Geometría es la disciplina matemática que mide ("metría") la tierra ("geo"), para lo que emplea un lenguaje de elementos gráficos (punto, recta, curva, superficie plana, superficie curva), con los que se representan figuras, que tendrán una posición, una medida, una forma y se podrán relacionar mediante conceptos comparativos como igualdad (mismo tamaño y misma forma), equivalencia (misma medida), proporción (medidas relacionadas) y semejanza (misma forma y medidas relacionadas).
La posición es el lugar geométrico. La posición de un punto queda determinada por dos coordenadas en el plano, y por tres en el espacio. La posición relativa de una recta respecto a otra queda determinada por el ángulo entre ambas, definiéndose ángulo como la parte del plano comprendida entre dos semirrectas del mismo que tienen el mismo punto de origen o vértice.
La medida es el tamaño. La medida de un segmento es su longitud y la de un plano es su área. Hemos visto la importancia del Teorema de Pitágoras a2 = b2 + c2 para:
- determinar las medidas de un segmento, a = (b2 + c2)1/2 (introducción a números irracionales)
- determinar las medidas de una superficie o área (distancia al cuadrado), a2 = superficie
- determinar la forma de una circunferencia (R2 = x2 + y2).
La forma queda determinada por segmentos - rectos o curvos ("lados de la figura"), y por los vértices entre ellos. Dos figuras con la misma forma pero distinto tamaño se dice que son semejantes.
La proporción es la relación de tamaños entre figuras con la misma forma. Algebráicamente es un cociente de medidas y representa la razón de semejanza o escala, es decir, el número de veces que una figura es más grande que la otra con la que se compara.
Hemos visto la importancia de la semejanza de triángulos y del Teorema de Thales que nos habla de proporcionalidad entre lados de triángulos semejantes. Tiene que ver con el concepto matemático de cociente.
Arco Capaz
Introducimos un concepto más: Arco Capaz de un segmento visto bajo un ángulo α .
El arco capaz de un segmento AB bajo un ángulo alfa, es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve el segmento AB bajo el mismo ángulo α.
Para explicar el concepto partimos de dos datos: un segmento y un ángulo bajo el cual se ve el segmento.
La forma que tienen el conjunto de puntos que cumplen la condición de arco capaz (abarcar el mismo segmento AB y mantener constante el ángulo alfa) es la de un arco de circunferencia. El segmento AB será una cuerda de esa circunferencia.
Necesitamos considerar dos aspectos:
- El centro de una circunferencia está en la intersección de las mediatrices de dos cuerdas cualesquiera de la circunferencia.
- La recta tangente al arco y el radio que pasa por el punto de tangencia T, son ortogonales.
Sabiendo esto, el arco capaz del segmento AB bajo el ángulo alfa se muestra en naranja en la siguiente figura. El ángulo alfa se mantiene constante. El "arco capaz" tendrá su centro en la intersección de la mediatriz a AB con la perpendicular en A o en B a la tangente a la circunferencia buscada.
Observando la figura, vemos que al desplazarse el ángulo de vértice P hasta uno de los extremos del segmento dado AB, un lado coincide con la cuerda y el otro lado forma con ella el mismo ángulo α y determina la dirección tangente al arco.
Teniendo en cuenta esto, podremos encontrar el centro C del arco buscado como intersección de la mediatriz a AB y la perpendicular r a la recta tangente t en un extremo de AB, la cual forma con el segmento dado AB el ángulo dado α.
El arco capaz de un segmento AB visto bajo un ángulo de 90º, es una semicircunferencia que tiene el centro en el punto medio de AB. Como vemos en la figura siguiente, la perpendicular a la tangente al arco en un extremo del segmento, coincide con él. Esta recta r se corta con la mediatriz m a AB en el punto C, punto medio de AB. El arco que tiene por centro C y pasa por los punto A y B es la semicircunferencia c, arco capaz de AB bajo 90º.
Aplicaciones del Arco Capaz:
Recta tangente a una circunferencia desde un punto P.
Podemos utilizar el arco capaz de 90º para determinar la recta tangente a una circunferencia dada, desde un punto P dado. El punto de tangencia T buscado pertenecerá a la circunferencia dada y será el encuentro de radio y tangente, que forman 90º. El radio parte del centro. La tangente parte de P. por tanto tenemos un triángulo PTC rectángulo en T y del que PC es hipotenusa. Por tanto la hipotenusa se ve bajo un ángulo de 90º y se puede construir su arco capaz. Éste intersecta con la circunferencia dada en T. El punto de tangencia pertenecerá a la circunferencia c y al arco capaz de PC.
