Teorema de Thales. Semejanza. Teoremas Altura y Cateto

Teorema de Thales

Es la base de la Geometría Proyectiva y de la Geometría Métrica y se enuncia verbalmente, gráficamente y analíticamete, como sigue:

Si cortamos dos rectas cualesquiera por varias rectas paralelas del mismo plano, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos determinados en la otra y dichos segmentos se corresponden en la igualdad, en la suma y en la resta.

Pero vamos poco a poco. Vamos a explicar conceptos fundamentales para entender este teorema: algunos conceptos, semejanza, diferentes enunciados del mismo teorema, otro teorema con el mismo nombre y aplicaciones muy utilizadas de los mismos.

• Un teorema es una proposición demostrable lógicamente partiendo de axiomas, postulados u otras proposiciones ya demostradas. (RAE). Un teorema afirma una verdad demostrable, no evidente por sí misma (W).

• Axioma es una proposición tan clara y evidente que se admite sin demostración. Principio fundamental e indemostrable. (RAE)

• Corolario es una proposición que no necesita prueba particular y se deduce con facilidad de lo demostrado previamente. (RAE). Es una consecuencia tan evidente que no necesita más demostración (W).

Semejanza

Homónimo es un adjetivo que se atribuye a un ente (objeto, figura, persona...) por tener el mismo nombre que tiene otro ente. (Homónimo: mismo nombre)

Homólogo viene del griego "acorde", "correspondiente". Según la RAE, relación entre las personas que ejercen cargos iguales en ámbitos distintos; y en Geometría, relación de los lados que en cada una de dos o más figuras geométricas semejantes, están colocados en la misma posición (relativa). (Homólogo: misma posición relativa)
Congruencia: Dos figuras son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño, es decir, si existe una isometría que los relaciona (traslación, rotación, reflexión).

Dos figuras son semejantes cuando tienen igual forma, pero diferente tamaño. Dicho de otra manera, dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales. 

En la figura superior vemos dos triángulos, uno azul (dato previo) y uno rojo (semejante del anterior). Respecto a la representación:

• los vértices suelen denominarse con letras mayúsculas; 
• los lados, segmentos y rectas, con letras minúsculas, y además, con la misma letra que el vértice de enfrente. 
• Lo del sentido, horario o antihorario, no lo tengo claro... Lo investigaré. 
• Las rayitas perpendiculares a cada segmento indican una relación de paralelismo entre los elementos de la imagen: así, los elementos de la imagen con el mismo símbolo, son paralelos entre sí: Lados homólogos son paralelos: a es paralelo a a'; b esparalelo a b'; c es paralelo a c'.

Los lados: a y a' ; b y b';  c y c' son homólogos. Los ángulos A y A'; B y B'; C y C' son homólogos. En dos figuras semejantes, los puntos, los ángulos y los lados, se dicen "homólogos". Así pues, repetimos: Dos triángulos son semejantes cuando tienen:

•  sus ángulos homólogos, iguales, es decir:  A = A', B = B'; C = C'
• sus lados homólogos, proporcionales, es decir:  a/a'= b/b' = c/c'

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.

Y además, podemos considerar los siguientes criterios de semejanza: Dos triángulos son semejantes si:

• Si tienen dos ángulos iguales:  A=A'  ; B=B'
  
  
  
• Si tienen los tres lados proporcionales: a/a'= b/b' = c/c'

• Si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.

Teorema de Thales

Existen dos teoremas que se atribuyen a Thales de Mileto y reciben este mismo nombre:

• El primero explica la forma de obtener triángulos semejantes mediante la necesaria relación de proporción entre los lados homólogos de las figuras. "Los triángulos semejantes son los que tienen ángulos congruentes; esto deriva en que sus lados homólogos sean proporcionales y viceversa". Se enuncia de dos formas, mencionaremos un corolario y varias aplicaciones.
• El segundo teorema expone una propiedad de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos ("encontrándose aquellos en el punto medio de la hipotenusa"), lo que permite obtener ángulos rectos fácilmente. Este teorema también veremos importantes aplicaciones.

Teorema de Thales "1"

Enunciado 1 Teorema de Thales1: Congruencia ángulos y proporcionalidad lados

Si cortamos dos rectas cualesquiera por varias rectas paralelas del mismo plano, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos determinados en la otra y dichos segmentos se corresponden en la igualdad, en la suma y en la resta.

Enunciado 2 Teorema Thales 1: Congruencia ángulos y proporcionalidad lados
Si cortamos un triángulo por una recta paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen triángulos semejantes.

La razón de los perímetros de los triángulos semejantes, es igual a su razón de semejanza.

a/a' = b/b' = c/c' = (a+b+c) / (a'+b'+c') = p/p' = r

La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.

S/S'=r2

Corolario Teorema de Thales: Razón de semejanza constante.

La razón de semejanza, es decir, el cociente entre la longitud de los lados homólogos de figuras semejantes, es constante.

Aplicaciones: División segmento partes iguales y construcción Escalas gráficas.

La escala es la relación matemática entre las dimensiones del dibujo D y las de la realidad R que representa, es decir, es la razón de semejanza entre el dibujo y el objeto que representa.

E= D/ R

Llamamos "escala gráfica" a una representación dibujada de dicha razón de semejanza. ¿Cómo se construye una escala gráfica? Gracias al Teorema de Thales. 

Sobre un soporte rectilíneo representamos el objeto considerado.

En una recta auxiliar que parte de un extremo del segmento anterior pero con distinta dirección, llevamos tantas unidades como realmente mida el objeto representado.

Unimos los extremos libre de ambos segmentos y por cada unidad de la recta auxiliar, trazamos paralelas a la recta de unión de los extremos. 

Obtenemos así el módulo de la escala gráfica. La contraescala sería un módulo representado justo antes del 0 de nuestra escala gráfica y se suele subdividir en 10 partes iguales.

Es importante mostrar la escala gráfica en todo dibujo, sobre todo cuando se hacen ampliaciones o reducciones del mismo en la fotocopiadora, algo muy común en el ámbito de la arquitectura, para llevar planos más pequeños a la obra. Esto permite saber con exactitud la razón de semejanza y por tanto el  verdadero tamaño del objeto real, sin acumular errores.  Por ejemplo, vemos escalas gráficas en el google maps en la esquina inferior derecha.

Podríamos pedir como ejercicio, utilizando la escala gráfica y la proporcionalidad, hallar la distancia entre dos ciudades. Hacemos una captura de imagen del ámbito deseado en Google Maps. Insertamos la imagen en Geogebra. Sobre la escala gráfica dibujamos un segmento, cuya medida aparece en la vista algebraica. Entre las ciudades origen y destino dibujamos otro segmento cuya medida también vemos. Para saber la distancia real, basta una regla de tres: Si el segmento de escala gráfica que mide 0.3 ud del dibujo, equivale a 100 km, los 3.07 ud que mide el segmento incógnita, equivaldrán a los km buscados. 

Como comprobación, en Google Maps, la opción del botón derecho "medir distancia" nos indica la distancia en línea recta entre dos puntos. Veremos que resulta muy aproximada a la obtenida gráficamente.

Teorema de Thales "2".

Según el segundo teorema de Thales:

"Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC y centro O, distinto de A y de C. Entonces, el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo con el ángulo recto en B".

En la circunferencia de centro O y radio r, los segmentos OA, OB y OC son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia. Por lo tanto, los triángulos AOB y BOC son isósceles.

La suma de los ángulos de todo triángulo es 180º. Por tanto en el triángulo ABC:

α + (α + β) + β = 2α +2β= 180º

Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre 2 tenemos que:

el ángulo B = α + β = 90º

Quedando así demostrado el segundo teorema de Thales.

Corolario 1:

En todo triángulo rectángulo, la mediana (OB) de la hipotenusa es la mitad de la misma. 

Corolario 2:

En todo triángulo rectángulo, el circuncentro se encuentra en el punto medio de la hipotenusa.

Aplicaciones: 

• Arco Capaz de un segmento bajo un ángulo de 90º. Esta aplicación nos permite construir ángulos rectos y triángulos rectángulos.

• Potencia de un punto respecto a una circunferencia. Esta aplicación nos permite  determinar la recta tangente a una circunferencia  dada, pasando por un punto P dado. 

Teoremas derivados: Teoremas de la altura y del cateto.

En un triángulo rectángulo ABC, la altura AH desde el ángulo recto A hasta la hipotenusa BC divide al triángulo en otros dos menores, siendo los tres triángulos ABC, AHB y AHC, semejantes entre sí.  Para demostrarlo, basta comprobar en cada par de triángulos, que tienen dos ángulos homólogos iguales.

Por tanto, las medidas de sus lados homólogos están relacionadas:

                                           $$\frac { AB }{ BC } =\frac { BH }{ AB }$$

                                           $$\frac { AB }{ AC } =\frac { BH }{ AH }$$

Los teoremas de la altura y del cateto se basan en el teorema de Thales y son dos propiedades de gran importancia de los triángulos rectángulos. Nos serán de utilidad al estudiar inversiones y tangencias.

Se enuncian como sigue:

Teorema del Cateto.

En todo triángulo rectángulo se cumple que un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre ella. 

Teorema de la Altura.

En todo triángulo rectángulo se cumple que la altura es media proporcional entre los dos segmentos en que divide a la hipotenusa.