Encontrar la circunferencia del haz hiperbólico dado por los puntos límite L1 y L2 que sea tangente a la circunferencia c dada.
Para encontrar las circunferencias del haz que sean tangentes a c, necesitamos encontrar los puntos de tangencia T en c.
Esos puntos son equidistantes del centro radical Cr, punto que tiene igual potencia respecto a las tres circunferencias (c y las 2 del haz buscadas).
La potencia es la distancia de Cr a los puntos límite.
El centro radical Cr está en la intersección de 2 ejes radicales:
- Uno, el eje radical de las dos circunferencias del haz (que es un dato)
- Dos, el eje radical de una de las circunferencias del haz, con la circunferencia c.
Una de las definiciones de Eje radical es la de lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto a cada circunferencia (siendo la potencia la distancia del punto del eje, al punto de tangencia de la circunferencia, sobre la recta tangente desde el punto). Y además, el eje radical debe ser perpendicular a la recta base que une los centros de las circunferencias.
El punto de tangencia desde L1 a c, lo hallamos con el arco capaz (en puntos). La potencia es el segmento L1T. Un punto del eje radical estará en la mitad de ese segmento.
Un punto del eje radical estará por definición en la mitad de este segmento L1T. Y la dirección la sabemos: perpendicular a la recta base que une L1 con el centro de c.
La intersección de los dos ejes radicales nos la el centro radical Cr, desde el que la distancia a las tres circunferencias (L1, L2 y c) es igual.
Averiguamos así los puntos de tangencia de las circunferencias del haz con la circunferencia dada c.
CR-L1 = CR-L2 = CR-T1 = CR-T2
En la intersección de la prolongación del radio de c que pasa por T1 y T2, con la recta base del haz, estarán los centros O1 y O2 de las circunferencias buscadas.
En el siguiente applet se puede mover el origen de la circunferencia c a lo largo del eje radicar ER azul dado. Se pueden analizar diferencias posiciones de los distintos elementos geométricos.
