Determinación de circunferencias de radio conocido con condiciones angulares.
Condiciones angulares entre rectas y circunferencias
Condición de tangencia.
Antes de analizar cualquier problema geométrico, hemos de saber los grados de libertad de las figuras implicadas. Para determinar una circunferencia necesitaremos tres restricciones geométricas: dos restricciones de posición del centro de la circunferencia (x, y) y una restricción de tamaño (la longitud del radio).
Establecer condiciones angulares significa determinar el ángulo que debe formar la figura buscada con otra dada.
El ángulo que forma una curva con una recta es igual al que forma la tangente a la curva, con la recta en el punto de intersección. Una recta y una curva son tangentes, cuando el ángulo que forma la tangente a la curva con la recta, en el punto de tangencia, es cero.
Si nos piden
determinar circunferencias tangentes a una recta conociendo el radio de la circunferencia buscada, significa que tenemos dos datos: 1) el radio de la circunferencia y 2) la condición de tangencia. Queda un tercer grado de libertad sin definir, por tanto podemos encontrar
infinitas circunferencias solución.
Supongamos que buscamos la circunferencia que pasa por un punto T de la recta r. Entonces, la solución es única.
Si la recta y la circunferencia son tangentes significa que la recta y el radio en el punto de intersección son perpendiculares.
Los centros de circunferencias tangentes a la recta r están en rectas (LG) paralelas a la dada separadas de ella una distancia igual al radio de la circunferencia buscada. Como se precisa que ha de pasar por el punto T, la solución son dos circunferencias, las de línea continua roja.
Condición angular cualquiera.
La condición angular puede ser distinta a la tangencia. Dicho de otro modo, el ángulo que forman recta y circunferencia puede ser distinto de cero y valer a.
Entonces ahora el problema consiste en determinar el lugar geométrico de circunferencias que pasen por P y formen con la recta r un angulo a.
La solución consistirá en hallar una circunferencia cuya tangente en el punto indicado P forme ese ángulo. El ángulo que forma una circunferencia con una recta es igual al ángulo que forma la tangente a la circunferencia, con la recta. Cualquier recta que pase por P y forme con r el ángulo a será una tangente de una circunferencia solución.
Se piden las circunferencias que pasen por P y tengan esa tangente t. Como sabemos la longitud del radio de la circunferencia solución, basta llevarla en dirección perpendicular a la tangente, por el punto P. Hay dos circunferencias solución. Pero cualquier circunferencia de ese radio cuyo centro estuviera en las rectas LG, paralelas a r, formaría ese mismo ángulo alfa con la recta r.
Condiciones angulares entre circunferencias.
Condición de tangencia.
El ángulo que forman dos curvas es el que forman las tangentes a las curvas en los puntos de intersección. Dos circunferencias son tangentes cuando las rectas tangentes en el punto de intersección, forman un ángulo de valor cero, es decir, cuando tienen la misma tangente.
Partimos de una circunferencia de radio R1, un punto T de ella. Nos piden hallar la circunferencia que sea tangente a la primera en T y que tenga radio R2.
Si la condición angular entre las circunferencias es de tangencia en un punto T, significa que la tangente en T a la circunferencia c1 y la recta tangente en T a la circunferencia buscada, serán la misma.
La recta tangente y el radio del centro al punto de tangencia, son perpendiculares.
Por tanto, el centro de la circunferencia buscada estará en la misma recta que une el centro de la circunferencia dada, con el punto de tangencia.
Como sabemos el radio R2 de la circunferencia buscada, basta llevarlo sobre esa recta OT.
Encontramos dos circunferencias solución.
Los lugares geométricos de los centros de las circunferencias solución, son dos circunferencias concéntricas a la dada, como vemos en la siguiente imagen y en la animación posterior, una interior y otra exterior.
Condición angular cualquiera.
Si la condición es un ángulo cualquiera alfa, significa que el ángulo que forman las tangentes a las respectivas circunferencias, es el ángulo indicado alfa.
Partimos entonces como datos de una circunferencia conocido su centro y su radio, y nos indican el ángulo que debe formar otra circunferencia de radio conocido R2 con la primera.
La recta tangente a una cualquiera de las circunferencias buscadas, formará un ángulo a con una tangente a la circunferencia dada. Así pues, eso es lo primero que hacemos, determinar una tangente t cualquiera a c. El ángulo entre circunferencias es el ángulo entre sus tangentes en el punto de tangencia. Por tanto, en T llevamos el ángulo a que deben formar, que es un dato. Hay dos soluciones posibles según se lleve el ángulo a un lado u otro de la tangente.
Sabemos que el radio de la circunferencia buscada será perpendicular a la tangente encontrada.
Determinamos así las cuatro circunferencias buscadas.
Si no se especifica que las circunferencias pasen por el punto T, cualquier circunferencia que tenga su centro en las circunferencias concéntricas a la dada y con radios OO1 = R+R1 y OO1' = R-R1, sería la solución: Dos circunferencias de los lugares geométricos de los centros de circunferencias que forman el ángulo alfa con la circunferencia dada.
Aplicación a problemas
Si se conoce el radio de la circunferencia buscada, el lugar geométrico anterior, se concreta en uno único: Determinar la circunferencia de radio R que:
- tenga la condición angular dada y que pase por dos puntos.
- pase por un punto y sea tangente a una recta
- pase por un punto y sea tangente a la circunferencia dada.
- pase por un punto y forme un ángulo con una recta
- pase por un punto y forme un ángulo con una circunferencia.
- sea tangente a dos rectas
- sea tangente a dos circunferencias
- sea tangente a una recta y una circunferencia
- forme un ángulo con una recta y sea tangente a otra recta
- forme un ángulo con una circunferencia y sea tangente a otra recta
- forme un ángulo con una recta y otro con otra recta
- forme un ángulo con una circunferencia y otro con otra recta
- forme un ángulo con una circunferencia y otro con otra circunferencia
Ejemplo de aplicación.
Determinar las circunferencias de radio conocido que son tangentes a una recta y a una circunferencia.
La condición de tangencia a la recta genera dos lugares geométricos: las rectas paralelas a r, LG1 y LG2, separadas el radio R de r.
La condición de tangencia de la circunferencia dada con la circunferencia buscada genera dos circunferencias circunscritas, LG3 y LG4.
Los puntos de intersección de estos lugares geométricos serán los centros de las circunferencias buscadas.
Un lugar geométrico es pues, un conjunto de puntos que cumplen unas determinadas condiciones o propiedades geométricas.
Completando lo dicho respecto a lugares geométricos, podemos considerar:
- una recta como una circunferencia de radio infinito.
- un punto, como una circunferencia de radio nulo.
