y P', inverso de P (pie de la perpendicular de I a r).

En el siguiente ejemplo, se pide determinar la inversa de una recta r dada, conociendo un par de puntos inversos AA'.

La inversa de una recta que no pasa por I, es una circunferencia que sí pasa, cuyo centro está en la perpendicular a la recta desde I. Así, eso es lo primero que hacemos, una recta perpendicular a r, desde I.

Cualquier punto de la recta tendrá su inverso en la circunferencia buscada. Tomamos un punto cualquiera de r, el B. Su inverso B' estará en la circunferencia que pasa por A y A'.

B' debe estar en la circunferencia inversa de r, y sabemos que su centro está en la recta perpendicular a r por I, por tanto, la mediatriz de IB', cuerda de la circunferencia, nos dará la solución.

5.- De manera análoga al caso anterior, la inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por él y que es perpendicular a la dirección del diámetro que contiene al centro de inversión I.

6.- La inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia, homotética de la anterior, con centro de inversión el centro de homotecia que las relaciona y potencia de inversión la potencia entre la razón de homotecia. El inverso O' del centro O de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión, es el pie de la polar del centro de la circunferencia inversa.