Transformaciones geométricas son operaciones geométricas por las que una figura se convierte en otra. Conviene conocer cuáles son los invariantes métricos y proyectivos de las transformaciones. Vamos a estudiar dos transformaciones de especial importancia: Las homotecias y las inversiones. En esta entrada nos centraremos en las homotecias.
La homotecia es una transformación que, a groso modo, consiste en una semejanza con paralelismo. De sus características e invariantes geométricos destacamos:
La homotecia es una transformación que, a groso modo, consiste en una semejanza con paralelismo. De sus características e invariantes geométricos destacamos:
- homografía (conserva la naturaleza, un punto se transforma en otro punto - si se transforma en otro elemento de distinta naturaleza, la transformación sería una "correlación", por ejemplo, si un punto se transforma en una recta o en un plano),
- paralelismo (relación angular en que se conserva la orientación de un elemento antes y después de la transformación)
- conformidad (relación angular tal que el ángulo entre dos elementos es el mismo que el ángulo que forman los elementos transformados),
- con centro H. Un punto P y su transformado P' están alineados con el centro de homotecia H)
- razón de homotecia k constante (la homotecia se basa en el Teorema de Thales). El cociente de la distancia del centro de homotecia H a un punto P, entre la distancia de H al punto homotético de P, P', es constante y se denomina razón de homotecia, k. Es decir, un centro de homotecia y un par de puntos homólogos constituyen una terna (HPP'), en lenguaje de Geometría Proyectiva.
HP / HP' = HQ / HQ' = HT / HT' = k
- (HCC') Los centros de circunferencias homotéticas, son homólogos y están alineados con H.
- En circunferencias homotéticas, puntos sobre radios paralelos deben ser homólogos.
- La homotecia es útil en ejercicios de áreas, tangencias e inversiones.
Problema 1
Hallar una circunferencia homotética a otra dada conocido el centro de homotecia H.
Las circunferencias homotéticas tienen sus centros alineados con el centro de homotecia H.
Además, los radios de circunferencias homotéticas que contienen puntos homólogos, son paralelos. Todo radio es perpendicular a la recta tangente, formando con ella 90º en el punto de tangencia T. Tenemos un punto exterior a una circunferencia, el centro de homotecia H; tenemos una circunferencia c. Podemos por tanto determinar el punto de tangencia y la recta tangente de H a c, mediante el arco capaz del segmento HC, bajo 90º.
Además, los radios de circunferencias homotéticas que contienen puntos homólogos, son paralelos. Todo radio es perpendicular a la recta tangente, formando con ella 90º en el punto de tangencia T. Tenemos un punto exterior a una circunferencia, el centro de homotecia H; tenemos una circunferencia c. Podemos por tanto determinar el punto de tangencia y la recta tangente de H a c, mediante el arco capaz del segmento HC, bajo 90º.
Toda circunferencia tangente a t y con su centro en la recta HC, será homotética de la dada. Elegimos pues un punto T' de t.
Una recta perpendicular a t por T', será paralela al radio r y determinará en su intersección con HC el centro de la circunferencia homotética buscada.
Problema 2
Dadas dos circunferencias homotéticas, hallar los centros de homotecia H.
Podemos encontrarnos cuatro casos:
a) Circunferencias exteriores
b) Circunferencias tangentes exteriores
c) Circunferencias tangentes interiores
d) Circunferencias interiores
Podemos encontrarnos cuatro casos:
a) Circunferencias exteriores
b) Circunferencias tangentes exteriores
c) Circunferencias tangentes interiores
d) Circunferencias interiores
En todos los casos:
- El centro de homotecia estará alineado con los centros de las circunferencias homotéticas dadas.
- Recurrimos a puntos homotéticos de las circunferencias, aquellos que están en radios paralelos.
- Como puntos homotéticos están alineados con el centro de homotecia, éste está en la intersección de la recta que une centros de homotecia y la rectas que unen puntos homotéticos en radios con igual sentido (H+) o con sentido opuesto (H-)
a) Circunferencias exteriores
El centro de homotecia está alineado con los centros de circunferencias homotéticas.
Puntos homólogos de circunferencias homotéticas están en radios paralelos.
Puntos homotéticos están alineados con el centro de homotecia.
b) Circunferencias tangentes exteriores:
Uno de los centros de homotecia coincide con el punto de tangencia.
c) Circunferencias tangentes interiores:
Uno de los centros de homotecia coincide con el punto de tangencia.
d) Circunferencias interiores
Problema 3
Determinar la circunferencia tangente a dos rectas dadas y que pase por un punto P.
Si suponemos un centro de homotecia en la intersección de las rectas, podemos hallar la solución a partir de una circunferencia cualquiera homotética a la buscada, que sea tangente a las rectas. Si es tangente a las dos rectas, su centro estará en la bisectriz del ángulo que forman las rectas dato.
Así, una circunferencia cualquiera tangente a r y s será por ejemplo la c', cuyo punto de tangencia T estarán en la intersección de la dirección perpendicular a las rectas desde el centro.
Los puntos homólogos de una homotecia están alineados con el centro de homotecia, por lo tanto sabemos el homólogo de P estará en la intersección de esa recta con la circunferencia anterior.
Puntos homólogos de circunferencias homotéticas están en radios paralelos.
Averiguamos así el centro de la circunferencia buscada.
