Geometría proyectiva. Ternas. Razón simple.

La Geometría Proyectiva se basa en el Teorema de Thales que establece la relación de medidas, es decir, proporciones.

Llamamos terna de elementos, a la relación entre tres elementos del mismo tipo.

Conceptualmente, se puede entender la terna de tres puntos como la comparación entre la medida del segmento determinado por primer y segundo punto comparada con la medida del segmento formado por el primer y tercer punto, es decir, "el primer segmento es tantas veces el segundo".  Si el resultado del cociente es un número inferior a 1, por ejemplo 0,5, entonces el segundo segmento, el que situaríamos en el denominador, sería el doble de tamaño que el primero.

Es importante destacar dos aspectos:

• Categoría: los tres son elementos de la misma categoría (3 puntos o 3 rectas o 3 planos)
• Orden: el orden en que disponemos o enunciamos la terna es fundamental, ya que determina la característica o valor numérico asociado, que es el resultado del cociente. Por eso siempre se enuncia como "terna ordenada de elementos" y se escribe como sigue:

La característica de una terna ordenada de tres puntos es el cociente entre la longitud del segmento determinado por el primer y el segundo punto enunciados, y la longitud del segmento determinado por el primer y el tercer punto enunciado.

terna ordenada de puntos (ABC) = AB / AC = λ

El valor o característica de la terna ordenada de tres rectas es el cociente entre el seno del ángulo formado por las dos primeras rectas y el seno del ángulo formado por la primera y la tercera recta:

terna ordenada de rectas (abc) = sen (ab) / sen (ac) =  λ

El valor o característica de la terna ordenada de tres planos es el cociente entre el seno del ángulo formado por los dos primeros planos y el seno del ángulo formado por el primer plano y el tercero:

terna ordenada de planos (αβγ) = sen (αβ) / sen (αγ) =  λ

El valor de la terna de rectas (abc) concurrentes en un vértice V, es diferente del valor de la terna de puntos (ABC) intersección del haz de rectas (abc) con otra recta r secante.

 Veamos por qué:

Consideremos el siguiente haz o terna de rectas (abc) concurrentes en el vértice V.

Podemos considerar los puntos A, B, C dados, como proyecciones de V según distintos rayos proyectantes. A, B y C serían las proyecciones o perspectivas de V según dichos rayos proyectantes.
Si seccionamos una terna de rectas (abc) concurrentes en V, por dos rectas r y s no paralelas, las ternas de puntos intersección resultantes (ABC) y (A'B'C'), tienen distinta característica entre sí y que la terna de rectas. Es decir: 

CONSERVACIÓN DE LA RAZÓN SIMPLE (abc) = (ABC)

Se dice que se conserva la razón simple cuando la terna de rectas (abc) tiene igual valor que la terna de puntos intersección (ABC), lo que sucede cuando la razón VC / VB es 1. Esto se cumple en los dos casos siguientes:

• Proyección cilíndrica: una terna de rectas (abc), paralalelas, cuyo punto de intersección V está en el infinito (es un punto impropio), cortada por las rectas concurrentes r, s.

• Proyección cónica:  una terna de rectas (abc) concurrentes en el vértice propio V, cortada por rectas paralelas r, s.

(abc) = (ABC) = (A'B'C')

    
    proyección cilíndrica (V en el infinito)          proyección cónica (V es vértice propio)