INTERSECCIÓN CONO-PLANO
La primera definición de cónica la dio Apolonio de Perga en el siglo III a.C, en su obra homónima "Las Cónicas". Basándose en un modelo espacial, define las cónicas como curvas planas resultantes de la intersección entre un cono y un plano.
El cono surge por la revolución de una recta generatriz g, alrededor de un eje con el que forma un ángulo α y al que interseca en el vértice V.
El plano P secante forma con el eje del cono un ángulo β; según β sea mayor, igual o menor que el ángulo α del cono, la sección cónica formada será elipse, parábola o hipérbola respectivamente.
Elipse: Puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante:
CURVAS
Son los lugares geométricos de los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal de centro el otro foco; el punto de tangencia entre ambas circunferencias es el punto simétrico del foco por el que pasa la primera, respecto a la tangente a la curva.
TF1 + TF2 = 2a
Hipérbola: Puntos del plano cuya diferencia de distancias a los focos es constante:
TF1 - TF2 = 2a
Parábola: Puntos T del plano que equidistan del foco F y de la directriz d:
TF = TSF
En la elipse, la suma de los radios vectores, es decir,
la suma de la distancias de un punto de la elipse a los focos, es constante.
En la parábola, la distancia de un punto de ella, al foco,
es igual a la distancia de ese punto de la parábola,
al simétrico del foco SF respecto a la tangente en dicho punto.
En la hipérbola, la diferencia de los radios vectores, es decir,
la diferencia de las distancias de un punto de la hipérbola a los focos,
es constante.
En la elipse, la suma de los radios vectores, es decir,
la suma de la distancias de un punto de la elipse a los focos, es constante.
En la parábola, la distancia de un punto de ella, al foco,
es igual a la distancia de ese punto de la parábola,
al simétrico del foco SF respecto a la tangente en dicho punto.
En la hipérbola, la diferencia de los radios vectores, es decir,
la diferencia de las distancias de un punto de la hipérbola a los focos,
es constante.
ELEMENTOS
Para quedar determinada toda cónica necesita de 5 datos que vendrán dados por alguno de sus elementos, principalmente: focos, vértices, tangente, directriz.
- Esferas de Dandelin o focales: Se trata de una o dos esferas tangentes a la vez al cono y al plano; el punto de tangencia con el plano es el foco de la cónica; el contacto con el cono es una circunferencia cuyo plano es perpendicular al eje del cono. La relación entre las esferas focales es de homotecia con centro de homotecia el vértice del cono.
- Foco: Punto desde el que se mantienen constantes ciertas distancias relacionadas con todos los puntos de la curva. No pertenece a la curva, pero sí al plano de ésta y está en el punto de tangencia de las esferas de Dandelin con el plano de la cónica. La distancia entre focos se conoce como 2c.
- Directriz: es una recta que resulta de la intersección entre el plano de la cónica y el plano de la circunferencia común a la esfera focal y al cono.
- Ejes: rectas ortogonales entre sí, respecto de la que son simétricos los puntos de la cónica.
- Vértice: Punto de la cónica que se encuentra en el plano de simetría del conjunto y pertenece al cono y a la curva. Los extremos del eje mayor, A1 y A2, distan entre sí 2a. Los extremos del eje menor, B1 y B2, distan a de los focos y 2b entre sí.
- Centro: Punto de intersección de los ejes de la cónica. No confundirlo con la intersección H del eje del cono con el plano P secante.
- Circunferencia focal (Cf): Tiene por centro un foco, por radio 2a y es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (SF) respecto de las tangentes a la curva.
- Circunferencia principal (Cp): Su centro es el de la cónica, su radio a, pasa por los vértices de la cónica y es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares desde los focos a las tangentes a la cónica. Circunferencia focal y principal son homotéticas con razón de homotecia 1/2 ó 2 y centro de homotecia el otro foco, el que no es centro de la focal.
- Recta tangente: Perpendicular a la bisectriz de los radios focales TF1 y TF2. Mediatriz del segmento entre un foco F y su simétrico SF en la focal cf. Las tangentes a la elipse pueden tener cualquier dirección. Las tangentes a la hipérbola tienen como límites las asíntotas, es decir, la dirección de la tangente varía entre el ángulo determinado por las asíntotas, el ángulo menor en que las asíntotas dividen al plano; la perpendicular a la dirección de la tangente de la hipérbola, se convierte en una tangente a la circunferencia focal cuando la tangente es la asíntota y los puntos de tangencia de la asíntota con la curva están en el infinito. La tangente de la parábola puede tener cualquier dirección salvo la paralela al eje, pues en ella los puntos de tangencia de la recta con la curva tienden al infinito.
DEMOSTRACIONES
Método del jardinero o trazado por suma de radios vectores.
La definición de elipse se demuestra visualmente muy fácilmente con el Método de trazado del Jardinero: se utiliza una cuerda de longitud igual al eje mayor de la elipse (2a), y fijados sus extremos a los focos, se dibuja la curva tensando la cuerda.Esta demostración aparece en la película Agora de 2009 de Alejandro Amenábar, que destaca el estudio y las aportaciones a la Geometría y la Astronomía, en el siglo IV a.C, de Hipatia de Alejandría, interpretada por Rachel Weisz.
Esferas focales
Las esferas focales o de Dandelin, tangentes a la vez al cono y al plano de la cónica, nos facilitan otra demostración visual, de la definición de la elipse, si observamos que:- La distancia O'1-O'2 entre los planos que contienen a las circunferencias de Dandelin (tangentes al cono y al plano de la cónica) es constante, por lo que la longitud del segmento de generatriz MN entre ellas, también será constante.
- Los segmentos tangentes desde cualquier punto de la cónica a cada una de las esferas focales, miden lo mismo, por lo que TF1 = TM siendo ambos segmentos, tangentes a la esfera superior desde un punto cualquiera T de la cónica; y TF2 = TN, siendo ambos segmentos, dos tangentes a la esfera inferior desde el mismo punto T de la cónica.
Imagen interactiva. Haz clic izquierdo y mantén pulsado sobre el punto T de la elipse,
mientras deslizas el ratón. Comprobarás que:
- La distancia MN es constante para cualquier posición de T.
- Si pinchas y mantienes apretado el botón derecho sobre el fondo blanco de la imagen, mientras deslizas el ratón, el conjunto orbitará y verás también que los focos F1 y F2 son los puntos de contacto (tangencia) de las esferas con el plano de la cónica.
EJERCICIOS
De los diversos ejercicios que se pueden plantear, proponemos los siguientes, en los que se pide determinar la cónica dados los focos y los vértices y una condición de tangencia.
- Dados los focos y una tangente, hallar los vértices y el punto de tangencia.
- Determinar la tangente que pase por P exterior a la curva.
- Determinar la tangente paralela a una dirección m dada.
En la imagen siguiente se resuelven los ejercicios anteriores de dos maneras cada uno: basándose en la circunferencia focal por un lado, y basándose en la circunferencia principal por otro.
elipse
hipérbola
parábola
- por circunferencia focal:
La circunferencia focal es conocida y podemos trazarla: tiene por centro un foco, por radio el eje mayor, 2a (coincide con la recta directriz si la curva es una parábola) y es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco respecto de la tangente a la curva.
P pertenece a la tangente buscada, por lo que su distancia al foco y al simétrico en la focal será igual. Los simétricos del foco están en la intersección con la focal de la circunferencia de centro P y radio PF.
La tangente buscada es la mediatriz del segmento entre un foco y su simétrico en la focal. El foco lo conocemos. Su simétrico no, pero sabemos que está en la circunferencia focal, y ésta sí es conocida.
En el caso de la parábola, en la directriz están los simétricos del foco, respecto a la tangente buscada, mediatriz entre ambos puntos.
- por circunferencia principal:
Por los pies de las perpendiculares a la dirección tangente desde los focos, pasa la tangente buscada.
La circunferencia principal y la focal son homotéticas y elementos homólogos de ellas están en radios paralelos, paralelismo que emplearemos para hallar los puntos de tangencia.
