2017 04 24_Cónicas1

EJERCICIO DE CÓNICAS I
Dada una elipse por sus dos focos F1 y F2 y una recta tangente t, determinar el punto de tangencia T y los vértices A1 y A2.

Tenemos 2 coordenadas de F1, 2 coordenadas de F2 y una dirección de t, 5 datos, por lo que la cónica está definida.
Conocemos tres definiciones de cónica:

• Intersección entre un cono y un plano.
• Lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos F1 y F2 es constante (2a).
• Lugar geométrico de los centros de circunferencias tangentes a la focal y que pasan por el otro foco. Además sabemos que el punto de tangencia entre las dos circunferencias es el simétrico del foco. Dicho de otro modo, las rectas tangentes a las cónicas son bisectrices del ángulo entre TF2 y TFS2

Por tanto, obtenemos el simétrico de un foco, respecto de t, por  ejemplo el F2.

El punto de tangencia T buscado está en la recta t y en la prolongación del radio focal F1-T al SF1.

La distancia entre F2 y SF1 es 2a (distancia del eje mayor de la cónica).

Basta llevar 2a sobre el eje entre F1 y F2 partiendo del centro, para obtener los vértices buscados A1 y A2.

2017 03 06_Haz Elíptico

EJERCICIO DE HACES DE CIRCUNFERENCIAS 1
Un haz elíptico de circunferencias corradicales está determinado por los puntos fundamentales "A" y "B". Determinar las circunferencias de su haz conjugado que pasan por el punto P.

• Razonar el número y las variaciones en las soluciones.
• Discutir diferentes formas de solucionar el problema.

Los puntos fundamentales de un haz elíptico son los puntos límite L1 y L2 del haz hiperbólico conjugado. L1 y L2 son las mínimas circunferencias (de radio cero) del haz hiperbólico. La recta que los une es la recta base del haz hiperbólico. La recta perpendicular a la recta base es el eje radical del haz.

El eje radical del punto P y el punto límite L1 (por ejemplo) es la mediatriz del segmento que los une.

La posición del centro radical determina la potencia de las tres circunferencias (las 2 del haz hiperbólico y el punto P - circunferencia de radio cero). Y el centro radical está en la intersección del eje radical del haz hiperbólico con el eje radical del punto P y el punto límite L1 .

Desde CR con centro y con radio CR-P = CR-L1, obtenemos una circunferencia del haz elíptico,

cuya tangente en P determina al cortara la recta base del haz hiperbólico, el centro de la circunferencia buscada. (Hemos usado la circunferencia del haz conjugado que pasa por P).

Otra forma de resolverlo es con la circunferencia ortogonal al haz (la que pasa por L1 y L2) y P.

Una circunferencia auxiliar que pase por P y corte a la circunferencia ortogonal,  tienen un ejer radical. Lo hallamos como vemos en la figura.

Este eje radical entre P y la ortogonal (también llamada "conjugada"), determina el centro O de la circunferencia buscada al cortar a la recta base del haz hiperbólico.

Entrada escrita basándome en el blog Piziadas de J.J.Aliaga y las applets de Geogebra de Fernando Meseguer Garrido.

2017 03 27_Haz hiperbólico tangente a circunferencia

EJERCICIO DE HACES DE CIRCUNFERENCIAS 2
Encontrar la circunferencia del haz hiperbólico dado por los puntos límite L1 y L2 que sea tangente a la circunferencia c dada.

Los puntos límite de un haz hiperbólico son las circunferencias del haz, que tienen menor radio: su radio es cero.

Para encontrar las circunferencias del haz que sean tangentes a c, necesitamos encontrar los puntos de tangencia T en c.

Esos puntos son equidistantes del centro radical Cr, punto que tiene igual potencia respecto a las tres circunferencias (c y las 2 del haz buscadas).

La potencia es la distancia de Cr a los puntos límite.

El centro radical Cr está en la intersección de 2 ejes radicales:
- Uno, el eje radical de las dos circunferencias del haz (que es un dato)
- Dos, el eje radical de una de las circunferencias del haz, con la circunferencia c.
Una de las definiciones de Eje radical es la de lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto a cada circunferencia (siendo la potencia la distancia del punto del  eje, al punto de tangencia de la circunferencia, sobre la recta tangente desde el punto). Y además, el eje radical debe ser perpendicular  a la recta base que une los centros de las circunferencias.
El punto de tangencia desde L1 a c, lo hallamos con el arco capaz (en puntos). La potencia es el segmento L1T. Un punto del eje radical estará en la mitad de ese segmento.

Un punto del eje radical estará por definición en la mitad de este segmento L1T. Y la dirección la sabemos: perpendicular a la recta base que une L1 con el centro de c.

La intersección de los dos ejes radicales nos la el centro radical Cr, desde el que la distancia a las tres circunferencias (L1, L2 y c) es igual. 

Averiguamos así los puntos de tangencia de las circunferencias del haz con la circunferencia dada c.

CR-L1 = CR-L2 = CR-T1 = CR-T2

En la intersección de la prolongación del radio de c que pasa por T1 y T2, con la recta base del haz, estarán los centros O1 y O2 de las circunferencias buscadas.

En el siguiente applet se puede mover el origen de la circunferencia c a lo largo del eje radicar ER azul dado. Se pueden analizar diferencias posiciones de los distintos elementos geométricos.

Problema 2: Hexágono en diédrico.

Dadas las proyecciones siguientes en el sistema diédrico, completar el resto de proyecciones del hexágono regular al que pertenecen.

Problema 1: Dividir la circunferencia (Thales)

Aquí os planteo un ejercicio: Dividir una circunferencia en n partes iguales.

Para resolverlo debemos usar el Teorema de Thales, conceptos de Topología o Pertenencia y las operaciones de Proyectar y Seccionar.