Tenemos facilidad para comprender gráficamente lo que supone la suma de segmentos y la diferencia de segmentos.
Gracias al Teorema de Thales comprendemos que el cociente de segmentos es una proporción, un número que compara tamaños de dos segmentos.
Pero, ¿y el producto de segmentos? El producto de segmentos es un área, una superficie, el tamaño de una porción de plano. Lo comprendemos cuando los segmentos forman un ángulo y una figura cerrada. Pero ¿y si los segmentos están alineados? ¿cuál es el área asociada? ¿y cuándo ocurre esta situación? Esta situación se da cuando medimos las distancias mayor y menor de un punto a una circunferencia. Introducimos así el concepto de Potencia de un punto respecto a una circunferencia.
La potencia de un punto respecto a una circunferencia alude al producto de distancias, es pues, un área, y se define como el producto de la menor por la mayor distancia del punto a la circunferencia y esto es así independientemente de la dirección de medida de las distancias del punto a la circunferencia. Pero eso sí, esta dirección de medida debe ser la misma para ambas medidas, mayor y menor, es decir, si A y B son los puntos de intersección de dicha dirección (recta) con la circunferencia, A el punto más próximo a P y B el punto más alejado de P, es condición necesaria que P, A y B estén alineados.
Repetimos:- Potencia de un punto P a una circunferencia del mismo plano es el producto de la menor por la mayor distancia de P a la circunferencia, independientemente de la dirección de medida (esto puede considerarse una generalización del concepto de potencia).
Lo explicamos:
Dados el punto P y la circunferencia c, dos rectas cualquiera que la cortan son las rectas r y s.
La recta r corta a la circunferencia en los puntos A (el más cercano a P en esa dirección) y B (el más lejano a P en esa dirección). PA es la menor distancia de P a la circunferencia en la dirección marcada por r. PB es la mayor distancia de P a la circunferencia en la dirección de r.
La recta s corta a la circunferencia en los puntos A' y B' siendo PA' la menor distancia de P a la circunferencia en la dirección de s, y PB' la mayor distancia de P a la circunferencia en la misma dirección.
Se forman dos triángulos: PBA' y PAB' que son semejantes. Son semejantes porque tienen dos ángulos iguales: el ángulo de vértice P y lados las rectas r y s, es común a ambos triángulos. Los ángulos B y B' son iguales porque pertenecen al mismo arco capaz del segmento AA'.
Como comparamos triángulos semejantes, entonces, podemos aplicar Thales. Y lo aplicamos comparando, en cada miembro de la igualdad,
- o bien segmentos del mismo triángulo (en numerado y denominador del cociente)
- o bien, segmentos homólogos de los triángulos semejantes comparados.
De esta manera comprobamos que siempre, el producto de la mayor, por la menor distancia de P a la circunferencia, es la misma, es constante, independientemente de la dirección de medida considerada, siempre y cuando los puntos P, A, B estén alineados, es decir, pertenezcan a la misma recta.
Alguien podría plantearse la duda de qué dirección elegir para medir esas distancias. Dos direcciones significativas desde un punto a una circunferencia del mismo plano son: Una, la radial, o diametral, que pasa por el centro de la circunferencia y nos aporta no sólo la menor, sino la mínima distancia de P a la circunferencia; y no sólo la mayor, sino la máxima distancia a la circunferencia. Otra, la de mínimo contacto, es decir, la dirección tangente a la circunferencia. Es considerando esa dirección tangencial, además, cuando podemos ver gráficamente y fácilmente, el valor de la potencia, como área, la del cuadrado de lado PT, gracias a los teoremas de Thales y del Cateto.
Cuando la dirección considerada es tangente a la circunferencia, los puntos de intersección con ella coinciden en uno llamado punto de Tangencia, que suele denominarse con la letra T. En este caso, la potencia será PT x PT =PT2 .
- La potencia de un punto respecto a una circunferencia es PT2 , independientemente de que el punto sea exterior o interior a la circunferencia.
Si el punto es interior a la circunferencia, sigue cumpliéndose que la potencia es el producto de la menor por la mayor distancia de P a la circunferencia, como vemos en la siguiente figura.
Otra importante consideración que debemos tener en cuenta y que justificaremos más adelante basándonos en los haces de circunferencias, es:
- Para toda circunferencia que pase por A y B alineados con P, la potencia es constante.
