Transformaciones: Inversión

Definición de inversión

La inversión es una transformación que se basa en el concepto de potencia y en la que se cumple que:

• Dos puntos inversos P y P' están alineados con el centro de inversión I. (es una transformación con centro)

• Dos puntos y sus inversos son concíclicos, están en la misma circunferencia. Esta circunferencia que pasa por P y P' se dice que es doble o invariante en la inversión, porque la imagen inversa de cada punto de ella, es otro punto sobre la misma circunferencia. Así, dos puntos (P y Q por ejemplo, en la imagen superior) y sus inversos (P' y Q'respectivamente) son concíclicos (están en la misma circunferencia).

• Dados dos puntos P, Q y sus inversos P', Q', las rectas que unen los puntos entre sí y con sus respectivos inversos, son antiparalelas. 

• El producto de la distancia de P a I  por la distancia de P' a I, es constante y se llama potencia de inversión:    

 IP x IP' = IQ x IQ' = constante = potencia de inversión =  K² 

           Puesto que es constante, cuanto mayor sea IP, menor será IP'. Es decir, cuanto más alejado                   esté un punto P del centro de inversión I, más cerca estará su inverso P' de I.

• Existe una distancia para la cual un punto P y su inverso P' coinciden.  Se trata del punto de tangencia del rayo que parte de I hasta la circunferencia, cumpliéndose IT x IT = K²   .Por lo que IT es  K.  Todos los puntos situados a la misma distancia del centro de inversión que este punto T, son dobles. A este lugar geométrico se le llama Circunferencia de Autoinversión o de Puntos Dobles (CPD). Es decir, la circunferencia de autoinversión tiene por centro I y por radio IT, siendo T el punto de tangencia desde I a la circunferencia de puntos inversos, e IT  la raíz de la potencia de inversión,"k". Cualquier punto de la circunferencia de autoinversión (en rayitas rojas en la imagen inferior), tienen su imagen no sólo en ella, sino coincidente con el punto original. Los puntos diametrales de la circunferencia de autoinversión, son inversos.

• Inversión positiva o negativa

Si un punto y su inverso están al mismo lado del centro de inversión, la inversión es positiva y hay circunferencia de autoinversión.
       
Si  el centro de inversión está entre un punto y su inverso, la inversión es negativa  y no hay puntos dobles.

Es una transformación homográfica (conserva la naturaleza), conforme (conserva las relaciones angulares), involutiva (o reversible), con centro ( con el que están alineados un punto y su inverso).

Estudiaremos la inversión de puntos, de rectas y de circunferencias.

Inversión de Puntos

La inversión es un producto de distancias orientado, es decir, consideramos si el vector con origen en I y extremo en P tiene el mismo sentido o sentido opuesto que el vector con origen en I extremo en P'.

Si el punto P y su inverso P' están al mismo lado respecto del centro de inversión, la potencia de inversión es positiva. En este caso, la circunferencia de centro I y radio la raíz de la potencia, sí es de autoinversión (de puntos dobles). La construcción del inverso de P respecto respecto al centro de inversión I se puede verse como una aplicación práctica del teorema del cateto y la circunferencia de autoinversión.

Si el centro de inversión I está entre P y su inverso P', la potencia de inversión es negativa. En este caso, la circunferencia de centro I y radio k (raíz de la potencia de inversión), no es de autoinversión (no es de puntos dobles). Aplicando el teorema de la altura determinaremos pares de puntos inversos.

Inversión de Rectas 

Si la recta pasa por el centro de inversión
La inversión de una recta que contiene al centro de inversión, es la propia recta. Dicho de otro modo, toda recta que pase por el centro de inversión es invariante.

Si la recta NO pasa por el centro de inversión
La inversa de una recta que no contiene al centro de inversión es una circunferencia que lo contiene.

Sea una recta r que no pase por el centro de inversión I. Y sea P el pie de la perpendicular desde I a r y P' el inverso de P.
De cualquier otro punto Q perteneciente a la recta r, su imagen inversa Q' estará en la perpendicular desde P' a la recta IQ, cumpliéndose la semejanza de los triángulos IQ'P' con IPQ (ya que tienen dos ángulos iguales, uno recto y otro compartido). Por tanto se cumple la relación siguiente entre sus lados: IQ / IP = IP' / IQ'
Dicho de otro modo: IP x IP'  = IQ x IQ'
Y esto es así para cualquier punto de r, resultando que el lugar geométrico de todos los puntos inversos de la recta definen una circunferencia. Q' es el vértice del ángulo recto del triángulo rectángulo cuyos lados pasan por los puntos I y P'. El lugar geométrico de los vértices del ángulo recto cuyos lados pasan por un par de puntos fijos, es decir, el arco capaz del segmento IP' bajo el ángulo de 90º, es una circunferencia. Podemos decir, que la inversa de la recta r, es la circunferencia de diámetro IP', siendo P' el inverso del pie P de la perpendicular a r desde I.

Inversión de Circunferencias

Si la circunferencia contiene al centro de inversión
Conocemos el centro de inversión, la circunferencia de autoinversión y un punto P.
Queremos hallar la inversa de una circunferencia que pase por I y por P.
El punto P' inverso de P estará en la intersección de la tangente a la circunferencia de autoinversión con la prolongación de IP.

El inverso Q' de cualquier otro punto Q de la circunferencia estará en la intersección de la recta IQ con la perpendicular por P' a la recta IP.

Como la inversión es una transformación involutiva se cumple:

• La inversa de una recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que pasa por él y con centro en la perpendicular desde el centro de inversión a dicha recta.
• La inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión, es una recta que no pasa por él, de dirección perpendicular al diámetro que contiene al centro de inversión.

Si la circunferencia no contiene al centro de inversión

Su inversa es otra circunferencia, siendo el centro de inversión, el centro de homotecia que las relaciona.

El Inverso O' del centro O de una circunferencia c que no pasa por el centro de inversión, es el pie de la polar O'T' del centro de inversión respecto de la circunferencia inversa c'

Conformidad de la inversión

Una transformación es conforme, si el ángulo que forman dos elementos, es el mismo que el ángulo que forman los elementos transformados.
La inversión es una transformación conforme como demostramos mediante el antiparalelismo entre las rectas que unen dos puntos y sus inversos, resultando que dos puntos y sus inversos son concíclicos. Dicho de otro modo:

Las rectas que unen cuatro puntos de una circunferencia, son antiparalelas dos a dos.

Suponemos una curva que pasa por dos puntos P y Q. El segmento que los une es una cuerda de la curva. Si hacemos coincidir P y Q, la cuerda se convierte en la tangente a la curva y así, el ángulo que forma esta tangente con la recta que contiene al punto y su inverso, es el mismo que el que forma con la tangente a la curva inversa.
Una curva y su inversa forman el mismo ángulo con la recta que une cada par de puntos inversos.

Aplicando este razonamiento con dos curvas, y sus respectivas inversas, el ángulo que forman sus tangentes entre sí con el que forman las tangentes a las curvas inversas entre sí, son iguales:

Conformidad en la inversión: El ángulo que forman dos curvas es el mismo que el que forman sus curvas inversas.

Determinar una inversión
 1. Dado el Centro de Inversión I y un par de puntos inversos P, P', determinar el punto inverso de Q. 

Sabemos que: 

puntos inversos están alineados con el centro de inversión y que.

dos puntos y sus inversos son concíclicos,

Por la primera condición Q' estará en la recta IQ.
Por la segunda condición Q' estará en la circunferencia c que pasa por los puntos P, P' y Q, que tiene su centro C en la intersección de las mediatrices de las cuerdas PP' y PQ y por radio CQ.
Por tanto, Q' estará en la intersección de IQ con la circunferencia c.

2. Dado el Centro de Inversión I y el valor de la inversión IT, determinar el punto inverso de P.

Sabemos que: 

Puntos inversos están alineados con el centro de inversión .

La circunferencia de autoinversión  es ortogonal a la circunferencia de inversión que contiene a un punto cualquiera y su inverso.  Esto significa que las respectivas tangentes son ortogonales entre sí y T es el punto de intersección. Es decir, la perpendicular al radio IT por T tiene la dirección del radio de la circunferencia de inversión.

Por la primera condición P' estará en la recta IP.

Por la segunda condición, el centro C de la circunferencia de inversión, está en la intersección de la mediatriz de la cuerda PT con la perpendicular a IT por T.

Por tanto P' estará en la intersección de la circunferencia de inversión con IP.

3. Dados dos pares de puntos inversos P, P', Q, Q', determinar el punto inverso de R.

Sabemos que:

• El centro de inversión I está en la intersección de las rectas PP' con QQ'.
• Dos pares de puntos inversos son concíclicos (están en la misma circunferencia c).
• Un punto y su inverso están alineados con el centro de inversión

Por tanto, el inverso de R se encontrará en la intersección de I con la circunferencia de inversión c.