Ejes radicales

Eje radical.

Definición.

Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano:
1. que tienen igual potencia respecto a dichas circunferencias.
2. que son centro de circunferencias ortogonales a las dadas.
3. desde los que se pueden trazar segmentos de igual longitud, tangentes a las circunferencias dadas.
4. que son puntos medios de las tangentes comunes a las dos circunferencias dadas.

1. 

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3. 4.

Posición del Eje Radical 

El eje radical de dos circunferencias es la recta perpendicular a la recta base (la que une los centros de las circunferencias dadas) por el punto H de ella, el cual dista HM de su punto medio M.

Demostración analítica (de que el lugar geométrico del eje radical es una recta) 

En el triángulo señalado, podemos considerar a su vez los triángulos POH y PHO', con ángulo recto en H. Se cumple que la distancia de P a los centros es la hipotenusa de dichos triángulos. 

Además, 00'=a, es una distancia fija para las dos circunferencias dadas, y también son fijas la posición del punto medio M y la distancia HM. Restando una expresión de otra:

En la figura superior puedes comprobar que la longitud de HM no varía aunque la posición de P en el eje radical ER cambie. Prueba a deslizar P sobre la recta ER del eje radical, pinchando en P y deslizando el ratón.

Consideramos ahora los triángulos indicados. Son rectángulos y por tanto se cumple:

Igualando ambos resultados en rojo, tenemos que la distancia a la que pasa el eje radical del punto medio del segmento que une los centros de las circunferencias dadas, es igual a:

Determinación gráfica del Eje Radical (ER)

Supongamos que nos dan dos circunferencias y nos piden hallar el eje radical, es decir, el lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto a ambas.

Tomamos una circunferencia auxiliar, que corte a las dos circunferencias dadas.
Recordamos que potencia de un punto respecto de una circunferencia es el producto de las distancias mayor por la distancia menor del punto a la circunferencia.Si el punto está en la circunferencia, la distancia del mismo a dicha circunferencia es 0, por tanto, la potencia de un punto respecto a una circunferencia a la que pertenece, es cero. Basándonos en esto, los dos puntos de corte de la circunferencia auxiliar con una de las circunferencias, pertenecerán al eje radical común a la circunferencia auxiliar y a esa circunferencia dada. Como comprobación, ha de ser perpendicular a la recta que une sus centros (recta base del par de circunferencias consideradas).

Repetimos proceso y razonamiento entre la circunferencia auxiliar y la segunda circunferencia dada.

La intersección de los dos ejes radicales auxiliares, nos da un punto por el que pasará el Eje Radical buscado (el de las dos circunferencias dadas).

Como debe ser perpendicular a la recta base (la que une los centros de las circunferencias dadas), obtenemos la solución.

Casos

Circunferencias secantes:

Circunferencias tangentes exteriores

Circunferencias tangentes interiores

Circunferencias interiores

Si una de las circunferencias es un punto:

Si las dos circunferencias tienen radio igual a cero, se trata de dos puntos, y el eje radical es la mediatriz.

Si una de las circunferencias tiene radio infinito, se trata de una recta. En este caso, la recta base es la recta perpendicular a la recta desde el centro de la otra circunferencia, y el Eje Radical coincidirá con la misma recta.

Enunciado

Circunferencia auxiliar y recta base (perpendicular a la recta)

Ejes radicales entre la circunferencia auxiliar y cada dato.

Solución

Centro radical

Es un punto con igual potencia respecto a 3 circunferencias dadas.

Enunciado

Circunferencia secante auxiliar

Ejes radicales de cada circunferencia con la auxiliar

Ejes radicales entre cada dos circunferencias dato

Solución: Centro radical de las tres circunferencias.

La entrada la he escrito basándome en las siguientes referencias:

1. Lugares geométricos: Diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos.
2. Lugar geométricos de la Suma/Diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos.
3. Geometría métrica: Eje radical de dos circunferencias.
4. Geometría métrica: Obtención del Eje radical de dos circunferencias.