Geometría proyectiva. Ternas. Razón simple.

La Geometría Proyectiva se basa en el Teorema de Thales que establece la relación de medidas, es decir, proporciones.

Llamamos terna de elementos, a la relación entre tres elementos del mismo tipo.

Conceptualmente, se puede entender la terna de tres puntos como la comparación entre la medida del segmento determinado por primer y segundo punto comparada con la medida del segmento formado por el primer y tercer punto, es decir, "el primer segmento es tantas veces el segundo".  Si el resultado del cociente es un número inferior a 1, por ejemplo 0,5, entonces el segundo segmento, el que situaríamos en el denominador, sería el doble de tamaño que el primero.

Es importante destacar dos aspectos:

• Categoría: los tres son elementos de la misma categoría (3 puntos o 3 rectas o 3 planos)
• Orden: el orden en que disponemos o enunciamos la terna es fundamental, ya que determina la característica o valor numérico asociado, que es el resultado del cociente. Por eso siempre se enuncia como "terna ordenada de elementos" y se escribe como sigue:

La característica de una terna ordenada de tres puntos es el cociente entre la longitud del segmento determinado por el primer y el segundo punto enunciados, y la longitud del segmento determinado por el primer y el tercer punto enunciado.

terna ordenada de puntos (ABC) = AB / AC = λ

El valor o característica de la terna ordenada de tres rectas es el cociente entre el seno del ángulo formado por las dos primeras rectas y el seno del ángulo formado por la primera y la tercera recta:

terna ordenada de rectas (abc) = sen (ab) / sen (ac) =  λ

El valor o característica de la terna ordenada de tres planos es el cociente entre el seno del ángulo formado por los dos primeros planos y el seno del ángulo formado por el primer plano y el tercero:

terna ordenada de planos (αβγ) = sen (αβ) / sen (αγ) =  λ

El valor de la terna de rectas (abc) concurrentes en un vértice V, es diferente del valor de la terna de puntos (ABC) intersección del haz de rectas (abc) con otra recta r secante.

 Veamos por qué:

Consideremos el siguiente haz o terna de rectas (abc) concurrentes en el vértice V.

Podemos considerar los puntos A, B, C dados, como proyecciones de V según distintos rayos proyectantes. A, B y C serían las proyecciones o perspectivas de V según dichos rayos proyectantes.
Si seccionamos una terna de rectas (abc) concurrentes en V, por dos rectas r y s no paralelas, las ternas de puntos intersección resultantes (ABC) y (A'B'C'), tienen distinta característica entre sí y que la terna de rectas. Es decir: 

CONSERVACIÓN DE LA RAZÓN SIMPLE (abc) = (ABC)

Se dice que se conserva la razón simple cuando la terna de rectas (abc) tiene igual valor que la terna de puntos intersección (ABC), lo que sucede cuando la razón VC / VB es 1. Esto se cumple en los dos casos siguientes:

• Proyección cilíndrica: una terna de rectas (abc), paralalelas, cuyo punto de intersección V está en el infinito (es un punto impropio), cortada por las rectas concurrentes r, s.

• Proyección cónica:  una terna de rectas (abc) concurrentes en el vértice propio V, cortada por rectas paralelas r, s.

(abc) = (ABC) = (A'B'C')

    
    proyección cilíndrica (V en el infinito)          proyección cónica (V es vértice propio)

Ángulos

Geometría es la disciplina matemática que mide ("metría") la tierra ("geo"), para lo que emplea un lenguaje de elementos gráficos (punto, recta, curva, superficie plana, superficie curva), con los que se representan figuras (que tendrán una posición, una medida, una forma) y se podrán relacionar mediante conceptos comparativos como igualdad (mismo tamaño y misma forma), equivalencia (misma medida), proporción (medidas relacionadas), semejanza (medidas relacionadas y misma forma).

La posición es el lugar geométrico. La posición de un punto queda determinada por dos coordenadas en el plano y por tres en el espacio. Una recta indica la dirección y queda definida por dos puntos. La posición relativa de una recta respecto a otra queda determinada por el ángulo entre ambas.

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas del mismo que tienen el mismo punto de origen o vértice. Se miden en radianes, grados sexagesimales o grados centesimales. Tiene que ver con el concepto de intersección de elementos de una superficie y permite establecer su posición relativa (dos rectas, recta y circunferencia, dos circunferencias), como vemos a continuación.

El ángulo entre dos rectas siempre se da como el menor de los que se determinan. Este es el problema básico al que se reducen muchos de los de intersección de elementos en el plano.

Imagen interactiva. Pincha y arrastra los puntos azules 
para cambiar el tamaño del ángulo.

El ángulo entre una recta y una circunferencia que se cortan, es el que forma la recta con la tangente a la circunferencia en uno de los puntos de intersección.

Imagen interactiva. Pincha y arrastra los puntos azules 
para cambiar el tamaño del ángulo.

El ángulo entre dos circunferencias que se cortan, es el que forman sus tangentes en cualquiera de sus puntos de intersección.

Imagen interactiva. Pincha y arrastra los puntos azules 
para cambiar el tamaño del ángulo.

La recta tangente y el radio que pasa por el punto de tangencia T, son ortogonales,  forman 90º.

Arco Capaz de un semento AB visto bajo un ángulo α

Geometría es la disciplina matemática que mide ("metría") la tierra ("geo"), para lo que emplea un lenguaje de elementos gráficos (punto, recta, curva, superficie plana, superficie curva), con los que se representan figuras, que tendrán una posición, una medida, una forma y se podrán relacionar mediante conceptos comparativos como igualdad (mismo tamaño y misma forma), equivalencia (misma medida), proporción (medidas relacionadas) y semejanza (misma forma y medidas relacionadas).

La posición es el lugar geométrico. La posición de un punto queda determinada por dos coordenadas en el plano, y por tres en el espacio. La posición relativa de una recta respecto a otra queda determinada por el ángulo entre ambas, definiéndose ángulo como la parte del plano comprendida entre dos semirrectas del mismo que tienen el mismo punto de origen o vértice.

La medida es el tamaño. La medida de un segmento es su longitud y la de un plano es su área. Hemos visto la importancia del Teorema de Pitágoras a² = b² + c²  para:
- determinar las medidas de un segmento, a = (b² + c²)^1/2  (introducción a números irracionales)
- determinar las medidas de una superficie o área (distancia al cuadrado),  a² = superficie
- determinar la forma de una circunferencia (R² = x² + y²).

La forma queda determinada por segmentos - rectos o curvos ("lados de la figura"), y por los vértices entre ellos. Dos figuras con la misma forma pero distinto tamaño se dice que son semejantes. 

La proporción es la relación de tamaños entre figuras con la misma forma. Algebráicamente es un cociente de medidas y representa la razón de semejanza o escala, es decir, el número de veces que una figura es más grande que la otra con la que se compara.

Hemos visto la importancia de la semejanza de triángulos y del Teorema de Thales que nos habla de proporcionalidad entre lados de triángulos semejantes. Tiene que ver con el concepto matemático de cociente.

Arco Capaz

Introducimos un concepto más: Arco Capaz de un segmento visto bajo un ángulo  α .

El arco capaz de un segmento AB bajo un ángulo alfa, es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve el segmento AB bajo el mismo ángulo α.

Para explicar el concepto partimos de dos datos: un segmento y un ángulo bajo el cual se ve el segmento.

La forma que tienen el conjunto de puntos que cumplen la condición de arco capaz (abarcar el mismo segmento AB y mantener constante el ángulo alfa) es la de un arco de circunferencia. El segmento AB será una cuerda de esa circunferencia. 

Necesitamos considerar dos aspectos:

• El centro de una circunferencia está en la intersección de las mediatrices de dos cuerdas cualesquiera de la circunferencia.
• La recta tangente al arco y el radio que pasa por el punto de tangencia T, son ortogonales.

Sabiendo esto,  el arco capaz del segmento AB bajo el ángulo alfa se muestra en naranja en la siguiente figura. El ángulo alfa se mantiene constante.  El "arco capaz" tendrá su centro en la intersección de la mediatriz a AB con la perpendicular en A o en B a la tangente a la circunferencia buscada.

Observando la figura, vemos que al desplazarse el ángulo de vértice P hasta uno de los extremos del segmento dado AB, un lado coincide con la cuerda y el otro lado forma con ella el mismo ángulo α y determina la dirección tangente al arco. 

Teniendo en cuenta esto, podremos encontrar el centro C del arco buscado como intersección de la mediatriz a AB y la perpendicular r a la recta tangente t en un extremo de AB, la cual forma con el segmento dado AB el ángulo dado α. 

El arco capaz de un segmento AB visto bajo un ángulo de 90º, es una semicircunferencia que tiene el centro en el punto medio de AB. Como vemos en la figura siguiente, la perpendicular a la tangente al arco en un extremo del segmento, coincide con él. Esta recta r se corta con la mediatriz m a AB en el punto C, punto medio de AB. El arco que tiene por centro C y pasa por los punto A y B es la semicircunferencia c, arco capaz de AB bajo 90º.

Aplicaciones del Arco Capaz: 

Recta tangente a una circunferencia desde un punto P.

Podemos utilizar el arco capaz de 90º para determinar la recta tangente a una circunferencia dada, desde un punto P dado. El punto de tangencia T buscado pertenecerá a la circunferencia dada y será el encuentro de radio y tangente, que forman 90º. El radio parte del centro. La tangente parte de P. por tanto tenemos un triángulo PTC rectángulo en T y del que PC es hipotenusa. Por tanto la hipotenusa se ve bajo un ángulo de 90º y se puede construir su arco capaz. Éste intersecta con la circunferencia dada en T. El punto de tangencia pertenecerá a la circunferencia c y al arco capaz de PC.

Problema Fundamental de Tangencias (PFT): PPr (ABr)

El problema consiste en determinar la circunferencia que pase por dos puntos dados A y B y sea (1)  perpendicular / tangente a una recta r dada. 

Para resolver el  problema emplearemos los conceptos siguientes:

Centro como intersección de mediatrices de cuerdas de la circunferencia buscada.

A y B pertenecerán a la circunferencia c buscada, luego el segmento AB es una cuerda de c. El centro de toda circunferencia está en la intersección de las mediatrices de dos cuerdas cualesquiera. Por lo tanto, sabemos que C estará en dicha mediatriz del segmento AB.

Circunferencia definida por 3 puntos.

Para determinar una circunferencia en el plano, necesitamos 3 puntos. Dos ya los conocemos, son los datos, A y B. La condición de que la recta r y la circunferencia buscada sean tangentes, significa que son secantes en un único punto T, llamado punto de tangencia. T es el tercer punto buscado y en él, el radio de la circunferencia corta a la recta r de manera perpendicular.

Potencia de un punto P respecto a una circunferencia c.

Por el concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia sabemos que:

• La potencia W_p² es el producto de la distancia menor por la distancia mayor del punto a la circunferencia. 

Potencia =  PA · PB 

• La potencia W_p² es un área de valor equivalente al cuadrado de PT (por Pitágoras):

Potencia = W_p² = PT ²

• La potencia es constante (por el Arco Capaz y  Thales). Dicho de otro modo, la potencia de P, respecto de cualquier circunferencia que pase por A y B, es la misma:

Potencia = PA · PB = PT ²= constante

Utilizamos una circunferencia c₁ auxiliar de cualquier radio que pase por AyB y averiguamos la potencia PT₁ de P respecto a ella, que será la misma que para la circunferencia buscada. Llevamos PT₁ sobre nuestra recta de partida r, encontrando así el punto de tangencia T. Como sabemos, mediatriz a una cuerda y perpendicular a una tangente, intersectan en el centro de la circunferencia buscada.

Teorema del Cateto y Teorema de la Altura

PROPORCIONALIDAD

Visualmente es sencillo comprender la suma o la resta de medidas.

La noción de semejanza y el Teorema de Thales nos introducen el concepto de proporcionalidad que nos permite resolver relaciones de medidas entre segmentos.

La proporción es relación, cociente, fracción entre medidas, número racional, entendida como expresión algebraica de las proporciones que establecen dichos conceptos de semejanza y Thales.

Cuarto proporcional: es la incógnita que hace cumplirse una igualdad de cocientes. También se conoce como "regla de tres".

x / a = b / c

x = a·b/c

Tercera proporcional: es la igualdad de cocientes en que a ambos lados de la igualdad se repite un operando que no es la incógnita.

x / a = a / b

x = a·a/b

Media proporcional: es la igualdad de cocientes en que la incógnita x aparece a ambos lados de la igualdad.

x / a = b / x 

x = √(a·b)

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

El concepto de arco capaz nos permite obtener un triángulo rectángulo, partiendo de su hipotenusa. Ésta es el segmento que se observa bajo el ángulo recto inscrito en el arco de centro el punto medio de la hipotenusa y radio la mitad de la misma.

Necesitamos un dato más para concretar un único triángulo rectángulo, por ejemplo la altura del triángulo. Ésta se define como la recta perpendicular a un lado del triángulo, pasando por el vértice opuesto.

Esta altura CH nos permite encontrar tres triángulos rectángulos semejantes: ACB, AHC, CHB.

ACB y AHC son semejantes porque tienen dos ángulos iguales: uno recto y A compartido.

ACB y CHB son semejantes porque tienen dos ángulos iguales: uno recto y B compartido.

AHC y CHB son semejantes porque tienen dos ángulos iguales: uno recto y A = C (los ángulos cuyos lados son perpendiculares, determinan aberturas iguales - CH es perpendicular a AB y BC es perpendicular a AC) 

Aplicando Thales a los tres triángulos,  podemos enunciar el Teorema del Cateto y el Teorema de la Altura, que nos serán de gran utilidad en relación con la Potencia de un punto respecto a una circunferencia, o para resolver el PFT, Problema Fundamental de Tangencias.

TEOREMA DEL CATETO

En un triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de ese cateto sobre ella.

TEOREMA DE LA ALTURA

En un triángulo rectángulo, la altura medida sobre la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que la divide.

Potencia de un punto respecto a una circunferencia

La potencia W_p² de un punto P respecto de una circunferencia c es el producto de la menor distancia m por la mayor distancia n del punto P a la circunferencia c. 

Expresado algebráicamente tendríamos:

Potencia = W_p²= m · n

P exterior a la circunferencia

Analicemos un punto P, exterior  a la circunferencia,

Como vemos en la figura, P es exterior a la circunferencia, los puntos A y B pertenecen a ella y están alineados con P, perteneciendo los tres puntos A, B y P a la misma recta. Además: 

R = radio de la circunferencia c

d  = PC

m = PA = d - R

n  = PB = d + R

Por lo que podemos expresar la potencia, como sigue:

                   Potencia = W_p² = m · n = (d-R) · (d+R) = d² - R² 

La diferencia de medidas al cuadrado, d² – R² , alude al Teorema de Pitágoras, es decir a un triángulo rectángulo, el cual encontramos mediante el arco capaz. 

La hipotenusa del triángulo rectángulo será d = PC, un cateto R y el otro W_p.

El vértice T del ángulo recto del triángulo pitagórico buscado, pertenecerá a la circunferencia y al arco capaz del punto P respecto a la circunferencia c. 

La longitud del segmento PT, que llamamos W, será, elevada al cuadrado, la potencia W² del punto P respecto a la circunferencia c. 

Como vemos en la figura anterior, la potencia es un área de valor equivalente a la del cuadrado de lado W, es decir el cuadrado de la longitud del segmento PT tangente a la circunferencia. El concepto de Potencia alude al producto de distancias.

Punto P interior a la circunferencia

Consideremos ahora un punto P, interior a una circunferencia c. Si la potencia es el producto de las distancias menor m y mayor n a la circunferencia c, como vemos en la figura:

m= PA = R - d

n = PB = R + d

d = PC

Por lo que de nuevo, podemos expresar el producto m·n como una suma por diferencia, por tanto una diferencia de cuadrados:

Potencia = m · n = (R - d) · (R + d) = R² – d² = - (d² - R²)

Y toda diferencia de cuadrados alude al triángulo pitagórico, que en este caso tiene el ángulo recto en P, como hipotenusa el radio R  y un cateto es d. El otro cateto, PT= W_p es el lado del cuadrado cuya área es equivalente a la Potencia W²  buscada, es decir el resultado del producto m·n.

Generalización del concepto de potencia

La potencia de un punto P respecto de una circunferencia c, es el producto de la menor "m" por la mayor "n" de las distancias del punto P a la circunferencia c.

Igual que esta definición es válida para un punto P cualquiera, tanto interior, como exterior a la circunferencia, también lo es para cualquier recta que pase por P y sea secante a c, pase por el centro C de la circunferencia, o no.

La potencia del punto P a la circunferencia c es independiente de la recta elegida.

Podemos demostrarlo gracias al concepto de Arco Capaz y al Teorema de Thales.

Dados un punto P y una circunferencia c, consideramos un par de rectas r y s, secantes en A y B la primera, r, y en C y D  la segunda, s.

La circunferencia es el arco capaz del segmento BC, que se verá bajo el mismo ángulo α desde cualquier punto del arco. Dicho de otro modo, cualquier ángulo inscrito en dicho arco capaz, tiene el mismo valor α.

Se determinan así dos triángulos PAC y PBD que comparten un ángulo, el del vértice P y tienen otro ángulo de igual valor, el que está en la circunferencia: el ángulo de vértice A en el triángulo PAC y el ángulo de vértice D del triángulo PBD. Dos triángulos que tienen dos ángulos iguales, son semejantes y por tanto se puede aplicar el Teorema de Thales:

PA / PC = PD / PB

n / m' = n' / m

m·n = m'·n'

PA · PB = PC · PD = constante

PA es la mayor distancia n de P a c, en la recta r.

PB es la menor distancia m de P a c, en la recta r.

PC es la menor distancia  m' de P a c, en la recta s.

PD es la mayor distancia n' de P a c, en la recta s.

n · m =  W_p² = m' · n' = constante

Lo que demuestra que la potencia de un punto P respecto a la circunferencia c, es independiente de la recta elegida.

Ángulo, Thales, Pitágoras

En geometría hablamos de conceptos "absolutos" como  posición, orientación, tamaño y forma. 
Y hablamos de conceptos comparativos como igualdad (mismo tamaño y misma forma), equivalencia (mismo tamaño), proporcionalidad (tamaños relacionados), semejanza (misma forma y tamaños relacionados).

ÁNGULO

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas del mismo que tienen el mismo punto de origen o vértice.  Se mide en radianes, grados sexagesimales o grados centesimales. Tiene que ver con el concepto de intersección de elementos de una superficie y permite establecer su posición relativa (dos rectas, recta y circunferencia, dos circunferencias).

• El ángulo entre dos rectas siempre se da como el menor de los que determinan.
• El ángulo que forman una recta y una circunferencia que se cortan, es el que forma la recta con la tangente a la circunferencia en uno de los puntos de intersección.
• El ángulo que forman dos circunferencias que se cortan, es el que forman sus tangentes en cualquiera de sus puntos de intersección.

TEOREMA DE THALES

El teorema de Thales es la base de la geometría proyectiva.

Para comprenderlo debemos aclarar el concepto de semejanza de triángulos: Dos triángulos son semejantes si tienen los tres ángulos iguales y los lados homólogos proporcionales.
O si se cumplen las condiciones de semejanza siguientes:

• dos ángulos iguales
• tres lados proporcionales
• dos lados proporcionales y el ángulo comprendido, igual.

Debemos saber que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º sexagesimales, por lo que si dos triángulos tienen dos lados iguales, el tercero también lo es.

Así, el Teorema de Thales se enuncia como sigue: Si en un triángulo cualquiera, se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene otro triángulo semejante al primero. O enunciado de otro modo: Si cortamos dos rectas cualesquiera por varias rectas paralelas, los segmentos correspondientes en ambas son proporcionales y se corresponden en la igualdad, en la suma y en la resta.

El concepto de semejanza (misma forma, tamaños relacionados) genera el de escala. La escala E es la relación matemática entre las dimensiones del dibujo D y las de la realidad R que representa: E=D/R

TEOREMA DE PITÁGORAS  a² = b² + c²

Si Thales habla de proporciones y es la base de la geometría proyectiva, Pitágoras habla de números y es la base de la geometría métrica. Su teorema establece que:

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Establece la relación métrica entre los lados de un triángulo rectángulo. Se han hecho múltiples demostraciones del mismo y es aplicable a diferentes ámbitos: distancias, áreas, circunferencias.

Distancias: Con el teorema podemos deducir distancias, las medidas de los lados de un triángulo rectángulo: H = (C₁ ² + C₂²)^1/2

Áreas: Con el teorema podemos calcular áreas, la de los cuadrados cuyos lados miden lo que mide cada lado del triángulo pitagórico. Al elevar al cuadrado una distancia da como resultado un área: la de la figura cuadrada de lado esa distancia. El teorema a² = b² + c² expresa que el área de un cuadrado de lado “a” es igual a la suma de las áreas de dos cuadrados, uno de lado “b”y otro de lado “c” . Es uno de los teoremas que se ha demostrado de más formas. Una de las más visuales es la que muestra el vídeo siguiente:

Circunferencias:  Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto del mismo plano llamado centro, en una distancia constante llamada radio. El teorema de Pitágoras representa la ecuación de una circunferencia, R² =x² + y²   donde el radio R es la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos x, y, coordenadas de los puntos P, que pertenecen a esa circunferencia.

                      

El teorema de la altura, establece que en un triángulo rectángulo, la altura medida sobre su hipotenusa, es media proporcional entre los dos segmentos en que la divide.  BH/AH  = AH/HC

El teorema del cateto establece que en un triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección del dicho cateto sobre la hipotenusa  BC/AB = AB/BH