La potencia Wp2 de un punto P respecto de una circunferencia c es el producto de la menor distancia m por la mayor distancia n del punto P a la circunferencia c.
Expresado algebráicamente tendríamos:
Potencia = Wp2= m · n
P exterior a la circunferencia
Analicemos un punto P, exterior a la circunferencia,
Como vemos en la figura, P es exterior a la circunferencia, los puntos A y B pertenecen a ella y están alineados con P, perteneciendo los tres puntos A, B y P a la misma recta. Además:
R = radio de la circunferencia c
d = PC
m = PA = d - R
n = PB = d + R
Por lo que podemos expresar la potencia, como sigue:
Potencia = Wp2 = m · n = (d-R) · (d+R) = d2 - R2
Potencia = Wp2 = m · n = (d-R) · (d+R) = d2 - R2
La diferencia de medidas al cuadrado, d2 – R2 , alude al Teorema de Pitágoras, es decir a un triángulo rectángulo, el cual encontramos mediante el arco capaz.
La hipotenusa del triángulo rectángulo será d = PC, un cateto R y el otro Wp.
El vértice T del ángulo recto del triángulo pitagórico buscado, pertenecerá a la circunferencia y al arco capaz del punto P respecto a la circunferencia c.
La longitud del segmento PT, que llamamos W, será, elevada al cuadrado, la potencia W2 del punto P respecto a la circunferencia c.
Como vemos en la figura anterior, la potencia es un área de valor equivalente a la del cuadrado de lado W, es decir el cuadrado de la longitud del segmento PT tangente a la circunferencia. El concepto de Potencia alude al producto de distancias.
Punto P interior a la circunferencia
Consideremos ahora un punto P, interior a una circunferencia c. Si la potencia es el producto de las distancias menor m y mayor n a la circunferencia c, como vemos en la figura:
m= PA = R - d
n = PB = R + d
d = PC
Por lo que de nuevo, podemos expresar el producto m·n como una suma por diferencia, por tanto una diferencia de cuadrados:
Potencia = m · n = (R - d) · (R + d) = R2 – d2 = - (d2 - R2)
Y toda diferencia de cuadrados alude al triángulo pitagórico, que en este caso tiene el ángulo recto en P, como hipotenusa el radio R y un cateto es d. El otro cateto, PT= Wp es el lado del cuadrado cuya área es equivalente a la Potencia W2 buscada, es decir el resultado del producto m·n.
Generalización del concepto de potencia
La potencia de un punto P respecto de una circunferencia c, es el producto de la menor "m" por la mayor "n" de las distancias del punto P a la circunferencia c.
Igual que esta definición es válida para un punto P cualquiera, tanto interior, como exterior a la circunferencia, también lo es para cualquier recta que pase por P y sea secante a c, pase por el centro C de la circunferencia, o no.
La potencia del punto P a la circunferencia c es independiente de la recta elegida.
Podemos demostrarlo gracias al concepto de Arco Capaz y al Teorema de Thales.
Dados un punto P y una circunferencia c, consideramos un par de rectas r y s, secantes en A y B la primera, r, y en C y D la segunda, s.
La circunferencia es el arco capaz del segmento BC, que se verá bajo el mismo ángulo α desde cualquier punto del arco. Dicho de otro modo, cualquier ángulo inscrito en dicho arco capaz, tiene el mismo valor α.
Se determinan así dos triángulos PAC y PBD que comparten un ángulo, el del vértice P y tienen otro ángulo de igual valor, el que está en la circunferencia: el ángulo de vértice A en el triángulo PAC y el ángulo de vértice D del triángulo PBD. Dos triángulos que tienen dos ángulos iguales, son semejantes y por tanto se puede aplicar el Teorema de Thales:
Se determinan así dos triángulos PAC y PBD que comparten un ángulo, el del vértice P y tienen otro ángulo de igual valor, el que está en la circunferencia: el ángulo de vértice A en el triángulo PAC y el ángulo de vértice D del triángulo PBD. Dos triángulos que tienen dos ángulos iguales, son semejantes y por tanto se puede aplicar el Teorema de Thales:
PA / PC = PD / PB
n / m' = n' / m
m·n = m'·n'
PA · PB = PC · PD = constante
PA es la mayor distancia n de P a c, en la recta r.
PB es la menor distancia m de P a c, en la recta r.
PC es la menor distancia m' de P a c, en la recta s.
PD es la mayor distancia n' de P a c, en la recta s.
n · m = Wp2 = m' · n' = constante
Lo que demuestra que la potencia de un punto P respecto a la circunferencia c, es independiente de la recta elegida.
