Eje y centro radical

El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la recta base que une sus centros. Los puntos del eje radical son el lugar geométrico de:

• Los puntos del plano que tienen igual potencia respecto a las dos circunferencias dadas.
• Los puntos del plano desde los que los segmentos tangentes a dos circunferencias, miden igual.
• Los centros de circunferencias ortogonales a las dos dadas. Dos circunferencias son ortogonales cuando el radio de una es tangente a la otra circunferencia en los puntos de intersección.
• Los puntos medios de tangentes comunes a las circunferencias dadas.
• Los puntos del plano cuya diferencia de cuadrados de distancias a los centros de las circunferencias es constante.

Podemos demostrar que dicha diferencia de cuadrados de las distancias de los puntos del eje a los centro de las circunferencias es constante, basándonos en el teorema de Pitágoras y considerando diferentes triángulos rectángulos, como vemos en las siguientes imágenes:

Por Pitágoras, la diferencia constante de cuadrados de distancias de un punto a otros dos fijos, determina la recta "eje radical".

Es interesante fijarnos en que el Teorema de Pitágoras permite establecer las siguientes afirmaciones:

• si la suma de los cuadrados de las distancias de un punto a otros dos fijos, es constante, se determina una circunferencia.
• si la diferencia de los cuadrados de las distancias de un punto a otros dos fijos, es constante, se determina una recta llamada eje radical de las circunferencias con centro en los puntos fijos.

Casos Generales

En la siguiente imagen vamos a estudiar distintos casos de determinación del eje radical de dos circunferencias, dependiendo de su posición: secantes, tangentes o exteriores.

Los puntos donde dos circunferencias secantes se cortan, tienen igual potencia, nula, respecto al eje radical común, por pertenecer a ambas circunferencias (la distancia de ese punto a cada circunferencia es cero y el producto de mayor por menor distancia desde el punto a la circunferencia, es igualmente nulo).

En todos los casos, una circunferencia auxiliar secante con las dadas, permite determinar un punto de potencia común a ellas, que pertenecerá al eje radical buscado; con la otra condición necesaria dela perpendicularidad del eje con la recta base, el eje queda determinado.

Casos singulares:

También hemos analizado en la imagen superior distintos casos singulares por tratar a las circunferencias desde el punto de vista proyectivo. Así  el punto es una circunferencia de radio nulo y la recta es una circunferencia de radio infinito. Para determinar el eje radical en estos casos recurrimos a las mismas consideraciones anteriores, valiéndonos de una o dos circunferencias auxiliares secantes con las dos circunferencias dadas.