La homotecia es una transformación homográfica, afín y con centro, que determina figuras semejantes a una dada, cuyos elementos homólogos son paralelos y cuyos ángulos son conformes. NO es involutiva y NO puede tener elementos dobles, salvo el centro.
La homotecia se basa en el concepto de semejanza (misma forma y diferente área). Pero si en la Potencia, los puntos de la terna pertencían a la misma forma (circunferencia), ahora los puntos de esta terna pertenecen a distintas formas, formas homotéticas.
Dadas dos figuras (circunferencias) semejantes, un par de puntos homólogos "P" y "P'" y un centro de homotecia "H", el cociente de las distancias del centro de homotecia al primer punto, entre la distancia del centro de homotecia al segundo punto, es constante y se denomina "razón de homotecia"
HP / HP' = HQ / HQ' = HT / HT' = K
- En una homotecia, un punto y su transformado están alineados con el centro de la homotecia.
- Si suponemos que dos circunferencias son homotéticas, los puntos situados sobre radios paralelos deben ser homólogos.
- Dependiendo del sentido del radio, tendremos transformaciones de razón positiva (los dos radios en el mismo sentido) o negativa (diferente sentido). Los centros positivo (H+) y negativo (H-) deben encontrarse sobre las rectas que unen cada par de puntos homólogos, así como en la línea que une los centros de las circunferencias.
- Cuando las circunferencias son tangentes entre sí, el punto de tangencia es uno de los dos centros de homotecia.
Aplicaciones a problemas de tangencias
Una de las posibles aplicaciones de homotecias es determinar circunferencias tangentes.
- Problema 1. Determinar las circunferencias tangentes a dos rectas dadas y que una de ellas pase por un punto P.
- Solución 1. La homotecia es la transformación con centro tal que está alineado con un punto y su transformado y puntos de circunferencias homotéticas están en radios paralelos .
Una circunferencia cualquiera tangente a las dos rectas dadas, tendrá su centro en la bisectriz del ángulo formado por las rectas.
Los puntos homotéticos están alineados con el centro de homotecia, por lo que la intersección de la recta HP con la circunferencia tangente anterior, determina el punto homotético P' homólogo con P.
Por último, como los radios por puntos homólogos de circunferencias homotéticas son paralelos entre sí, podemos obtener la circunferencia buscada.
