Dados tres objetos que pueden ser, cada uno de ellos, puntos, rectas o circunferencias, se puede plantear el problema de determinar una circunferencia tangente a los tres.
Ya Apolonio de Perga, en el siglo III aC desarrolló y solucionó los 10 problemas que se pueden plantear.
Vamos a ir explicándolos en esta entrada poco a poco. Partiremos de los tres más básicos, a los cuales todos los demás se pueden reducir: PPP, PPr, PPc
En las representaciones, como venimos haciendo, y de aquí en adelante, utilizaremos el color azul para los datos, el negro y las líneas continuas o de rayitas, para el proceso, y el rojo para la solución.
Problema 1: PPP.
Determinar la circunferencia que pasa por tres puntos A, B, D dados.
Toda circunferencia tiene su centro en la intersección de las mediatrices de dos cuerdas cualesquiera.
Conocidos tres puntos de la circunferencia, conocemos dos cuerdas, y por tanto las mediatrices requeridas.
La solución es una y queda así determinada.
Problema 2: PPr
Determinar la circunferencia que pasa por dos puntos A y B y es tangente a la recta dada r.
La solución debe tener su centro en la mediatriz de A y B, que determinan una cuerda de la circunferencia solución.
La potencia de un punto P es constante respecto a toda circunferencia que pase por A y B, alineados con P. Por tanto, la potencia de P, alineado con A y B debe ser la misma para la circunferencia solución o para una circunferencia cualquiera auxiliar como la representada en la figura siguiente, que pasa por A y B.
Esa potencia tiene por raíz el segmento PT1, siendo T1 el punto de tangencia desde P a la circunferencia auxiliar c1 y que obtenemos gracias al arco capaz de 90º del segmento PC1.
Si la potencia es constante, la raíz de la potencia también, es decir, que podemos llevar la distancia PT1 mediante un arco de centro P hasta la recta r, para encontrar el punto de tangencia de la circunferencia buscada, con la recta dada. Hay dos puntos de tangencia: T y T', como vemos en la figura.
Hay, por tanto, dos circunferencias solución, que pasan por A y B y son tangentes a r.
Problema 3: PPc
Determinar la circunferencia que pasa por dos puntos A y B y es tangente a otra circunferencia.
La circunferencia solución tendrá su centro en la mediatriz de la cuerda AB.
La potencia es constante para toda circunferencia que pase por los puntos A y B alineados con P. Así pues, podemos tomar una circunferencia auxiliar cualquiera que pase por A y B, como la de la figura siguiente, que corta a la circunferencia dada en los puntos D y E.
La potencia de P a las circunferencias que pasen por A y B alineados con P, será la misma que la potencia de las circunferencias que pasen por D y E, también alineados con P.
Para determinar dicha potencia, utilizamos el arco capaz del segmento PC1, que corta a la circunferencia auxiliar en dos puntos, uno de los cuales señalamos en la siguiente figura, T1.
La circunferencia dada c, pasa por D y E, por lo que la potencia de P respecto a esta circunferencia c será la misma que a la circunferencia auxiliar. Podemos hallar así los puntos T y T' de tangencia buscados, haciendo centro en P y llevando la raíz de la potencia hallada PT1.
Se determinan así dos circunferencias solución, que pasan por A y B y son tangentes a la circunferencia dada c.
Podíamos haber averiguado directamente los puntos de tangencia en la circunferencia dato, mediante el arco capaz de 90 de CP.
El centro de las circunferencias solución Cs está alineado con el centro C de la circunferencia dada c y con T.
