Problema Fundamental de Tangencias (PFT): PPr (ABr)

El problema consiste en determinar la circunferencia que pase por dos puntos dados A y B y sea (1)  perpendicular / tangente a una recta r dada. 

Para resolver el  problema emplearemos los conceptos siguientes:

Centro como intersección de mediatrices de cuerdas de la circunferencia buscada.

A y B pertenecerán a la circunferencia c buscada, luego el segmento AB es una cuerda de c. El centro de toda circunferencia está en la intersección de las mediatrices de dos cuerdas cualesquiera. Por lo tanto, sabemos que C estará en dicha mediatriz del segmento AB.

Circunferencia definida por 3 puntos.

Para determinar una circunferencia en el plano, necesitamos 3 puntos. Dos ya los conocemos, son los datos, A y B. La condición de que la recta r y la circunferencia buscada sean tangentes, significa que son secantes en un único punto T, llamado punto de tangencia. T es el tercer punto buscado y en él, el radio de la circunferencia corta a la recta r de manera perpendicular.

Potencia de un punto P respecto a una circunferencia c.

Por el concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia sabemos que:

• La potencia W_p² es el producto de la distancia menor por la distancia mayor del punto a la circunferencia. 

Potencia =  PA · PB 

• La potencia W_p² es un área de valor equivalente al cuadrado de PT (por Pitágoras):

Potencia = W_p² = PT ²

• La potencia es constante (por el Arco Capaz y  Thales). Dicho de otro modo, la potencia de P, respecto de cualquier circunferencia que pase por A y B, es la misma:

Potencia = PA · PB = PT ²= constante

Utilizamos una circunferencia c₁ auxiliar de cualquier radio que pase por AyB y averiguamos la potencia PT₁ de P respecto a ella, que será la misma que para la circunferencia buscada. Llevamos PT₁ sobre nuestra recta de partida r, encontrando así el punto de tangencia T. Como sabemos, mediatriz a una cuerda y perpendicular a una tangente, intersectan en el centro de la circunferencia buscada.