Haces de circunferencias

En el plano, un haz de circunferencias es un conjunto simplemente infinito de circunferencias de centros alineados en una recta "base".  Vamos a estudiar los haces de circunferencias que comparten un eje radical (recta de puntos con igual potencia respecto a las circunferencias del haz). El eje radical es perpendicular a la recta base y la intersección de ambos es el centro del haz. Existen tres familias de haces de circunferencias corradicales, según la posición del eje respecto de las circunferencias sea secante, tangente o exterior: Haces elípticos, parabólicos e hiperbólicos respectivamente:

Familias de haces de circunferencias corradicales

• El haz es elíptico cuando el eje radical es secante a las circunferencias del haz. Los puntos de intersección entre las circunferencias son los mismos puntos de intersección de cada circunferencia con el eje radical. Esos puntos pertenecen al eje radical porque tienen la misma potencia (nula) respecto a  las circunferencias. Todas las circunferencias del haz pasan esos dos puntos, llamados "puntos fundamentales del haz". Los puntos del eje que están en la parte del plano interior a las dos circunferencias, tienen potencia negativa respecto de ellas; los puntos del eje que están en la parte exterior a las circunferencias, tienen potencia positiva respecto de ellas. La menor circunferencia del haz tiene por centro, el centro del haz y por radio, la distancia del centro a los puntos fundamentales. 
• El haz es parabólico cuando el eje radical es tangente a las circunferencias del haz. Todas las circunferencias del haz pasan por el centro del haz, punto en el que son tangentes al eje radical, y que tiene potencia nula respecto a las circunferencias. La mínima circunferencia del haz es un punto coincidente con el centro del haz y llamado "punto límite". 
• El haz es hiperbólico cuando el eje radical es exterior a las circunferencias del haz y éstas no se cortan nunca entre sí ni cortan al eje. Existen dos circunferencias de radio mínimo, con valor de radio 0, nulo, llamados "puntos límite, polos o puntos de Poncelet", L1 y L2, que equidistan del centro del haz y resultan de la intersección de la circunferencia ortogonal al haz, con centro en el del haz y radio PL igual la potencia a cualquier circunferencia del mismo. Las circunferencias del haz hiperbólico son ortogonales a cualquier circunferencia que pase por los puntos límite.

Haces conjugados

Para cada circunferencia del haz, hay una circunferencia ortogonal, cuyo radio es tangente a aquella. Dichas circunferencias ortogonales constituyen un haz "conjugado" de circunferencias, de recta base el eje radical del anterior, eje radical, la recta base del anterior, mismo centro del haz y las particularidades siguientes:
El haz conjugado de un haz elíptico es un haz hiperbólico cuyos puntos límite son los fundamentales del haz elíptico ortogonal.

El haz conjugado de un haz parabólico es otro haz parabólico con el mismo centro y punto límite.

El haz conjugado de un haz hiperbólico es un haz elíptico cuyos puntos fundamentales son los puntos límite del hiperbólico dado.

Casos

Vamos a estudiar tres problemas que pueden plantearse: Determinar las circunferencias del haz que:   pasen por un punto P;  sean tangentes a una recta t;  sean tangentes a una circunferencia t.

Enunciado de tres problemas por haz

En todos los casos, lo podemos enunciar como casos particulares del Problema Fundamental de Tangencias (buscamos circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a otra, variando el radio de esta tercera entre 0 - cuando es un punto-, un radio cualquiera - cuando es una circunferencia- y radio infinito - cuando es una recta).  

Para resolver el problema, vamos a necesitar una circunferencia auxiliar entre la condición de tangencia (P, t, ct) y un elemento del haz. Podemos ver el problema desde dos puntos de vista, considerando: o una circunferencia ortogonal al haz, o una circunferencia del haz.

- El centro de la solución es el punto en b, con igual potencia respecto a la condición de tangencia y a cualquier circunferencia ortogonal al haz que pase por los puntos límite.

- El punto Cr de igual potencia respecto a la condición de tangencia y cualquier circunferencia del haz, es centro de la circunferencia ortogonal a la buscada, por lo que su radio (CrT) es tangente a la solución.

Soluciones

Eje y centro radical

El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la recta base que une sus centros. Los puntos del eje radical son el lugar geométrico de:

• Los puntos del plano que tienen igual potencia respecto a las dos circunferencias dadas.
• Los puntos del plano desde los que los segmentos tangentes a dos circunferencias, miden igual.
• Los centros de circunferencias ortogonales a las dos dadas. Dos circunferencias son ortogonales cuando el radio de una es tangente a la otra circunferencia en los puntos de intersección.
• Los puntos medios de tangentes comunes a las circunferencias dadas.
• Los puntos del plano cuya diferencia de cuadrados de distancias a los centros de las circunferencias es constante.

Podemos demostrar que dicha diferencia de cuadrados de las distancias de los puntos del eje a los centro de las circunferencias es constante, basándonos en el teorema de Pitágoras y considerando diferentes triángulos rectángulos, como vemos en las siguientes imágenes:

Por Pitágoras, la diferencia constante de cuadrados de distancias de un punto a otros dos fijos, determina la recta "eje radical".

Es interesante fijarnos en que el Teorema de Pitágoras permite establecer las siguientes afirmaciones:

• si la suma de los cuadrados de las distancias de un punto a otros dos fijos, es constante, se determina una circunferencia.
• si la diferencia de los cuadrados de las distancias de un punto a otros dos fijos, es constante, se determina una recta llamada eje radical de las circunferencias con centro en los puntos fijos.

Casos Generales

En la siguiente imagen vamos a estudiar distintos casos de determinación del eje radical de dos circunferencias, dependiendo de su posición: secantes, tangentes o exteriores.

Los puntos donde dos circunferencias secantes se cortan, tienen igual potencia, nula, respecto al eje radical común, por pertenecer a ambas circunferencias (la distancia de ese punto a cada circunferencia es cero y el producto de mayor por menor distancia desde el punto a la circunferencia, es igualmente nulo).

En todos los casos, una circunferencia auxiliar secante con las dadas, permite determinar un punto de potencia común a ellas, que pertenecerá al eje radical buscado; con la otra condición necesaria dela perpendicularidad del eje con la recta base, el eje queda determinado.

Casos singulares:

También hemos analizado en la imagen superior distintos casos singulares por tratar a las circunferencias desde el punto de vista proyectivo. Así  el punto es una circunferencia de radio nulo y la recta es una circunferencia de radio infinito. Para determinar el eje radical en estos casos recurrimos a las mismas consideraciones anteriores, valiéndonos de una o dos circunferencias auxiliares secantes con las dos circunferencias dadas.

Circunferencias diametrales

Circunferencias tangentes, son aquellas que comparten tangente.

Circunferencias ortogonales son aquellas cuyos radios son las tangentes de las otras.

Circunferencias diametrales son aquellas que cortan a la otra en un diámetro. Tienen su centro en la mediatriz del diámetro. Como hay infinitos diámetros, dado un radio R, hay infinitas circunferencias diametrales a otra. 

Nos piden hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias diametrales a una dada, que es una circunferencia concéntrica  a la dada. Su radio  Rc "Radio concéntrico", se halla mediante la intersección de la mediatriz con un arco de centro uno de los extremos del diámetro y radio R el de las circunferencias diametrales buscadas.

Ejes radicales

Eje radical.

Definición.

Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano:
1. que tienen igual potencia respecto a dichas circunferencias.
2. que son centro de circunferencias ortogonales a las dadas.
3. desde los que se pueden trazar segmentos de igual longitud, tangentes a las circunferencias dadas.
4. que son puntos medios de las tangentes comunes a las dos circunferencias dadas.

1. 

2.

3. 4.

Posición del Eje Radical 

El eje radical de dos circunferencias es la recta perpendicular a la recta base (la que une los centros de las circunferencias dadas) por el punto H de ella, el cual dista HM de su punto medio M.

Demostración analítica (de que el lugar geométrico del eje radical es una recta) 

En el triángulo señalado, podemos considerar a su vez los triángulos POH y PHO', con ángulo recto en H. Se cumple que la distancia de P a los centros es la hipotenusa de dichos triángulos. 

Además, 00'=a, es una distancia fija para las dos circunferencias dadas, y también son fijas la posición del punto medio M y la distancia HM. Restando una expresión de otra:

En la figura superior puedes comprobar que la longitud de HM no varía aunque la posición de P en el eje radical ER cambie. Prueba a deslizar P sobre la recta ER del eje radical, pinchando en P y deslizando el ratón.

Consideramos ahora los triángulos indicados. Son rectángulos y por tanto se cumple:

Igualando ambos resultados en rojo, tenemos que la distancia a la que pasa el eje radical del punto medio del segmento que une los centros de las circunferencias dadas, es igual a:

Determinación gráfica del Eje Radical (ER)

Supongamos que nos dan dos circunferencias y nos piden hallar el eje radical, es decir, el lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto a ambas.

Tomamos una circunferencia auxiliar, que corte a las dos circunferencias dadas.
Recordamos que potencia de un punto respecto de una circunferencia es el producto de las distancias mayor por la distancia menor del punto a la circunferencia.Si el punto está en la circunferencia, la distancia del mismo a dicha circunferencia es 0, por tanto, la potencia de un punto respecto a una circunferencia a la que pertenece, es cero. Basándonos en esto, los dos puntos de corte de la circunferencia auxiliar con una de las circunferencias, pertenecerán al eje radical común a la circunferencia auxiliar y a esa circunferencia dada. Como comprobación, ha de ser perpendicular a la recta que une sus centros (recta base del par de circunferencias consideradas).

Repetimos proceso y razonamiento entre la circunferencia auxiliar y la segunda circunferencia dada.

La intersección de los dos ejes radicales auxiliares, nos da un punto por el que pasará el Eje Radical buscado (el de las dos circunferencias dadas).

Como debe ser perpendicular a la recta base (la que une los centros de las circunferencias dadas), obtenemos la solución.

Casos

Circunferencias secantes:

Circunferencias tangentes exteriores

Circunferencias tangentes interiores

Circunferencias interiores

Si una de las circunferencias es un punto:

Si las dos circunferencias tienen radio igual a cero, se trata de dos puntos, y el eje radical es la mediatriz.

Si una de las circunferencias tiene radio infinito, se trata de una recta. En este caso, la recta base es la recta perpendicular a la recta desde el centro de la otra circunferencia, y el Eje Radical coincidirá con la misma recta.

Enunciado

Circunferencia auxiliar y recta base (perpendicular a la recta)

Ejes radicales entre la circunferencia auxiliar y cada dato.

Solución

Centro radical

Es un punto con igual potencia respecto a 3 circunferencias dadas.

Enunciado

Circunferencia secante auxiliar

Ejes radicales de cada circunferencia con la auxiliar

Ejes radicales entre cada dos circunferencias dato

Solución: Centro radical de las tres circunferencias.

La entrada la he escrito basándome en las siguientes referencias:

1. Lugares geométricos: Diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos.
2. Lugar geométricos de la Suma/Diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos.
3. Geometría métrica: Eje radical de dos circunferencias.
4. Geometría métrica: Obtención del Eje radical de dos circunferencias.

Condiciones angulares entre recta y circunferencia.

Repaso de Condiciones Angulares y Tangencia

El ángulo que forman dos rectas viene dado por el menor de ellos.

 

El ángulo que forman una recta y una circunferencia viene dado por el menor de los que forma la recta con la tangente a la circunferencia en el punto de intersección.

El ángulo que forman dos circunferencias es igual al ángulo que forman las tangentes en los puntos de intersección.

Condiciones angulares entre recta y circunferencia

Dada una  circunferencia de radio r, hallar el lugar geométrico de las circunferencias que forman un ángulo alfa con una recta dada s.

Para la solución, pensemos:

• El ángulo que forman una recta con una circunferencia es el ángulo que forma la recta con la tangente a la circunferencia. Por tanto, una recta t que forme el ángulo alfa con la recta s tendrá la dirección de la recta tangente a la circunferencia.
• El radio es perpendicular a la tangente, luego sobre el radio, y con centro en la intersección con s, llevamos la circunferencia conocida de radio r. Así obtenemos los centros de circunferencias de radio r, que forman con la recta s el ángulo alfa.
• La solución, el lugar geométrico de circunferencias de radio r que forman con la recta s el ángulo alfa, son dos rectas LG1 y LG2, paralelas a s, a la distancia determinada por las intersecciones de la circunferencia con la perpendicular a la tangente.

Condiciones angulares entre dos circunferencias

En la siguiente imagen representamos los croquis de estudio de las condiciones angulares entre dos circunferencias.

- Ángulo 0 ó 180 ó 360º: Tangentes entre sí: La tangente es la misma para las dos circunferencias.
- Ángulo mayor que 0 y menor que 90: Con cualquier ángulo alfa.
- Ángulo 90º ó 270º: Perpendiculares entre sí: La tangentes son perpendiculares entre sí.

Condiciones angulares

Determinación de circunferencias de radio conocido con condiciones angulares.

Condiciones angulares entre rectas y circunferencias

Condición de tangencia.

Antes de analizar cualquier problema geométrico, hemos de saber los grados de libertad de las figuras implicadas. Para determinar una circunferencia necesitaremos tres restricciones geométricas: dos restricciones de posición del centro de la circunferencia (x, y) y una restricción de tamaño (la longitud del radio).

Establecer condiciones angulares significa determinar el ángulo que debe formar la figura buscada con otra dada.

El ángulo que forma una curva con una recta es igual al que forma la tangente a la curva, con la recta en el punto de intersección. Una recta y una curva son tangentes, cuando el ángulo que forma la tangente a la curva con la recta, en el punto de tangencia, es cero. 

Si nos piden determinar circunferencias tangentes a una recta conociendo el radio de la circunferencia buscada, significa que tenemos dos datos: 1) el radio de la circunferencia y  2) la condición de tangencia. Queda un tercer grado de libertad sin definir, por tanto podemos encontrar infinitas circunferencias solución.
Supongamos que buscamos la circunferencia que pasa por un punto T de la recta r. Entonces, la solución es única.

Si la recta y la circunferencia son tangentes significa que la recta y el radio en el punto de intersección son perpendiculares. 

Los centros de circunferencias tangentes a la recta r están en rectas (LG) paralelas a la dada separadas de ella una distancia igual al radio de la circunferencia buscada. Como se precisa que ha de pasar por el punto T, la solución son dos circunferencias, las de línea continua roja. 

Condición angular cualquiera.

La condición angular puede ser distinta a la tangencia. Dicho de otro modo, el ángulo que forman recta y circunferencia puede ser distinto de cero y valer a.

Entonces ahora el problema consiste en determinar el lugar geométrico de circunferencias que pasen por P y formen con la recta r un angulo a.

La solución consistirá en hallar una circunferencia cuya tangente en el punto indicado P forme ese ángulo. El ángulo que forma una circunferencia con una recta es igual al ángulo que forma la tangente a la circunferencia, con la recta. Cualquier recta que pase por P y forme con r el ángulo a será una tangente de una circunferencia solución. 

Se piden las circunferencias que pasen por P y tengan esa tangente t. Como sabemos la longitud del radio de la circunferencia solución, basta llevarla en dirección perpendicular a la tangente, por el punto P. Hay dos circunferencias solución. Pero cualquier circunferencia de ese radio cuyo centro estuviera en las rectas LG, paralelas a r, formaría ese mismo ángulo alfa con la recta r.

Condiciones angulares entre circunferencias.

Condición de tangencia.

El ángulo que forman dos curvas es el que forman las tangentes a las curvas en los puntos de intersección. Dos circunferencias son tangentes cuando las rectas tangentes en el punto de intersección, forman un ángulo de valor cero, es decir, cuando tienen la misma tangente.

Partimos de una circunferencia de radio R1, un punto T de ella. Nos piden hallar la circunferencia que sea tangente a la primera en T y que tenga radio R2. 

Si la condición angular entre las circunferencias es de tangencia en un punto T, significa que la tangente en T a la circunferencia c1 y la recta tangente en T a la circunferencia buscada, serán la misma. 

La recta tangente  y el radio del centro al punto de tangencia, son perpendiculares.

Por tanto, el centro de la circunferencia buscada estará en la misma recta que une el centro de la circunferencia dada, con el punto de tangencia.

Como sabemos el radio R2 de la circunferencia buscada, basta llevarlo sobre esa recta OT.

Encontramos dos circunferencias solución.

Los lugares geométricos de los centros de las circunferencias solución, son dos circunferencias concéntricas a la dada, como vemos en la siguiente imagen y en la animación posterior,  una interior y otra exterior.

Condición angular cualquiera.

Si la condición es un ángulo cualquiera alfa, significa que el ángulo que forman las tangentes a las respectivas circunferencias, es el ángulo indicado alfa.

Partimos entonces como datos de una circunferencia conocido su centro y su radio, y nos indican el ángulo que debe formar otra circunferencia de radio conocido R2 con la primera.

La recta tangente a una cualquiera de las circunferencias buscadas, formará un ángulo a  con una tangente  a la circunferencia dada. Así pues, eso es lo primero que hacemos, determinar una tangente t cualquiera a c. El ángulo entre circunferencias es el ángulo entre sus tangentes en el punto de tangencia. Por tanto, en T llevamos el ángulo a  que deben formar, que es un dato.  Hay dos soluciones posibles según se lleve el ángulo a un lado u otro de la tangente.

Sabemos que el radio de la circunferencia buscada será perpendicular a la tangente encontrada.

Determinamos así las cuatro circunferencias buscadas.

Si no se especifica que las circunferencias pasen por el punto T, cualquier circunferencia que tenga su centro en las circunferencias concéntricas a la dada y con radios OO1 = R+R1 y OO1' = R-R1, sería la solución: Dos circunferencias de los lugares geométricos de los centros de circunferencias que forman el ángulo alfa con la circunferencia dada. 

Aplicación a problemas

Si se conoce el radio de la circunferencia buscada, el lugar geométrico anterior, se concreta en uno único: Determinar la circunferencia de radio R que:

• tenga la condición angular dada y que pase por dos puntos.
• pase por un punto y sea tangente a una recta
• pase por un punto y sea tangente a la circunferencia dada.
• pase por un punto y forme un ángulo con una recta
• pase por un punto y forme un ángulo con una circunferencia.
• sea tangente a dos rectas
• sea tangente a dos circunferencias
• sea tangente a una recta y una circunferencia
• forme un ángulo con una recta y sea tangente a otra recta
• forme un ángulo con una circunferencia y sea tangente a otra recta
• forme un ángulo con una recta y otro con otra recta
• forme un ángulo con una circunferencia y otro con otra recta
• forme un ángulo con una circunferencia y otro con otra circunferencia

Ejemplo de aplicación. 

Determinar las circunferencias de radio conocido que son tangentes a una recta y a una circunferencia.

La condición de tangencia a la recta genera dos lugares geométricos: las rectas paralelas a r, LG1 y LG2, separadas el radio R de r.

La condición de tangencia de la circunferencia dada con la circunferencia buscada genera dos circunferencias circunscritas, LG3 y LG4.

Los puntos de intersección de estos lugares geométricos serán los centros de las circunferencias buscadas.

Un lugar geométrico es pues, un conjunto de puntos que cumplen unas determinadas condiciones o propiedades geométricas.

Completando lo dicho respecto a lugares geométricos, podemos considerar:

- una recta como una circunferencia de radio infinito.

- un punto, como una circunferencia de radio nulo.