Circunferencia principal es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares desde los focos a las tangentes a la cónica. Tiene por centro el centro de la cónica y por radio a, por lo que pasa por los vértices A1 y A2.
Circunferencia focal y principal son homotéticas con razón de homotecia 1/2 ó 2. Cualquier punto de la circunferencia focal tiene otro punto homotético en la circunferencia principal.
Si el simétrico de un foco está dentro de la circunferencia principal, la recta es secante con la cónica.
Si el simétrico de un foco pertenece a la circunferencia principal, la recta es tangente a la cónica.
Si el simétrico de un foco está fuera de la circunferencia principal, la recta es exterior a la cónica.
Ejercicio 1:
Dados O, F1, t
Hallar F2, T, A
Los focos son simétricos respecto al centro O de la cónica. Así obtenemos F2.
Las circunferencias focales son el lugar geométrico de los simétricos de los focos respecto a las tangentes, Así obtenemos el simétrico de uno de los focos, por ejemplo el F1.
Las circunferencias focales tienen centro un foco y radio 2a siendo el extremo el simétrico del otro foco respecto a la tangente correspondiente. Así obtenemos el punto de tangencia T de la recta tangente dada t con la cónica dada.
Los vértices A1 y A2 de la cónica están alineados con el eje de los focos y el centro de la cónica. En la intersección de este eje con la circunferencia focal obtenemos la diferencia entre la distancia entre vértices y la distancia entre focos 2a - 2c. Los vértices son simétricos respecto al centro de la cónica.
Método circunferencia principal:
La circunferencia principal es el pie de las perpendiculares desde los focos a las tangentes.
Sabemos que tiene radio a y centro O, luego podemos dibujarla.
En su intersección con el eje OF1, encontramos los vértices A1 y A2 de la cónica.
Y en su intersección con la tangente, el pie de la perpendicular a t, la cual pasará por el otro foco F2.
Como la circunferencia focal y la principal son homotéticas, la intersección de la perpendicular a t por F1, con una paralela al radio OPieF1, cortará a t en T punto de tangencia y a F1-PieF1 en su simétrico SF1.
