Ángulo
Dos rectas que se cortan, r y s, determinan un plano y lo dividen en cuatro partes iguales dos a dos, α y β (ángulos opuestos por el vértice son iguales).
Existen tres sistemas de medida de los ángulos:
- Radián: Ángulo cuyo arco es igual al radio. Varía entre 0 y 2π. (Sistema universal)
- Grados sexagesimales: valores comprendidos entre 0 y 360.
- Grados centesimales: valores comprendidos entre 0 y 400.
El ángulo permite establecer:
- La posición y orientación relativa entre dos elementos geométricos coplanares.
- El tamaño de la parte de plano comprendida.
Ángulo entre dos rectas: Es el menor de los dos que se forman.
Ángulo entre una recta y una circunferencia que se cortan: Es el que forma la recta r con la recta tangente t a la circunferencia c en cualquiera de los puntos de intersección T. El valor del ángulo en cualquiera de los dos puntos de intersección, es el mismo, como veremos en la siguiente construcción dinámica.
Ángulo entre una recta y una circunferencia que se cortan: Es el que forma la recta r con la recta tangente t a la circunferencia c en cualquiera de los puntos de intersección T. El valor del ángulo en cualquiera de los dos puntos de intersección, es el mismo, como veremos en la siguiente construcción dinámica.
Construcción dinámica. Pincha y arrastra el punto azul.
Verás cómo el ángulo que forma una recta tangente t1 en T1 con la circunferencia
es igual al que forma la otra recta tangente t2 en T2 con la circunferencia.
Ángulo entre dos circunferencias que se cortan: Es el que forman sus rectas tangentes en cualquiera de los puntos T de intersección. La tangencia es un caso particular de intersección, tal que los puntos de corte coinciden en uno solo, llamado punto de tangencia T, común a los dos elementos que intersectan, que son perpendiculares entre sí. Así, la recta t tangente a una curva y el radio r que pasa por el punto de tangencia T, son ortogonales entre sí, forman 90º.
Ángulo Central - Ángulo Inscrito
Ángulo Inscrito: Es aquel cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son cuerdas de la misma.
Ángulo Central: Es aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y por medida el arco comprendido por sus lados, que son radios.
Ángulo Central: Es aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y por medida el arco comprendido por sus lados, que son radios.
En la siguiente construcción dinámica podemos observar cómo independientemente de la posición de P en la circunferencia, o de la amplitud del arco AB, el ángulo central es el doble que el ángulo inscrito, siempre que ambos abarquen el mismo arco AB.
Construcción dinámica. Pincha y arrastra los puntos azules.
Verás cómo el ángulo central es siempre el doble del inscrito que abarca el mismo arco AB.
La suma de ángulos internos de un triángulo es 180º.
El triángulo CBP es un triángulo isósceles, con dos ángulos α iguales. Y como la suma de los tres ángulos internos del triángulo será j + 2 α = 180º
Imagen interactiva. Pincha y arrastra los puntos azules.
Verás que la suma de los tres ángulos siempre da 180º
El triángulo CBP es un triángulo isósceles, con dos ángulos α iguales. Y como la suma de los tres ángulos internos del triángulo será j + 2 α = 180º
También podemos observar en la semicircunferencia que j + b = 180º
Así deducimos analíticamente que el ángulo central b es el doble que el ángulo inscrito a.
a = 2b
Para cualquier posición del punto P podemos descomponer los ángulos en dos y aplicar similar razonamiento.
a = a1
+ a2
b = b1
+ b2
b = 2a1
+ 2a2=2 (a1 + a2)=2a
Destacar también estas importantes propiedades de los ángulos:
Los ángulos cuyos lados se cortan perpendicularmente, determinan aberturas iguales (por congruencia). Ángulos congruentes son los que tienen la misma amplitud. Buscando Congruencia, encontramos: Dos figuras geométricas son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño; si existe una isometría que los relaciona: una transformación que puede ser de traslación, rotación y/o reflexión. Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición o su orientación sean distintas. Las partes relacionadas entre las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes. (W)
Construcción dinámica. Pincha y arrastra los puntos azules.
Verás cómo se mantiene el ángulo entre rectas homólogas.
Ángulos complementarios suman 90º.
Ángulos suplementarios suman 180º.
Ángulos conjugados suman 360º.
Ángulo diedro: parte del espacio delimitada por dos semiplanos con una recta común.
Ángulo sólido: espacio delimitado por una superficie cónica.
Arco Capaz
Definición.
Arco capaz de un segmento AB visto bajo un ángulo dado α es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve el segmento AB bajo el mismo ángulo α.
Este lugar geométrico es un arco de circunferencia al que pertenecen los extremos del segmento AB, que será pues, una cuerda de dicha circunferencia. Los puntos P del arco son vértices de triángulos cuya base común es el segmento AB y tienen asociado el ángulo inscrito de valor la mitad del ángulo central que abarca dicha base.
Construcción.
Conociendo el segmento AB y el ángulo bajo el que se ve, queremos determinar el arco capaz del segmento visto bajo dicho ángulo.
Para determinar el arco capaz del segmento necesitamos 3 parámetros: dos coordenadas del centro, es decir, la posición del centro y una distancia, es decir, el radio.
Sabiendo que:
- El segmento dado es una cuerda del arco buscado.
- El ángulo inscrito determina en el extremo del segmento, la dirección o recta tangente al arco buscado.
- El centro de la circunferencia está en la intersección de la perpendicular a la tangente en el extremo del segmento, con la mediatriz del mismo.
Arco capaz de un segmento AB visto bajo un ángulo dado α es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve el segmento AB bajo el mismo ángulo α.
Imagen interactiva. Pincha y arrastra los puntos azules y el punto P.
Verás cómo:
- el radio y la tangente en el punto de intersección con la circunferencia, son siempre perpendiculares.
- el ángulo alfa no cambia aunque varíe la longitud del segmento.
- la tangente en P, al llegar a B, forma el ángulo dado alfa con el segmento AB.
- la tangente en P, al llegar a B, forma el ángulo dado alfa con el segmento AB.
Construcción.
Conociendo el segmento AB y el ángulo bajo el que se ve, queremos determinar el arco capaz del segmento visto bajo dicho ángulo.
Sabiendo que:
- El segmento dado es una cuerda del arco buscado.
- El ángulo inscrito determina en el extremo del segmento, la dirección o recta tangente al arco buscado.
- El centro de la circunferencia está en la intersección de la perpendicular a la tangente en el extremo del segmento, con la mediatriz del mismo.
Haz clic en las casillas para comprender las relaciones geométricas.
Pulsa el botón play/pause para animar el punto P o detenerlo.
Puedes pinchar y arrastrar los puntos azules y el punto P.
Verás cómo:
- la tangente en un extremo forma con el segmento el ángulo inscrito,
- el ángulo central es doble que el inscrito (P).
Aplicaciones.
Aplicación a construcciones geométricas: arco capaz de 90º
El arco capaz de un segmento bajo un ángulo de 90º es una semicircunferencia de centro el punto medio del segmento dado y radio la mitad de dicho segmento.
El arco capaz de 90º nos permite hallar la recta tangente desde un punto P a una circunferencia dada de centro C.
Esta construcción también se justifica por el segundo enunciado del teorema de Thales (el punto medio del segmento PC, hipotenusa del triángulo rectángulo PTC, es el circuncentro de dicho triángulo).
Aplicación a construcciones geométricas: arco capaz de 90º
El arco capaz de un segmento bajo un ángulo de 90º es una semicircunferencia de centro el punto medio del segmento dado y radio la mitad de dicho segmento.
El arco capaz de 90º nos permite hallar la recta tangente desde un punto P a una circunferencia dada de centro C.
- Sabemos la posición del punto P desde el queremos hallar la recta tangente.
- Sabemos que el radio parte del centro de la circunferencia (dato) y llega al punto de tangencia (incógnita).
- Sabemos que la tangente desde un punto a una circunferencia y el radio de dicha circunferencia en el punto de tangencia son ortogonales. Por tanto el segmento PC se verá bajo un ángulo de 90º.
- El punto de tangencia T debe pertenecer a la circunferencia dada y al arco capaz del segmento PC.
- Por ello, el punto de tangencia T estará en la intersección de la circunferencia con el arco capaz del segmento PC bajo un ángulo de 90º
Esta construcción también se justifica por el segundo enunciado del teorema de Thales (el punto medio del segmento PC, hipotenusa del triángulo rectángulo PTC, es el circuncentro de dicho triángulo).
Imagen interactiva.Pincha y arrastra los puntos azules.
Verás cómo:
- siempre radio y tangente forman 90º.
- siempre T está en la intersección entre la circunferencia dada y el arco capaz de 90º.
- el arco capaz de 90º siempre es una semicircunferencia.
