Teorema de Pitágoras

Enunciado

Verbalmente se enuncia así:

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Analíticamente se enuncia así:

a² = b² + c²

Gráficamente (geométricamente) se enuncia así:

Demostraciones

Es uno de los teoremas del que se han hecho más demostraciones. Una de las más visuales se ve en el siguiente vídeo:

Aplicaciones

Distancias

Con el teorema podemos deducir distancias, las medidas de los lados de un triángulo rectángulo: 

H = (C₁ ² + C₂²)^1/2

Áreas

Con el teorema podemos hallar el área de un cuadrado de lado a, como suma de las áreas de otros dos cuadrados, uno de lado b y otro de lado c, si a es la hipotenusa y b y c los catetos de un triángulo rectángulo abc.

Demostración según el Chou Pei 

(obra matemática de origen chino, escrita entre el 500 y el 300 aC. 

y que parece poco probable que conociese Pitágoras)

Circunferencia

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto del mismo plano llamado centro, en una distancia constante llamada radio. El Teorema de Pitágoras representa la ecuación de una circunferencia:

r² = x² + y²

cuyo radio R es la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos x, e y (coordenadas de los puntos B que pertenecen a esa circunferencia). El el plano, una circunferencia necesita 3 parámetros para quedar determinada, por ejemplo, las 2 coordenadas del centro y 1 longitud, la del radio.

Si desplazamos el centro C de la circunferencia, desde el origen de coordenadas, a un punto cualquiera del plano, los catetos del triángulo ya no serán las coordenadas de B sino la diferencia entre las de B y las del centro C.

Ángulo, Thales, Pitágoras

En geometría hablamos de conceptos "absolutos" como  posición, orientación, tamaño y forma. 
Y hablamos de conceptos comparativos como igualdad (mismo tamaño y misma forma), equivalencia (mismo tamaño), proporcionalidad (tamaños relacionados), semejanza (misma forma y tamaños relacionados).

ÁNGULO

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas del mismo que tienen el mismo punto de origen o vértice.  Se mide en radianes, grados sexagesimales o grados centesimales. Tiene que ver con el concepto de intersección de elementos de una superficie y permite establecer su posición relativa (dos rectas, recta y circunferencia, dos circunferencias).

• El ángulo entre dos rectas siempre se da como el menor de los que determinan.
• El ángulo que forman una recta y una circunferencia que se cortan, es el que forma la recta con la tangente a la circunferencia en uno de los puntos de intersección.
• El ángulo que forman dos circunferencias que se cortan, es el que forman sus tangentes en cualquiera de sus puntos de intersección.

TEOREMA DE THALES

El teorema de Thales es la base de la geometría proyectiva.

Para comprenderlo debemos aclarar el concepto de semejanza de triángulos: Dos triángulos son semejantes si tienen los tres ángulos iguales y los lados homólogos proporcionales.
O si se cumplen las condiciones de semejanza siguientes:

• dos ángulos iguales
• tres lados proporcionales
• dos lados proporcionales y el ángulo comprendido, igual.

Debemos saber que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º sexagesimales, por lo que si dos triángulos tienen dos lados iguales, el tercero también lo es.

Así, el Teorema de Thales se enuncia como sigue: Si en un triángulo cualquiera, se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene otro triángulo semejante al primero. O enunciado de otro modo: Si cortamos dos rectas cualesquiera por varias rectas paralelas, los segmentos correspondientes en ambas son proporcionales y se corresponden en la igualdad, en la suma y en la resta.

El concepto de semejanza (misma forma, tamaños relacionados) genera el de escala. La escala E es la relación matemática entre las dimensiones del dibujo D y las de la realidad R que representa: E=D/R

TEOREMA DE PITÁGORAS  a² = b² + c²

Si Thales habla de proporciones y es la base de la geometría proyectiva, Pitágoras habla de números y es la base de la geometría métrica. Su teorema establece que:

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Establece la relación métrica entre los lados de un triángulo rectángulo. Se han hecho múltiples demostraciones del mismo y es aplicable a diferentes ámbitos: distancias, áreas, circunferencias.

Distancias: Con el teorema podemos deducir distancias, las medidas de los lados de un triángulo rectángulo: H = (C₁ ² + C₂²)^1/2

Áreas: Con el teorema podemos calcular áreas, la de los cuadrados cuyos lados miden lo que mide cada lado del triángulo pitagórico. Al elevar al cuadrado una distancia da como resultado un área: la de la figura cuadrada de lado esa distancia. El teorema a² = b² + c² expresa que el área de un cuadrado de lado “a” es igual a la suma de las áreas de dos cuadrados, uno de lado “b”y otro de lado “c” . Es uno de los teoremas que se ha demostrado de más formas. Una de las más visuales es la que muestra el vídeo siguiente:

Circunferencias:  Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto del mismo plano llamado centro, en una distancia constante llamada radio. El teorema de Pitágoras representa la ecuación de una circunferencia, R² =x² + y²   donde el radio R es la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos x, y, coordenadas de los puntos P, que pertenecen a esa circunferencia.

                      

El teorema de la altura, establece que en un triángulo rectángulo, la altura medida sobre su hipotenusa, es media proporcional entre los dos segmentos en que la divide.  BH/AH  = AH/HC

El teorema del cateto establece que en un triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección del dicho cateto sobre la hipotenusa  BC/AB = AB/BH