Teorema del Cateto y Teorema de la Altura

PROPORCIONALIDAD

Visualmente es sencillo comprender la suma o la resta de medidas.

La noción de semejanza y el Teorema de Thales nos introducen el concepto de proporcionalidad que nos permite resolver relaciones de medidas entre segmentos.

La proporción es relación, cociente, fracción entre medidas, número racional, entendida como expresión algebraica de las proporciones que establecen dichos conceptos de semejanza y Thales.

Cuarto proporcional: es la incógnita que hace cumplirse una igualdad de cocientes. También se conoce como "regla de tres".

x / a = b / c

x = a·b/c

Tercera proporcional: es la igualdad de cocientes en que a ambos lados de la igualdad se repite un operando que no es la incógnita.

x / a = a / b

x = a·a/b

Media proporcional: es la igualdad de cocientes en que la incógnita x aparece a ambos lados de la igualdad.

x / a = b / x 

x = √(a·b)

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

El concepto de arco capaz nos permite obtener un triángulo rectángulo, partiendo de su hipotenusa. Ésta es el segmento que se observa bajo el ángulo recto inscrito en el arco de centro el punto medio de la hipotenusa y radio la mitad de la misma.

Necesitamos un dato más para concretar un único triángulo rectángulo, por ejemplo la altura del triángulo. Ésta se define como la recta perpendicular a un lado del triángulo, pasando por el vértice opuesto.

Esta altura CH nos permite encontrar tres triángulos rectángulos semejantes: ACB, AHC, CHB.

ACB y AHC son semejantes porque tienen dos ángulos iguales: uno recto y A compartido.

ACB y CHB son semejantes porque tienen dos ángulos iguales: uno recto y B compartido.

AHC y CHB son semejantes porque tienen dos ángulos iguales: uno recto y A = C (los ángulos cuyos lados son perpendiculares, determinan aberturas iguales - CH es perpendicular a AB y BC es perpendicular a AC) 

Aplicando Thales a los tres triángulos,  podemos enunciar el Teorema del Cateto y el Teorema de la Altura, que nos serán de gran utilidad en relación con la Potencia de un punto respecto a una circunferencia, o para resolver el PFT, Problema Fundamental de Tangencias.

TEOREMA DEL CATETO

En un triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de ese cateto sobre ella.

TEOREMA DE LA ALTURA

En un triángulo rectángulo, la altura medida sobre la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que la divide.