Cónicas. Elipse

La primera definición de cónica la dio Apolonio de Perga en el siglo III a.C en su obra homónima "Las Cónicas". En ella analizaba las cónicas como curvas planas resultantes de la intersección de un cono con una plano.

El cono está definido por un vértice V, un eje de revolución e, una recta generatriz g y el ángulo a que ésta forma con el eje e alrededor del cual gira. Tal como vemos en las secciones frontales siguientes, hay tres tipos de cónicas según la relación entre el ángulo del cono y el que forma el plano con el eje de la cónica: elipse, parábola, hipérbola.

Toda cónica necesita en general 5 datos para quedar determinada. Y toda cónica tiene una serie de puntos notables y elementos a conocer: centro, focos, vértices, eje, directriz, circunferencia focal, circunferencia principal.

Podemos considerar sendas esferas tangentes al plano y al cono a la vez. El punto de tangencia con el plano Pi son los focos de la elipse. Lo comprenderemos mejor en la siguiente figura:

Elementos de las cónicas

Centro O: punto medio entre los focos. intersección del eje del cono con el plano de la cónica Pi.
Foco F: punto de tangencia de la esfera tangente al cono y al plano, con el plano Pi.
Vértice A: punto de la cónica más alejado del centro.
Eje e: recta que une focos, centro y vértices.
Directriz d: recta intersección del plano Pi de la cónica con el plano de la circunferencia tangente común del cono y la esfera focal.

Circunferencia focal Cf es aquella que tiene por centro un foco y por radio 2a. También es el lugar geométrico de los puntos simétricos de los focos (SF) respecto de las tangentes a la curva. Hay dos circunferencias focales.

Circunferencia principal Cp es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares desde los focos a las tangentes a la cónica. Tiene por centro el centro de la cónica y por radio a, por lo que pasa por los vértices A1 y A2.

Circunferencia focal y principal son homotéticas, con razón de homotecia 1/2 ó 2. Cualquier punto de la circunferencia focal tiene otro punto homotético en la circunferencia principal.

Elipse. Definición y figura de análisis.

Vamos a estudiar más en profundidad la elipse. Podemos dar pues, tres definiciones de elipse:

• Intersección entre un cono y un plano con ángulo beta mayor que el del cono.
• Lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos F1 y F2 es constante (2a): TF1 + TF2 = 2a = cte.
• Lugar geométrico de los centros de circunferencias tangentes a la focal y que pasan por el otro foco. Además sabemos que el punto de tangencia entre las dos circunferencias es el simétrico del foco. Dicho de otro modo, las rectas tangentes a las cónicas son bisectrices del ángulo entre TF2 y TFS2

Las principales relaciones geométricas entre los elementos de la cónica los podemos estudiar en la siguiente figura de análisis.

Intersección recta-cónica

Si el simétrico de un foco está dentro de la circunferencia principal, la recta es secante con la cónica.
Si el simétrico de un foco pertenece a Cp, la recta es tangente a la cónica.
Si el simétrico de un foco está fuera de Cp, la recta es exterior a la cónica.

Problemas.

A continuación estudiaremos tres casos ejercicios tipo:
- Hallar la recta tangente a la cónica por un punto de ella.
- Hallar la recta tangente a la cónica por un punto exterior a ella.
- Hallar la recta tangente a la cónica con una dirección dada.